乘数的数学推导和图解

三、乘数的数学推导和图解

我们先用数字例子推导乘数的基本公式，在此基础上用参数来推导。沿用上面的例子，则边际消费倾向b＝0．9，为简化起见，假定边际消费倾向始终不变。当投资从50亿元增加到100亿元，增加50亿元时，第1轮国民收入增加50亿元，家庭将其分解为45亿元的消费（50×0．9＝45）和5亿元的储蓄（50×0．1＝5），45亿元的消费又会带来45亿元的收入，家庭再将其分解为40．5亿元的消费和4．5亿元的储蓄，形成40．5亿元的收入，这一过程持续进行下去。将每一轮收入增加加总起来，可得收入总的增加量为：

ΔY＝50＋45＋40．5＋36．45＋…＋…

上式可以写成：

ΔY＝50×0．9⁰＋50×0．9¹＋50×0．9²＋…＋50×0．9ⁿ…

这是无穷递减等比数列在等比（b＝0．9）为小于1的正数时的和，这一和值是收敛的，可得：

式中，50为初始投资的增加量，那么上式还可改变为：

如果我们以参数形式表达上面的分析过程，初始投资变化量用ΔI表示，可得：

即

上式后半部分是对乘数公式的扩展，反映了两部门经济中投资乘数等于1减边际消费倾向的倒数，由于边际消费倾向与边际储蓄倾向互为补数，因此投资乘数还可表示为边际储蓄倾向的倒数。

图5．9是乘数效应的图示。如图中当投资从I₁增加到I₂，总需求曲线从C＋I₁向上平移到C＋I₂。收入按下述方式调整：收入为Y₁时，投资增加到I₂，经济移动到A点所示的位置，出现了非计划的存货负投资，总需求大于总供给，下一期收入增加到Y₃，即45°线上点B位置，这一轮收入增加带来了消费水平提高，经济向C点移动，总需求仍然大于总供给，收入进一步上升，这一过程持续下去，直到收入达到新均衡水平Y₂。

图5．9　乘数效应图示

乘数效应的大小也可以从图形中反映出来。在图5．10中，两条总需求曲线的垂直距离即为投资的变化量ΔI，等于E₂F₁线段，收入的变化量等于E₁F₂线段，根据45°线的性质，也等于E₂F₂线段，因此，乘数值就等于，由于E₂F₂＞E₂F₁，因此可得乘数值大于1。进一步，从图5．10中可见，当边际消费倾向b较大时，总需求曲线较为陡直，E₂F₂与E₂F₁相比更长，因此，乘数值会更大，这与前面数学推导公式中得到的结论是一致的。

图5．10　乘数效应大小的图解