传统模态逻辑

第二节　传统模态逻辑

一、模态判断

模态判断是指含有“必然”、“可能”这种类型模态词的判断，也称为狭义的模态判断或者真性模态判断。它主要是指反映事物情况存在的必然性和可能性的判断。例如，“作案人必然会有作案时间”、“明天可能下雨”等都属于这种类型的模态判断。

(一)模态判断的种类

根据逻辑模态词类型的不同，模态判断可以分为必然模态判断(简称必然判断)和可能模态判断(简称可能判断)两大类。

1.必然判断

必然判断是指反映事物情况具有必然性的模态判断。根据其原判断联项的不同(即肯定或者否定)，可以分为必然肯定判断和必然否定判断。

(1)必然肯定判断

必然肯定判断是反映事物情况必然存在的模态判断。例如:

①改革必然会遇到阻力。

②新事物必将代替旧事物。

这些属于必然肯定判断。其中例①反映“改革会遇到阻力”具有必然性，例②反映“新事物代替旧事物”具有必然性。

必然肯定判断的逻辑形式为:

S必然是P　或　必然p

用符号“□”表示“必然”，则“必然p”还可表示为:□p

在上述逻辑形式中，S、P分别代表原判断的主项和谓项，p则代表原判断。(下同)

(2)必然否定判断

必然否定判断是反映事物情况不必然存在的模态判断。例如:

①人的正确思想必然不会从天上掉下来。

②客观规律必然不依人们的意志为转移。

这些属于必然否定判断。其中例①反映“人的正确思想不会从天上掉下来”具有必然性，例②反映“客观规律不依人们的意志为转移”具有必然性。

必然否定判断的逻辑形式为:

S必然不是P或必然非p

用符号“﹁”表示“非”，则“必然非p”还可表示为:□﹁p

2.可能判断

可能判断是指反映事物情况存在具有可能性的模态判断。根据其原判断联项的不同，同样可以分为可能肯定判断和可能否定判断。

(1)可能肯定判断

可能肯定判断是反映事物情况可能存在的模态判断。例如:

①这个案件可能是谋财害命。

②本案作案人可能是外地人。

这些就是可能肯定判断。其中例①反映“这个案件是谋财害命”具有可能性，例②反映“本案作案人是外地人”具有可能性。

可能肯定判断的逻辑形式为:

S可能是P或可能p

用符号“◇”表示“可能”，则“可能p”还可表示为:◇p

(2)可能否定判断

可能否定判断是反映事物情况可能不存在的模态判断。例如:

①犯罪分子不受刑罚处罚是可能的。

②法庭可能还没有做出判决。

这些就是可能否定判断。其中例①反映“犯罪分子不受刑罚处罚”具有可能性，例②反映“法庭还没有做出判决”具有可能性。

可能否定判断的逻辑形式为:

S可能不是P或可能非p

用符号“﹁”表示“非”，则“可能非p”还可表示为:◇﹁p

(二)模态判断的对当关系

上述四种模态判断必然p、必然非p、可能P、可能非p之间存在着真假制约关系，叫模态判断对当关系。这种关系与A、E、I、O四种性质判断的真假关系的规律一致，同样可以用一个正方形加以表示，叫做模态判断逻辑方阵。

讨论模态判断对当关系的前提条件是素材相同，即原判断素材相同，亦即原判断的主项相同并且谓项相同。

素材相同的四种模态判断之间的真假制约关系有如下四种类型:

1.反对关系

必然肯定判断(□p)与必然否定判断(□﹁p)之间的关系是反对关系。它们之间不能同真，可以同假。也就是说，其中一个真，则另一个必假;一个假，则另一个真假不定。例如:

①中国羽毛球队必然获胜。

②中国羽毛球队必然不获胜。

其中例①真，则例②必假;例②真，则例①必假。而例①假，则例②真假不定;例②假，则例①真假不定。

2.下反对关系

可能肯定判断(◇p)与可能否定判断(◇﹁p)之间的关系是下反对关系。它们之间不可同假，但可以同真。也就是说，其中一个假，则另一个必真;一个真，则另一个真假不定。例如:

①他可能是凶手。

②他可能不是凶手。

其中例①假，则例②必真;例②假，则例①必真。而例①真，则例②真假不定;例②真，则例①真假不定。

3.差等关系

必然肯定判断(□p)与可能肯定判断(◇p)、必然否定判断(□﹁p)与可能否定判断(◇﹁p)之间的关系都是差等关系。它们之间可以同真，也可以同假。具体说，必然判断真，则相应的可能判断必真;但必然判断假，则相应的可能判断真假不定。可能判断真，则相应的必然判断真假不定;可能判断假，则相应的必然判断必假。

①他必然不会让步。

②他可能不会让步。

其中例①真，则例②必真;例①假，则例②真假不定。例②假，则例①必假;例②真，则例①真假不定。

4.矛盾关系

必然肯定判断(□p)与可能否定判断(◇﹁p)、必然否定判断(□﹁p)与可能肯定判断(◇p)之间的关系的关系都是矛盾关系。它们之间不可同真，不可同假。或者说，其中一个真，则另一个必假;一个假，则另一个必真。例如:

①他必然是主谋。

②他可能不是主谋。

其中例①真，则例②必假;例②真，则例①必假。反之，例①假，则例②必真;例②假，则例①必真。

四种模态判断之间的真假制约关系，与四种性质判断之间的真假制约关系非常类似。所以，模态判断的这种对当关系，如同性质判断对当关系一样，也可以用一个正方形予以图示，即模态判断逻辑方阵。模态判断逻辑方阵图与性质判断逻辑方阵图也是极其相似的，换言之，性质判断逻辑方阵图四个角上的A、E、I、O，分别换成□p、□﹁p、◇p、◇﹁p，就成了模态判断逻辑方阵图，如下图所示:

模态判断逻辑方阵图中，可以引入不带模态词的原判断“p”和“﹁p”。相对于四种模态判断，这种不带模态词的原判断称为实然判断。实然判断引入后的模态判断逻辑方阵图如下图所示:

方阵图中，原来的关系不变，新增加的关系如下:

(1)□p与﹁p、□﹁p与p之间为反对关系;

(2)◇p与﹁p、◇﹁p与p之间为下反对关系;

(3)□p与p、p与◇p、□﹁p与﹁p、﹁p与◇﹁p之间为差等关系;

(4)p与﹁p之间为矛盾关系。

(三)模态判断应用中需注意的问题

应用模态判断时主要应注意以下两个问题。

1.复合模态判断与叠置模态判断

模态判断一般是由模态词与原判断两部分组成。其中模态词除了“必然”和“可能”之外，还包括“一定”、“也许”等表示同类性质的语词。例如:

①小李一定是本案的主谋。

②小李也许是本案的主谋。

如例①和例②中，原判断都是“小李是本案的主谋”，但例①的模态词是“一定”，而例②的模态词是“也许”。

需要注意的是，模态判断中的原判断可以是简单判断，也可以是复合判断。因而便有简单判断的模态判断(也称为“简单模态判断”)和复合判断的模态判断(也可叫做“复合模态判断”)。上面所提及的例子大都属于简单模态判断，下面的例子则属于复合模态判断。例如:

③智者千虑，必有一失;愚者千虑，必有一得。

④物极必反。(即事物如果发展到极点，则必然走向它的反面。)

例③说明“智者千虑，必有一失”和“愚者千虑，必有一得”两种具有必然性的情况存在;例④则反映“事物发展到极点”是“(事物)走向它的反面”的充分条件具有必然性。

叠置模态判断是指对已经含有模态词的判断再加上模态词。例如:

⑤任何人都可能有缺点是必然的。

⑥机器人可能代替人类是不必然的。

这两个判断分别符号表示如下:

⑤□◇P

⑥﹁□◇P

叠置模态判断是一种特殊类型的复合模态判断，表现为在一个模态判断中至少有两个或者两个以上的模态词同时存在。

2.正确区分模态判断的负判断与模态否定判断

模态判断的负判断，是指否定某个模态判断的判断。如下面两个例子:

①并非事物可能不发生变化。

②并非这次中毒事件必然会发生。

这些就是模态判断的负判断。其中例①对“事物可能不发生变化”这个可能否定判断作了否定，构成了一个可能否定判断的负判断;例②对“这次中毒事件必然会发生”这个必然肯定判断作了否定，构成了一个必然肯定判断的负判断。

模态判断负判断的逻辑形式，是在相应模态判断的逻辑形式前面加上否定词或否定符号。以上两个负判断中的模态判断，它们的逻辑形式分别为:

可能非p　或　◇﹁p

必然p　或　□p

在这些逻辑形式前面加上否定词或否定符号，就是这两个模态判断负判断的逻辑形式:

不可能非p　或　﹁◇﹁p

不必然p　或　﹁□p

一个模态判断的负判断与该模态判断之间，它们的真值是正好相反的:一个模态判断真，则其负判断假;一个模态判断假，则其负判断真。因此一个模态判断的负判断，与该模态判断的矛盾判断是等值的。这样，就有了下列模态判断的负判断与其等值判断的公式:

﹁□p→◇﹁p

﹁◇p→□﹁p

﹁□﹁p→◇p

﹁◇﹁p→□p

据此，前面所举的两个模态判断的负判断，其等值情况如下:

“并非事物可能不发生变化”等值于“事物必然发生变化”。

“并非这次中毒事件必然会发生”等值于“这次中毒事件可能不会发生”。

需要注意的是，模态肯定判断(必然肯定判断或者可能肯定判断)的负判断与对应的模态否定判断(即必然否定判断或者可能否定判断)是不能混淆的。如必然肯定判断的负判断与对应的必然否定判断(﹁□p与□﹁p)、可能肯定判断的负判断与对应的可能否定判断(﹁◇p与◇﹁p)，它们都包含了一个否定词、一个相同的模态词和一个相同的原判断，然而否定词所在的位置是有区别的，否定词的否定意义也是不一样的。在模态判断的负判断中，否定词位于模态词之前(实际上是位于模态判断之前)，构成了对整个模态判断的否定;而在模态否定判断中，否定词位于模态词之后、原判断之前，其作用在于否定原判断的主词具有谓词所表示的性质，或者说，在于反映原判断的主词不具有谓项所表示的性质。在比较模态肯定判断的负判断与其对应的模态否定判断时，如果将模态判断的负判断转换为等值的模态判断，那么它们之间的不同就非常明显了。对比“并非这次中毒事件必然会发生”和“这次中毒事件必然不会发生”，前者等值于一个可能否定判断(即“这次中毒事件可能不会发生”)，与后面这个必然否定判断显然是不等值的。

在一般情况下，当模态判断的负判断，其否定词位居模态判断之前(例如“并非这次中毒事件必然发生”这样的形式)，进行这种区别还是比较容易的。但是在另一种情况下往往容易发生混淆，那就是判断中同时出现了否定词和模态词，并且它们又前后相连，紧紧靠在一起。例如:

①明天不可能下雨。

②明天可能不下雨。

③能说会道的人不一定掌握了真理。

④能说会道的人一定没有掌握真理。

前两例中的否定词与模态词“可能”紧紧相连，后两例中的否定词则与模态词“一定”(即“必然”)紧紧相连。为了对这些判断的类型做出准确的认定，就应该对判断中否定词和模态词的先后位置有清醒的认识，从而区别两种情况。

第一种情况:否定词在前，模态词在后。此时为某个模态判断的负判断。如上面①、③两个例子:

“明天不可能下雨”，也即“并非明天可能下雨”，等值于“明天必然不下雨”。

“能说会道的人不一定掌握了真理”也即“并非能说会道的人一定掌握了真理”，等值于“能说会道的人可能没有掌握真理”。

第二种情况:模态词在前，否定词在后。此时为某个模态否定判断。如上面例②为可能否定判断，例④为必然否定判断。

在汉语中，“未必”这种语词形式即“不必然”的意思，是表达必然判断负判断的。如上面的例③，就可以表达为“能说会道的人未必掌握了真理”。

二、模态推理

(一)什么是模态推理

模态推理就是以模态判断为前提或结论的推理。例如:

①小李不可能是这起案件的作案人，所以，小李必然不是这起案件的作案人。

②珠穆朗玛峰还在不断增高发生变化，因此，珠穆朗玛峰必然不再变化的说法是不能成立的。

③作案人必有作案时间，某甲是作案人，所以某甲必有作案时间。

这些都是模态推理。其中例①的前提、结论均为模态判断(或模态判断的负判断);例②的前提是一个实然判断，结论是模态判断的负判断;例③的前一个前提为模态判断，后一个前提为实然判断，结论为模态判断。它们都属于模态推理。

模态推理通常有两种类型，即模态对当关系推理和模态三段论。

(二)模态对当关系推理

所谓模态对当关系推理，就是根据模态判断对当关系进行的演绎推理。模态判断对当关系，可以仅指四种模态判断之间的真值对应关系，也可以指四种模态判断以及两种实然判断之间的真值对应关系。在这里，模态判断对当关系，指后面这种扩大了的真值对应关系。因此，模态对当推理可分为如下四种类型。

1.反对关系模态推理

反对关系模态推理就是根据反对关系进行推演的模态推理。判断之间的反对关系，是不可同真但可同假的关系，因此由其中一个为真可以推知另一个为假，而由其中一个为假不能推知另一个的真假。据此，反对关系模态推理便有如下推理公式。

(1)□p→﹁□﹁p

例如:大量事实证明，这个事故必定是意外事故，因此，这个事故必定不是意外事故的说法是不对的。

(2)□﹁p→﹁□p

例如:既然本案必然不是谋财害命，因此本案必定是谋财害命的判断就不对了。

(3)□p→﹁﹁p即□p→p

例如:凡作案人必定都有作案时间，所以，凡作案人都有作案时间。

(4)﹁p→﹁□p

例如:并非所有的鸟都是会飞的，因此，并非所有的鸟都必然是会飞的。

(5)□﹁p→﹁p

例如:他们的目的一定(必然)达不到，所以，他们的目的达不到。

(6)p→﹁□﹁p

例如:我国刑法对适用类推定罪判刑的案件有严格的限制，因此，那种认为我国刑法对适用类推定罪判刑的案件必定没有严格限制的看法是不符合事实的。

2.下反对关系模态推理

下反对关系模态推理是根据下反对关系进行推演的模态推理。判断之间的下反对关系是不可同假但可同真的关系，因此由其中一个为假可以推知另一个为真，而由其中一个为真不能推知另一个的真假。据此，下反对关系模态推理便有如下推理公式。

(1)﹁◇p→◇﹁p

例如:这样的案件可能不会判10年以上的有期徒刑，因为大量案例都说明，这样的案件不可能会判10年以上的有期徒刑。

(2)﹁◇﹁p→◇p

例如:任何一部法律都不可能没有疏漏，所以说，任何一部法律都可能有疏漏。

(3)﹁◇p→﹁p

例如:我国刑法不可能实行罪行擅断主义，因此，我国刑法不实行罪行擅断主义。

(4)﹁﹁p→◇p即p→◇p

例如:刑法时效制度既然起源于罗马法，因此，说刑法时效制度可能起源于罗马法，当然也是对的。

(5)﹁◇﹁p→p

例如:法律不可能不反映统治阶级的意志，所以，法律是反映统治阶级意志的。

(6)﹁p→◇﹁p

例如:本案定罪判刑的理由并不充足，可见，本案定罪判刑的理由可能不充足。

3.差等关系模态推理

差等关系模态推理就是根据差等关系进行推演的模态推理。根据模态判断之间的差等关系，在相应的必然判断、实然判断和可能判断(即逻辑方阵中位于同侧的判断)之间，由前者为真可以推知后者为真，由后者为假可以推知前者为假;但是由前者为假不能推知后者的真假，由后者为真也不能推知前者的真假。据此，差等关系模态推理便有如下正确式。

(1)□p→p

例如:作案人必定有作案动机，所以说，作案人是有作案动机的。

(2)﹁p→﹁□p

这个案件必定是仇杀案件的假设是错误的，因为大量事实表明，这个案件并非仇杀案件。

(3)p→◇p

例如:他在这个职位上会贪污，因此，他在这个职位上可能会贪污。

(4)﹁◇p→﹁p

例如:没有作案时间的人不可能是作案人，所以，没有作案时间的人不是作案人。

(5)□﹁p→﹁p

例如:过失罪必定没有犯罪故意，可见，过失罪没有犯罪故意。

(6)﹁﹁p→﹁□﹁p即p→﹁□﹁p

例如:报纸上刊登香烟广告是违法的，因此，说报纸上刊登香烟广告一定不违法，显然是不对的。

(7)﹁p→◇﹁p

例如:既然说违法行为都是犯罪行为不对，所以，违法行为可能不是犯罪行为。

(8)﹁◇﹁p→﹁﹁p即﹁◇﹁p→p

例如:作案者不可能不留下痕迹，因此，作案者是要留下痕迹的。

4.矛盾关系模态推理

矛盾关系模态推理就是根据矛盾关系进行推演的模态推理。判断之间的矛盾关系，是不可同真、不可同假的关系，因此，由其中一个为真可以推出另一个为假，由其中一个为假可以推出另一个为真。据此，矛盾关系模态推理便有如下正确式。

(1)□p→﹁◇﹁p

例如:从死者被杀惨状看，凶手必定十分狠毒，因此，说凶手可能不是十分狠毒，显然不符合事实。

(2)﹁□p→◇﹁p

例如:大量迹象表明，罪犯不一定是成年人，所以说，罪犯可能不是成年人。

(3)◇﹁p→﹁□p

例如:有犯罪动机的人可能不是罪犯，因此，有犯罪动机的人一定是罪犯的看法是错误的。

(4)﹁◇﹁p→□p

例如:从现场勘察情况看，凶手与被害人可能不相识的说法应予否定，因此，凶手与被害人必定相识。

(5)□﹁p→﹁◇p

例如:两个人中跑得快的必定不是贼，所以，两个人中跑得快的不可能是贼。

(6)﹁□﹁p→◇p

例如:遭到抢劫的女性未必就不能很顺畅地把案情讲清楚，因此，遭到抢劫的女性很顺畅地把案情讲清楚，是完全可能的。

(7)◇p→﹁□﹁p

例如:凶手可能是在逃犯，所以，认为凶手必然不是在逃犯的意见应予否定。

(8)﹁◇p→□﹁p

例如:这场火灾可能是自然灾害的假设不能成立，因此，这场火灾必定不是自然灾害。

前面介绍模态判断的负判断时，曾给出了模态判断的负判断与其等值判断的四个公式:

﹁□p→◇﹁p

﹁◇p→□﹁p

﹁□﹁p→◇p

﹁◇﹁p→□p

不难看出，这里所说的矛盾关系模态推理与这四个等值式是有关联的。这里的第一个等值式，是推理(2)和(3)的依据;反过来看，推理(2)和(3)，则是第一个等值式的展开。同样，第二个等值式，是推理(6)和(7)的依据;反过来看，推理(6)和(7)，则是第二个等值式的展开。第三个等值式，是推理(5)和(8)的依据;反过来看，推理(5)和(8)，则是第三个等值式的展开。第四个等值式，是推理(1)和(4)的依据;反过来看，推理(1)和(4)，则是第四个等值式的展开。

按照通常的理解，依据等值关系所进行的推理叫做等值推理，即从等值式的左边推出右边，或者从右边推出左边。从这个意义上说，矛盾关系模态推理，实际上也就是等值关系模态推理了。

(三)复合模态判断推理

所谓复合模态判断的推理，就是前提或者结论为复合模态判断的推理，即根据复合模态判断之间的等值关系进行的演绎推理。

1.必然(p并且q)等值于“必然p并且必然q”。

即:□(p∧q)→□p∧□q

例如:“必然某甲是作案人并且有作案时间”等值于“某甲必然是作案人并且某甲必然有作案时间”。等值的判断可以相互推出，所以下面的两个推理分别成立:

①必然某甲是作案人并且有作案时间，所以，某甲必然是作案人并且某甲必然有作案时间。

②某甲必然是作案人并且某甲必然有作案时间，所以，必然某甲是作案人并且有作案时间。

2.“必然p或者必然q”蕴涵“必然(p或q)”。

即:□p∨□q→□(p∨q)

例如:这场搏击比赛的最后决赛中，某甲必然获得冠军或者某乙必然获得冠军，所以必然某甲获得冠军或者某乙获得冠军。

需注意的是，从“必然(p或q)”推不出“必然p或者必然q”，这是因为“某甲赢某乙或者某甲输给某乙是必然的”这是一个真判断;但是从这个判断不能推出“某甲必然赢某乙”或者“某甲必然输给某乙”是必然的。所以，□p∨□q与□(p∨q)不是等值关系。

3.可能(p或者q)等值于“可能p或者可能q”

即:◇(p∨q)→◇p∨◇q

例如:“某甲是凶手或者某乙是凶手是可能的”等值于“某甲可能是凶手或者某乙可能是凶手”。由于等值关系成立，下面两个推理分别成立:

①某甲是凶手或者某乙是凶手是可能的，所以，某甲可能是凶手或者某乙可能是凶手。

②某甲可能是凶手或者某乙可能是凶手，所以，某甲是凶手或者某乙是凶手是可能的。

4.“可能(p并且q)”蕴涵“可能p并且可能q”

即:◇(p∧q)→◇p∧◇q

例如:“某甲获得冠军或者某乙获得亚军是可能的”可推出“某甲可能获得冠军或者某乙可能获得亚军”。

需注意的是，从“可能p并且可能q”不能推出“可能(p并且q)”，这是因为“某甲赢某乙或者某甲输给某乙是可能的”这是一个真判断;但是从这个判断不能推出“某甲赢某乙并且某甲输给某乙是可能的”。所以，◇(p∧q)与◇p∧◇q不是等值关系。

(四)模态三段论

前面所介绍的几种推理都属于直接推理，因为它们是从一个前提直接推出结论。模态三段论则是一种间接推理。模态三段论是指前提或结论为模态判断的三段论。具体而言，就是在直言判断三段论的前提或结论中引入模态词所构成的一种特殊形态的三段论。例如:

作案人必然有作案时间

某甲是作案人

某甲必然有作案时间。

就是一个标准的模态三段论推理。

由于模态三段论有一个特点，即两个前提中至少有一个是模态判断。所以根据前提的不同类型组合，模态三段论可分为多种类型。下面仅根据前提的不同组合介绍几种较为简单的形式，它们都是以直言判断三段论第一格为基础的肯定判断。

1.必然模态三段论

必然模态三段论，是指前提和结论只含有模态词“必然”的模态三段论，其逻辑形式可再分为两种:

(1)前提和结论均为必然肯定判断的模态三段论:

凡M必然是P

S必然是M

凡S必然是P。

即:□(MAP)∧□(SAM)→□(SAP)

例如:凡是故意犯罪必然会有犯罪动机，小李必然是故意犯罪，所以，小李必然会有犯罪动机。

(2)前提为必然模态判断和实然判断，结论为必然模态判断的模态三段论:

凡M必然是P

S是M

凡S必然是P。

即:□(MAP)∧SAM→□(SAP)

例如:凡是故意犯罪必然会有犯罪动机，小李是故意犯罪，所以，小李必然会有犯罪动机。

2.可能模态三段论

可能模态三段论是指前提和结论只含有模态词“可能”的模态三段论，其逻辑形式也可再分为两种:

(1)前提和结论均为可能判断的模态三段论:

凡M可能是P

S可能是M

S可能是P。

即:◇(MAP)∧◇(SAM)→◇(SAP)

例如:贪污罪可能是侵犯公共财产的行为，本案当事人的行为可能是贪污罪，所以，本案当事人的行为可能是侵犯公共财产的行为。

(2)前提为可能模态判断和实然判断，结论为可能模态判断的模态三段论:

凡M可能是P

S是M

S可能是P

即:◇(MAP)∧SAM→◇(SAP)

例如:贪污罪可能是侵犯公共财产的行为，本案当事人的行为是贪污罪，所以，本案当事人的行为可能是侵犯公共财产的行为。

3.混合模态三段论

混合模态三段论是指前提是由必然模态判断和可能模态判断共同构成的模态三段论，其逻辑形式为:

凡M必然是P

S可能是M

S可能是P。

即:□(MAP)∧◇(SAM)→◇(SAP)

例如:凡故意杀人必然要负刑事责任，小李的行为可能是故意杀人，所以，小李的行为可能要负刑事责任。

需要注意的是，在混合模态三段论中，由于前提是由必然模态判断和可能模态判断共同构成，结论一般会遵循“从弱原则”，具体是指结论不得强于前提中比较弱的前提。一般而言，可能模态判断弱于必然模态判断，因此以它们为前提的推理，结论应为可能模态判断。