随机型存储模型实际应用

子任务6.2　随机型存储模型实际应用

6.2.1　任务引入

【任务6-9】　某货物的需求量为14～21件，每卖出一件可赢利6元，每积压一件，损失2元，问一次性进货多少件，才使赢利期望最大？

表6-1

【任务6-10】　某设备上有一关键零件常需更换，更换需要量x服从泊松分布，根据以往的经验，平均需要量为5件，此零件的价格为100元/件，若零件用不完，到期末就完全报废，若备件不足，待零件损坏了再去订购就会造成停工损失180元，问应备多少备件最佳？

【任务6-11）】　某时装商店计划冬季到来之前订购一批款式新颖的皮制服装。每套皮装进价是1000元，估计可以获得80%的利润，冬季一过则只能按进价的50%处理。根据市场需求预测，该皮装的销售量服从参数为1/60的指数分布，求最佳订货量。

【任务6-12】　设某企业对于某种材料每月需求量的资料如表6-2所示。

表6-2

【任务6-13】　某商场经销一种电子产品，根据历史资料，该产品的销售量服从在区间［50，100］的均匀分布，每台产品进货价为3000元，单位库存费为40元，若缺货，商店为了维护自己的信誉，将以每台3400元的价格向其他商店进货后再卖给顾客，每次订购费为400元，设期初无库存，试确定最佳订货量及S值。

6.2.2　任务分析

前面讨论的存储问题属确定型存储问题，其中涉及一些因素如货物的需求是确定的，订货费用和计划期的存储费用都是已知的，甚至缺货的成本都作为常数来考虑。但现实情况常常比较复杂，前面涉及的许多参数都将成为随机变量，这就产生了随机型存储模型。

一般来说，随机型存储问题最重要的特点是需求（速度）量是随机的，这是由于社会现象是复杂的，而引起需求的原因很多，有些可以量化，有些难以量化，这使得货物的需求难以确定，因此需求是一个随机变量。但可假设需求量的分布规律可以通过历史的统计资料来获得，除此之外到货时间也是随机的，因为从订单发出，到货物送达，必定有一段时间延迟。这段时间延迟由于受生产、运输过程中的许多偶然因素影响、经常表现为一个随机变量。因此到货时间经常也是随机变量，还有库存量也是随机的，在某些存储问题中，实际库存量确是随机的；而在另一些存储问题中，实际库存量则要通过对库存的定期盘点才能知道。一般企业中，也仅对重要物资才要求随时掌握库存量。

随机存储问题中的订货策略较复杂，实际的库存管理中，订货策略多种多样，但分类的依据有两类：一类是按订单发出的条件来分，可分为警戒点订货法和定期订货法。前者是当库存量低于某个警戒水平时就发出订单。后者是每隔一个确定的时间周期发出订单，例如每月25日发出下个月的订单；另一种分类依据是按照订货量来分，可分为定量订货法与补充订货法。前者每次订货的数量是一常数，后者每次订货数量是将实际库存补充到某一预定水平。

6.2.3　知识建构

1）单时期的随机模型

单时期随机需求问题中最典型的是报童问题，此类问题是将单位时间看作一个时期，在这个时期内只订货一次以满足整个时期的需求量，这种模型我们称之为单时期随机需求模型。这种模型常用来研究易变质产品需求问题，在模型中如果本期的产品没有用完，到下一期该产品就要贬值，价格降低、利润减少，甚至比获得该产品的成本还要低，如果本期产品不能满足需求，则因缺货或失去销售机会而带来损失，无论是供大于求还是供不应求都有损失，模型要求该时期订货量多少可使预期的总损失最少或总赢利最大。这类产品订货问题在现实中大量存在，如商场中秋要订购月饼等食品、书店要订购书刊、商店要购进服装、食品、甚至要经销计算机硬件等产品都可以看成模型的例子。

模型假设如下：

①在周期开始时做一次订货决策，设订货量为Q。

②瞬时供货。

③一个周期内需求量x是非负随机变量，其分布函数及密度函数都已知。

④初始库存量为零，且固定订购费也为0。

⑤决策准则是使期望总费用达到最小或期望总收益最大。

下面分别就离散型与连续型两种情况进行讨论。

（1）离散型随机模型

设在一个时期T内，需求量x是一个非负的随机变量，假设x的取值为x₁，x₂，…，x_n，相应的概率P（x_i）已知，最优存储策略是使在T内总费用的期望值最小或收益最大。设b为供过于求时单位产品总成本（存储成本及买价）、R为供不应求时单位产品总成本（缺货成本）。

①总费用的期望值最小的订货量。

一个时期内的订货费为0（即使不为0，只要是常数也可），单位产品的获得成本已包括在b中。当需求为x时，市场上实际卖出的产品数量将为min｛Q，x｝，本期的缺货量为max｛0，x-Q｝，库存量max｛0，Q-x｝。因此总费用最小的订货模型只包括上述两项费用，模型为：

由于x_i取离散值，所以不能用求导的办法而采用边际分析法求极值。为此最佳订货量Q^*应满足：

由f（x_r+1）≥f（Q^*）及f（x_r-1）≥f（Q^*）得：

②收益期望值最大的订货量。

现在考虑总收益最大的模型。仍设需求量x是一个非负的随机变量，假设x的取值仍为x₁，x₂，…，x_n，相应的概率P（x_i）已知。

当订货量Q≥x时，收益为Px-p₀Q+p₁（Q-x）-b₁（Q-x），式中P为货物的卖出价，p₀为货物购买价，p₁为积压品的处理价（p₁＜p₀），b₁为积压品仓储成本。

此时，收益的期望值为

当订货量Q＜x时，收益为Px-p₀Q-R（x-Q），式中R为缺货成本，收益的期望值为：

总收益期望值为

仿照总费用的期望值最小模型的解法，求其最优解，与式（6-33）相同。

对总收益期望值最大模型的叙述予以简化。

为叙述方便，设当货物售出时，单位货物收益为k元；货物未能售出，单位货物损失h元。

决策时选择每期货物的订货量Q，使赚钱的期望值最大。让货物因不能及时售出而出现的损失及因缺货失去销售机会而出现的损失两者期望值之和最小。

当供过于求时，这时货物因不能及时售出而出现损失，其期望值为：

当供不应求时，这时因缺货而少赚钱产生的损失，其期望值为：

所以，当订货量为Q时，损失的期望值为：

现决定Q^*之值，当Q^*≤Q时，f（Q^*）≤f（Q）；当Q^*≥Q时，f（Q^*）≤f（Q）。作为特例，这就是前面提到的报童问题，报童每天售报数量是一个随机变量。报童每售出一份报纸赚k元，如报纸未能售出，每份赔h元。报童每日售出报纸份数x_i的概率P根据以往的经验是已知的，问报童每日最好准备多少份报纸？

由于报童订购报纸的份数只能取整数，所以

f（Q^*）≤f（Q^*+1）　与　f（Q^*）≤f（Q^*-1）

同时成立。

经化简后分别得

解之最优Q^*应满足：

任务6-9和任务6-10考虑的是单时期离散型随机模型。

（2）连续型存储模型

离散型存储策略的分析方法同样适合连续型。设需求量x为连续的随机变量，其概率密度为φ（x），此处x≥0。单位货物的购买（生产）成本为p₀，单位货物售价为P，计划期单位存储费为b元，为方便起见，先假设无缺货成本。

设订货数量为Q，货物需求量为x，此时货物的销量应为min｛x，Q｝。需支付存储费max｛b（Q-x），0｝，即只有库存时，才支付存储费。

本阶段的赢利w（Q）=P×min｛x，Q｝-Qp₀-max｛b（Q-x），0｝，赢利的期望为：

上式后部分的期望，分别是因缺货失去销售机会出现损失、因滞销出现仓储费及购买价。

可以看出，求赢利最大与求损失期望最小是等价的。

利用E［w（Q）］是Q的连续、可微函数，要求=0即可得出Q应满足方程：

并且可验证此为模型最优解。

前面讨论模型中期末的存货还可以在下期销售，如果必须处理呢？

当x≤Q时，此时供过于求，货物因不能及时售出而出现损失，其期望值为：

当x＞Q时，供不应求。这时因缺货而少赚钱而产生的损失，其期望值为：

总费用期望为：

由导数为零得：

前面讨论中缺货时只考虑了失去销售机会，如果缺货时还要付出费用R＞P，则Q的选取应满足

任务6-11和任务6-12考虑的是单时期连续型随机模型。

2）多时期库存模型

多时期库存模型是考虑了时间因素的一种随机动态库存模型，它与单时期库存模型的不同之处在于：每个周期的期末库存货物对于下周期仍然可用。由于多时期随机库存问题更为复杂和更为广泛，在实际应用中，库存系统的管理人员往往要根据不同物资的需求特点及资源情况，本着经济的原则采用不同的库存策略，最常用的是（s，S）策略。

（1）需求是随机离散的多时期（s，S）库存模型

该模型的特点在于订货的机会是周期性出现。假设在一个阶段的开始时原有库存量为Q₀，若供不应求，则需承担缺货损失费；若供大于求，则多余部分仍需库存起来，供下阶段使用。当本阶段开始时，按订货量Q，使库存水平达到S=Q₀+Q，则本阶段的总费用应是订货费、库存费和缺货费之和。

设货物的单位成本为p₀，单位库存费为b，缺货损失为R，每次订货费为a，需求为x_i，概率分布为P（x_i），为方便可设x_i＜x_i+1。

此时需支付订货及购货费、库存费或缺货损失费。

订购费为a+Qp₀；设市场的需求量为x，市场上实际卖出产品数量为min｛x，Q₀+Q｝，缺货量为max｛0，x-Q₀-Q｝，本期的库存量为max｛0，Q+Q₀-x｝。

利用S=Q₀+Q，总费用函数可表为：

f（x，S）=a+p₀（S-Q₀）+R max｛0，x-S｝+b max｛0，S-x｝

期望总费用函数f（S）为

使上式达到最小的S即为最优库存水平。

因为f（S）是离散的，设x_r-2＜S^*=x_r-1＜x_r，采用边际分析法。

由f（x_r-1）≤f（x_r）及f（x_r-1）≤f（x_r-2）得出：称为临界值，据上式可求出S^*= x_r-1，最佳订货量为x_r-1-Q₀，实际订货量选择max｛0，x_r-1-Q₀｝。

对于任务6-12，考虑需求是随机离散的多时期（s，S）库存模型。

（2）需求是随机连续的多时期（s，S）模型

设货物的单位成本为p₀，单位库存费为b，单位缺货损失费为R，每次订货费为a，假定滞后时间为0，需求x是连续的随机变量，概率密度为φ（x），期初库存量为Q₀，订货量为Q。确定订货量Q，使总费用的期望值最小。

现要考虑的费用有订购费、库存费、缺货损失费。

订货费为a+Qp₀；

当需求x≤S时有剩余货物；而当x＞S时无库存。式中S为最大库存量（S=Q₀+Q）。

库存费的期望值为：

当需求x＞S时，需付缺货费，缺货费的期望值为：

总费用的期望值为：

利用含参变量的求导得：

称为临界值，由上式可得出S，再由Q=S-Q₀可确定最佳订货量。对于任务6-13，考虑的是需求随机连续的多时期（s，S）模型。

6.2.4　任务实施

对于任务6-9，实施

可以看出

=0.83。所以Q取19为最佳。

对于任务6-10，实施

由于零件是企业内部使用，并不对外售出。零件被耗用时不构成浪费，故认为这时被“售出”，其收益为未造成的停工损失，少损失180元即可认为收益180元；零件未被耗用，认为出现“积压”造成浪费，损失的是成本100元。

泊松分布函数为：

查泊松分布表，

即最好准备6件零件。

对于任务6-11，实施

已知p₀=1 000，P=1 800，p₁=500，k=800，h=500

对于任务6-12，实施

由题知p₀=752元，b=40元，R=1400元。

临界值

吨。如Q₀=40吨，则需补充42吨货物。此时期望费用为

400+42×752+40×［（82-55）×0.05+（82-64）×0.10+

（82-75）×0.15］+1400×［（88-82）×0.2+（90-82）×0.1+

（100-82）×0.15+（110-82）×0.1］=42652（元）

对于任务6-13，实施

由题知p₀=3000，b=40，R=3400，a=400，此时，费用期望值为