在现代社会中，投票是一种重要的进行集体决策的方法，也是一种体现民主的社会方法，广泛应用于社会生活的各个方面.可是，在投票方法中却隐藏着一个让大家困惑的难题，即投票悖论（paradox of voting）.
这个结果所以会使人感到迷惑，是因为我们认为“好恶”关系是可以传递的.如果某人认为A比B好，B比C好，我们自然就以为他觉得A比C好.上述例子说明事实并非总是这样.多数选民选择“A优于B”，多数选民选择“B优于C”，还是多数选民选择“C优于A”.出现了不可传递的情况.
假设有3个对象，而且可以根据3种标准进行比较.当我们将它们两两比较并进行排列，欲从中选择一个时，就会发生上述悖论.例如，A、B、C3人同时向一位姑娘求婚.该姑娘分别按聪明、容貌、收入3项标准进行比较.按聪明比较后的优先顺序为ABC，按容貌比较后的优先顺序为BCA，按收入比较后的优先顺序为CAB.如果两两比较，这个姑娘就会发现：A与B相比，A在聪明和收入两个方面都优于B，因此A比B好.B与C相比，B在聪明和容貌两个方面都胜过C，因此B比C好.C与A相比，C在容貌和收入两个方面都超过A，因此C又比A好.可怜的姑娘实在无法选出自己的如意郎君！
不难看出，在投票问题中并非总是出现悖论，只有当3个人对3项选择呈某些特殊排序时才会导致悖论.对“投票悖论”的进一步研究可以发现，只有当每个人排出的优先序列都不相同时，才会产生不可传递性，即产生悖论.据此我们可以计算出在3个人选择3个选项的情况下悖论发生的概率值.
每个人选择3个选项有6种排序，3个人一共有216（6×6×6）种不同的排序，其中只有当3个人选择的选项优先顺序都不同时才会出现悖论，下面考察这种排序的个数.
第一个人甲对3个选项可任意排序，有6个不同的排法.第二个人乙对3个选项排序时必然会受到甲的排序的限制，即乙对每个选项的排序与甲的排序都不能相同.例如，甲排ABC，乙只能排BCA或CAB.也就是说，在甲的每一个确定的排序下，乙只有2个不同的排法.第三个人丙再对3个选项排序时必然要同时受到甲、乙排序的限制，即丙对每个选项的排序必须与甲、乙的排序都不相同.例如，甲排ABC，乙排BCA，丙只能排CAB.这就是说，在甲、乙的排序已确定的情况下，丙的排序只有一个.于是，根据乘法原理可知，3个人的选项都不同时的排序一共有12（6×2×1）个.因此，出现投票悖论的概率为
＝0.056，即5.6%.
在研究投票悖论时，3个人和3个选项是最简单的情况.经过进一步计算可以知道，当选项数为3，选民数增大时，悖论产生的概率会缓慢上升到8%.可是，假如是选项数增大，不管选民数如何，悖论发生的概率都会快速增大，直至100%.由此看来，绝不可小视投票悖论的存在.
能否在某些条件下避免这个令人讨厌的投票悖论呢？美国经济学家肯尼斯·约瑟夫·阿罗（Kenneth Joseph Arrow，1921—）对这个问题进行了深入研究.
1951年，阿罗在其主要著作《社会选择与个人价值》中，用公理化方法，证明了著名的阿罗不可能定理.阿罗因为这个重要定理以及对经济理论的其他贡献荣获1972年诺贝尔经济学奖.
阿罗在假定个体的选择具有可比较性（对于两个选项x和y，应有x优于y或y优于x）和传递性的前提下，根据人们公认的、能够普遍接受的，并且能确保民主选择公平、合理的基本要求，梳理成如下4条公理.
公理1 个体的选择是自由的.即每个选民都可以完全根据自己的意愿选择任何一个可能的候选人.这就是说，对候选人的任何一种排序方式都允许出现.
公理2 不相关的选择是互相独立的.即在某些选项的子集中，选项的优先顺序不会因为不在此子集中的其他选项的优先顺序的改变而改变.
公理3 社会选择与个体选择之间呈正向关联.即社会选择必须体现选民意愿，对于每个选民都有明确表态的两个事项，社会选择也应持相同态度.
公理4 不存在独裁者.即任何个体都不能独立决定整个社会的选择.如果有个体的选择能够决定整个社会的选择，事实上，这一个体就是独裁者.
阿罗证明，在候选人多于2个的情况下，能够同时满足上述4条公理的选举方法根本不存在.这就是著名的“阿罗不可能定理”.上述4条公理有时也被表述为5条，只是将其中的公理1分述为两条.
阿罗不可能定理揭示了：一个完全的民主选举系统在原则上是无法实现的，一个社会不可能拥有完全的每个个人的自由，否则将导致独裁；一个社会也不可能实现完全的自由经济，否则将导致垄断.由阿罗定理掀起的巨大的冲击波，将人们对社会的认识提高到一个新的高度；同时也遭到不少学者的责难，有上百篇文章群起攻击.可是，阿罗定理至今仍未受到重大挑战，仍然可以说是无懈可击的.
后来获诺贝尔奖的著名经济学家保罗·萨缪尔森（Paul Anttony Samuelson，1915—2009）在1952年这样评论阿罗定理：“它证明了探索完全民主的历史记录下的伟大思想也是一种妄想，一种逻辑上的自相矛盾.现在全世界的学者们——数学的、政治的、哲学的和经济学的——都在试图进行挽救，都试图挽救阿罗的毁灭性发现中能够挽救出的东西.”
许多学者在阿罗定理的基础上，继续研究集体决策和选举问题，探索在何种限制条件下能使阿罗公理得到满足，或者如何放松阿罗公理的限制让选举得以顺利进行.特别值得一叙的是1998年诺贝尔经济学奖得主、印度经济学家阿马蒂亚·森（Amartya Sen，1933—）的工作.
在20世纪70年代，森提出了一个能够解决“投票悖论”的方法.他的方法其实很简单，就是退一步海阔天空.森发现，在所有人都同意其中一项选择方案并非最佳的条件下，“投票悖论”便可迎刃而解.比如，在例1中，假设所有人都同意A并非最佳人选，而在第一行中将A与B的顺序互换一下，其余的保持不变，于是选民对3名候选人的选择顺序重新排列如下：
森将这个发现进一步加以延伸和拓展，得到了解决投票悖论的3种选择模式：
（1）所有人都同意其中一项选择方案并非最佳；
（2）所有人都同意其中一项选择方案并非次佳；
（3）所有人都同意其中一项选择方案并非最差.
在上述3种模式下，投票悖论一定不会出现，取而代之的是按多数票获胜的规则总能作出唯一的决策.当然，在这样的情况下，选民的选择已经受到某种条件的约束，这实际上已经不再是完美的民主选举.
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