建筑物疏散优化数学建模

建筑物疏散优化数学建模_现代应急管理理论与技术

8.4.1 建模思路

疏散优化思路是通过调整人员安全准则所关联的各个时间的长短，来满足人员安全准则，确定的人员安全准则: S1+S2＞RSET=T1+T2+T3，可以通过延长可燃物的着火与燃烧初期时间S1、燃烧增长期时间S2，或者缩短探测报警时间T1、人员反应时间T2以及人员疏散运动时间T3来进行。对于办公楼而言，可燃物的着火与燃烧初期时间S1以及燃烧增长期时间S2与建筑材料性质、温度以及室内空气流通情况关系较大，而与其他因素关联较小。而在办公楼建设完工后，其建筑材料就很难改变，因此从延长可燃物的着火与燃烧初期时间S1以及燃烧增长时间S2入手，其可操作性不强。而对于探测报警时间T1、人员反应时间T2以及人员疏散运动时间T3而言，探测报警时间T1是由自动报警系统或者由人员感受而发现的，对于自动报警系统而言，现在办公楼的自动报警系统都大同小异，所用的探测报警时间T1相差不大，而靠人感受发现火情的时间又难以控制优化，因此从缩短探测报警时间T1来进行疏散优化亦不具备可操作性。因此本文确定的疏散优化思路是缩短人员反应时间T2与人员疏散运动时间T3。

对于人员反应时间T2，与办公楼紧急情况发生时人群的临场应变有很大关系，因此需要平时多加强应急疏散演练来减少紧急情况发生时的焦躁慌乱情绪，以平静镇定的心态有条不紊地进行疏散，这样才能缩短人员反应时间T2。对于人员疏散运动时间T3，根据疏散路线的选择，出入口大小的变化，可以产生很大的调整空间，而且根据通用的火灾发展与人员疏散的时间线图8－14所示，人员疏散运动时间T3在所需安全疏散时间RSET中占有很大比例，因此重点对人员疏散运动时间T3加以优化缩减以对办公楼疏散进行优化。

在办公楼的紧急疏散时，人员疏散运动时间T3可分为两部分，第一部分是在疏散路途的运动时间t31，包括平层运动时间以及楼梯运动时间，这部分时间是无阻滞或者阻滞很小的，可以按照一定速度稳步前进; 而在出入口时，可能由于出入口很小，疏散人流量很大而出现排队等候的情况，即壅滞时间t32，人员疏散运动时间T3即为:

T3=t31+t32

对于在疏散路途的运动时间t31，由于其跟路径选择有关，因此路径的优选可以缩短其运动时间，因此可以按照图论理论进行优化; 对于壅滞时间t32，由于其为排队等候的时间，因此可用排队论理论进行优化。

8.4.2 理论基础

8.4.2.1 图论

在图论中。图G=(V，E)，V表示顶点集合，E表示边集合。图中顶点的个数叫做图的阶，若连接同一对顶点的边数大于1，则称这样的边为多重边，其边数称为边的重数。端点重合为一点的边叫做环，没有环及多重边的图叫做简单图，具有多重边的图叫做多重图。

定义1 每一对不同的顶点均有一条边相连的简单图，称为完全图。n阶的完全图，记作Kn。

性质1 n阶完全图Kn的边数为;n阶完全图中顶点的度数和为n(n－1)。

定义2 设V1，V2，…，Vm是图G的m个顶点子集，使得V1∪V2∪…∪Vm=V(G)，Vi∩Vj=φ…(i≠j)且G的每一条边的两个端点一个在Vi中另一个在Vj中(i=j)，则称G为m部图，记作G=(V1∪V2∪…∪Vm; E); 如果Vi中的每一个点与Vj中的每一个点都有一条边相连，(i≠j)(i=1，2，…，m;j=1，2，…，m)则称图G为完全m部图，记作，当 Vi=ni (i=1，2，…，m)时，将完全m部图G记作Kn1，n2…，nm。

定义3 设图G的顶点集V(G) ={v1，v2，…，vn}，图G的邻接矩阵A(G) =(aij)n×n，aij表示点vi和点vj之间边的条数。若存在aij＞1，则称图G为多重图。

8.4.2.2 排队论

排队论的规则遵循生灭过程，其生灭过程如图8－16所示。

图8－16 排队论生灭过程图

一个完整的排队系统由输入过程与到达规则、排队规则、服务机构的结构、服务时间与服务规划等组成。排队系统组成图如图8－17所示。

图8－17 排队论系统图

(1)输入过程: 指要求服务的顾客是按怎样的规律到达排队系统的过程，有时也称为顾客流，一般可从三个方面来描述一个输入过程。

①顾客总体数: 又称顾客源，输入源。这是指顾客的来源，顾客源可以是有限的，也可以是无限的。

②顾客到达方式: 这是描述顾客是怎样来到系统的，是单个到达还是成批到达。

③顾客流的概率分布: 或称顾客相继到达的时间间隔的分布，当求解排队系统有关运行指标问题时，首先需要确定的指标，顾客流的概率分布一般有定长分布、二项分布、泊松分布、爱尔朗分布等若干种。

(2)排队规则: 指服务台从队列中选取顾客进行服务的顺序，一般可以分为损失制、等待制和混合制三种。

(3)服务机构: 可以是一个或多个服务台。多个服务台可以是平行排列的，也可以是串连排列的。服务时间一般也分成确定型和随机型两种。例如，自动冲洗汽车的装置对每辆汽车冲洗(服务)时间是相同的，因而是确定型的。而随机型服务时间v则服从一定的随机分布。

排队模型可以表示为: X/Y/Z/A/B/C

其中:

X——顾客相继到达的间隔时间的分布;

Y——服务时间的分布(M——负指数型分布、D——确定型分布、Ek——k阶爱尔朗型分布);

Z——服务台个数;

A——系统容量限制(默认为∞);

B——顾客源数目(默认为∞);

C——服务规则(默认为先到先服务FCFS)。

排队系统的指标主要有如下几个:

L——平均队长，即稳态系统任一时刻的所有顾客数的期望值;

Lq——平均等待队长，即稳态系统任一时刻等待服务的顾客数的期望值;

W——平均逗留时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客逗留时间的期望值;

Wq——平均等待时间，即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客等待时间的期望值;

s——系统中并联服务台的数目;

λ——平均到达率;

1/λ——平均到达间隔时间;

μ——平均服务率;

1/μ——平均服务时间;

N——稳态系统任一时刻的状态(即系统中所有顾客数);

U——任一顾客在稳态系统中的逗留时间;

Q——任一顾客在稳态系统中的等待时间;

ρ——服务强度，即每个服务台单位时间内的平均服务时间，一般有，这是衡量排队系统繁忙程度的重要尺度。

Pn=P{N=n}: 稳态系统任意时刻状态为n的概率; 特别当n=0时(系统中顾客数为0)， P0即稳态系统所有服务台全部空闲的概率。

8.4.3 基于图论与排队论的疏散优化模型

对于办公楼这类建筑物而言，当发生紧急情况时，其人员疏散可被认为在以下情况是成功的，人员安全是有保障的。

所有人员都能够在满足安全疏散条件，即在燃烧过程未达到燃烧旺盛期之前，所有人员已经完成了探测报警，人员反应及人员疏散运动过程。

人员疏散运动时间T3由在疏散路途的运动时间t31与在出入口排队等待时的壅滞时间t32构成，因此得到本模型的人员疏散安全准则如公式:

S1+S2＞RSET=T1+T2+t31+t32

根据前文所述，疏散优化模型着重于对人员疏散运动时间，具体说来就是在疏散路途的运动时间t31以及在出入口排队等待时的壅滞时间t32的缩减与优化。由于要所有人员都满足上式的人员疏散安全准则，因此可认为在办公楼离出入口最远距离点时，当逃生能力最弱的人能够满足人员疏散安全准则时，则所有在办公楼的人员疏散安全是有保障的。

对于办公楼内人员的逃生能力强弱，可由第六章楼梯疏散行为实验所得出的一般规律进行判定，即年龄为老年、体重为很轻、BMI为偏胖以及安静时心率为快可判定其逃生能力为极弱，此种判定方式是很可靠的。选取出逃生能力极弱的人员后，将其放置在办公楼距离出入口最远的地方，然后进行疏散优化分析。

可变换得到人员疏散的优化准则公式:

t31+t32＜S1+S2－T1－T2

根据前面的研究，在疏散路途的运动时间t31可由图论进行优化。

将逃生能力最弱的人员所处的初始地点(离安全出口最远的点)视为初始顶点v1，办公楼每一层的安全出口(可理解为楼梯口)vi都是一个顶点，顶点集V={ v1，v2，…，vn}，G的每条边赋有一个权值，wij表示两个顶点vi，vj之间的权，若两个顶点vi，vj不相邻，则权wij=+∞。图G可记为G=(V，E)。

此时对于图G，求其固定两点间的最短路问题，可用Warshall－Floyd算法进行求解。该算法借鉴了动态规划理论的思想，算法的基本思想如下:

对于任何一个顶点vk∈V，顶点vi顶点vj的最短路经过顶点vk或者不经过顶点vk。比较dij与dik+dkj的值。若dij＞dik+dkj，则令dij=dik+dkj，保持dij是当前搜索的顶点vi顶点vj的最短距离。重复这一过程，搜索完毕所有顶点vk时，dij就是顶点vi顶点vj的最短距离。

Warshall－Floyd算法步骤如下:

令dij是顶点vi顶点vj的最短距离，wij是顶点vi顶点vj的权。则

步骤一: 输入图G的权矩阵W。对所有的i，j，有dij=wij，k=1。

步骤二: 更新dij。对所有i，j，若dik+dkj＜dij，则令dik+dkj=dij。

步骤三: 若dij＜0，则存在一条含有顶点vi的负回路，停止; 或者k=n停止，否则转到步骤二。

对于本研究而言。权矩阵W代表的是时间。

利用Warshall－Floyd方法求解即可得到耗时最短的路线及所用时间。

对于排队壅滞时间，可由排队论进行优化。

对于办公楼的人员疏散，可认为人员越往下层走，人员越多，最终在最底层出入口可能形成壅滞，对于壅滞是否形成，可根据如下原则进行判断:

(1)当最底层出入口的通过能力大于单位时间到达出入口的人员时，是没有壅滞发生的，此时最底层出入口满足的条件如下式:

N·W＞λ

式中: N为出入口人群流动系数，人/m·s; W为出入口宽度，m; λ为平均到达率，人/s。

此时人员疏散优化准则可简化如下:

t31＜S1+S2－T1－T2

(2)当最底层出入口的通过能力小于单位时间到达出入口的人员时，此时在最底层出入口发生排队壅滞现象，此时最底层出入口满足的条件如下式:

N·W＜λ

8.4.4 模型计算及比较

8.4.4.1 实例背景

以某烟草公司的办公楼为例。该办公楼楼高7层，每一层都有三个安全出口，除最底层外，第二层至第六层的各个出口宽度都是一样的，每个出口的宽度均为2m; 第一层的出口宽度，除有两个宽度为2.2m的出口外，还有一个宽度为2.6m的出口。该办公楼一般有400～420人在楼里办公，其紧急疏散示意图如图8－18所示。

图8－18 紧急疏散示意图

进而得到该办公楼中的人员逃生示意图如图8－19所示，按照方案举行的现场疏散实景如图8－20所示。

图8－19 办公楼逃生示意图

图8－20 现场疏散实景图

8.4.4.2 疏散时间分析

1． 通用时间分析

根据疏散安全准则，人员疏散时的时间可分为不用或无法优化的时间，包括可燃物的着火与燃烧初期时间S1、燃烧增长时间S2、探测报警时间T1以及人员反应时间T2; 能够优化的时间有人员疏散运动时间T3，即疏散路途的运动时间t31与t32，将不用或无法优化的时间的计算分析称为通用时间分析，将可优化分析的时间按其内容称为人员运动时间分析。通用时间分析如下:

(1)可用安全疏散时间ASET。通用时间分析中的可燃物的着火与燃烧初期时间S1与燃烧增长时间S2归根结底实际上是可用安全疏散时间ASET，在火灾事故中，对于可用安全疏散时间的判定目前最为准确的方式是采用相关模拟软件进行模拟，但是在实际的企业生产活动中，由于科研力量的缺失以及专业软件没有配套完善，因此用软件模拟求解安全疏散时间ASET基本上是不可行的。因此只能参考相关专家与相关学者的研究成果进行可用安全疏散时间ASET的确定。

表8－8 建筑物人员识别时间统计

表中的报警系统类型为: W1——实况转播指示，采用声音广播系统，例如从闭路电视设施的控制室; W2——非直播(预录)声音系统、和/或视觉信息警告播放; W3——采用警铃、警笛或其他类似报警装置的报警系统。

根据现有的烟气特性模拟结果分析，当火场内的温度达到65℃时，此时人的呼吸将变得很困难，此时的火灾已经发展到人体所能承受的极限，模拟分析此时火灾已经发展到了318s，而根据相关学者的实际统计结果，这个时间大概为360s，为了兼顾模拟与实际的研究成果，且为了更大的安全可靠性，以便使更多的人员获救，本办公楼确定的可用安全疏散时间ASET为320s。

(2)探测报警时间T1。本办公楼采用的火灾报警器为点式感烟火灾探测器，通常点式感烟探测器能探测到100k W火灾并启动报警，根据统计及相关科研院所的模拟计算，在相似建筑物中发生火灾时，达到100k W的时间一般为起火后27s，为了争取更大的安全保障性，本办公楼的探测报警时间T1取为25s。

(3)人员反应时间T2。根据各种用途的建筑物采用不同报警系统时的人员识别时间，由于本办公楼采用的是点式感烟火灾探测器，其报警系统类型属于W3型，且对于本办公楼而言，由于经常性的开展应急疏散演练活动，可认为相关人员对本办公楼内的建筑物、报警系统和措施都相当熟悉，因此将本办公楼的人员反应时间T2取为4min，即240s。

2． 人员运动时间分析

根据人员安全准则可知，若想要所有在办公楼中的人员安全撤离，则所有人员疏散运动时间应该在T3＜S1+S2－T1－T2=ASET－T1－T2=360s－25s－240s=95s。即: t31+t32＜95s。

若要所有在办公楼中的人员的疏散运动都满足时间，只需要在办公楼中的逃生能力最弱的人在离安全出口最远点满足逃生要求即可。根据上一章的研究分析，可以认为年龄为老年、体重为很轻、BMI为偏胖以及安静时心率为快(年龄、体重、BMI以及安静时的心率的评判标准见第六章)的群体可判定其逃生能力为极弱。因此只需要求出这类人群在离安全出口最远距离时，可否及时逃出，即可对办公楼的紧急情况下的疏散能力进行判定并加以优化。

安全出口最远的点，必定在顶楼，因为从垂直方向上看，顶楼距离离底楼的安全距离最远，因此，安全距离最远的点可能有三个，如图8－21中A、B、C三个圆形所示。

图8－21 办公楼最远点

对于逃生能力极弱的人而言，其纵向疏散速度(楼梯上下速度)可取为0.80m/s，在本办公楼中进行疏散时，预估的人员密度为0.3人/m2，横向疏散速度(同一层内运动速度)为2.87m/s。本办公楼楼梯上下两个安全出口之间共12级台阶，一个楼梯转角，台阶单级宽29.5cm，楼梯转角处长60cm，因此两个纵向相邻的安全出口之间的运动时间tz为:

tz=(12×29.5+60)/0.80=5.2s

两个横向相邻的安全出口之间的距离为25m，因此两个横向相邻的安全出口之间的运动时间th为:

th=25/2.87=8.8s

将时间作为图G的权值，得到在不同的最远出口的图G=(V，E)如下:

(1)当最远点位于图8－21中A点时的图G=(V，E)如图8－22所示:

图8－22 左边最远点图

此时求的是v0到v18、或者v0到v19、或者v0到v20耗用时间最短的路线。

(2)当最远点位于图8－21中B点时的图G=(V，E)如图8－23所示:

图8－23 中间最远点图

此时求的是v0到v19、或者v0到v20、或者v0到v21耗用时间最短的路线。

(3)当最远点位于图8－21中C点时的图G=(V，E)如图8－24所示:

图8－24 右边最远点图

此时求的是v0到v18、或者v0到v19、或者v0到v20耗用时间最短的路线。

根据Warshall－Floyd算法求解可得到:

(1)当最远点位于图8－21中A点时，逃生最快路线: v0→v3→v6→v9→v12→v15→v18，运行的最短时间为: t31=31.2s。

(2)当最远点位于图8－21中B点时，逃生最快路线为: v0→v1→v4→v7→v10→v13→v16→v19或v0→v2→v5→v8→v11→v14→v17→v20，运行的最短时间为: t31=35.6s。

(3)当最远点位于图8－21中C点时，逃生最快路线: v0→v4→v7→v10→v13→v16→v19，运行的最短时间为: t31=31.2s。

由上述可知，距离最远点为图8－21中B点，因此初始疏散点应选为B点，其疏散路线应选为图8－23中的v0→v1→v4→v7→v10→v13→v16→v19或v0→v2→v5→v8→v11→v14→v17→v20，运行时间最短为t31=35.6s。

按照人员疏散时的一般心理，都选择离自己最近的安全出口进行疏散，则很容易得到最底层从左到右三个出口逃离的疏散人员比例为1 :2 :1，则三个出口的疏散人数(按420人计算)为105人、210人以及105人。

分别对左右两个出口及中间出口进行排队壅滞时间t32进行计算。

(1)左右两个出口的t32。对于左右两个出口的最后一个疏散人员而言，当其达到最底层的安全出口时，此时已经运动了35.6s。

得到该办公楼人群流动系数为1.3人/(m·s)，即该办公楼最底层左右两个出口的人员疏散能力为2.6人/s。据调查测算，单位时间到达左右两个安全出口的人数为1.8人/s，此时无壅滞现象发生。得到

t31=35.6s＜ASET－T1－T2=360s－25s－240s=95s

即左右出口是满足安全疏散条件的，无须优化。

(2)中间出口的t32。对于中间出口最后一个疏散人员而言，当其达到最底层的安全出口时，此时已经运动了35.6s。

得到该办公楼人群流动系数为1.3人/m·s，即该办公楼最底层中间出口的人员疏散能力为3.12人/s。得到所有人员在最理想的排队状态下，最快通过最底层中间安全出口的时间为67.3s。据调查测算，单位时间到达中央出口的人数为3.6人/s，此时发生人员壅滞现象，t32=(3.6－3.12) ×35.6÷3.12=5.48s。得到

t31+t32=35.6s+5.48s=41.08s＜ASET－T1－T2=360s－25s－240s=95s

即中间出口是满足安全疏散条件的，无须优化。