财经类大学《离散数学》教学研究

财经类大学《离散数学》教学研究

王树西

摘　要:《离散数学》是财经类大学信息管理专业的一门基础课程，某些财经类大学的经贸学院、金融学院，也开设了《离散数学》这门课程。因为《离散数学》在经济、管理、金融等学科有着广泛的应用，所以财经类大学越来越重视《离散数学》课程建设。本文从课程建设调研、课程内容分析与筛选、教材建设、教学方法创新、教学课件建设等多个方面，对财经类大学《离散数学》的教学进行了研究。

关键词:离散数学;财经类大学;教学研究

引言

《离散数学》(Discrete Mathematics)是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。

开设《离散数学》这门课程的大学院系，一般是计算机系而不是数学系。这是因为:《离散数学》在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时《离散数学》也是计算机专业的许多专业课程必不可少的先修课程。所以《离散数学》又称为“计算机数学” ，有着很强的应用性，是计算机专业的必修课。应该说明的是，《离散数学》中的很多内容，在数学系中会以其他课程(如抽象代数、拓扑学等)的形式去学。

财经类大学的信息管理专业是交叉学科，很多都属于“计算机课程+管理课程”的授课体系，需要开设大量的计算机专业课程(如:“计算机网络” 、“数据结构” 、“数据库”等) ，因此一般以选修的形式，开设《离散数学》这门基础课程。

某些财经类大学的经贸学院、金融学院，也开设了《离散数学》这门课程，如对外经贸大学经贸学院就开设了《离散数学》这门课程。因为《离散数学》在经济、管理、金融等学科中同样有着广泛的应用，所以财经类大学越来越重视《离散数学》课程建设。

在《离散数学》教学方面，财经类大学与工科大学有着很大的不同。本文从课程建设调研、课程内容分析与筛选、教材建设、教学方法创新、教学课件建设等多个方面，对财经类大学《离散数学》的教学进行了研究。

一、《离散数学》课程建设调研

《离散数学》在1977年被IEEE确定为计算机专业核心主干课程，2001年又被IEEE和ACM组织推出的CC2001 (Computing Curricula 2001)教程确定为计算机专业第一核心主干课程。经过多年的课程建设，《离散数学》的内容框架越来越趋于成熟，基本上核心内容主要包含四大分支:“数理逻辑” 、“集合论” 、“代数系统” 、“图论” 。

《离散数学》在我国大学开设时间较早，课程建设时间较长，如:西安交通大学从1979年开始，由曹建猷教授开设《离散数学》课程; 1975年，J.R.Tremblny出版了“Discrete Mathematical Structures with Applications to Computer Science” ，李盘林教授于1978年将这本书翻译成自用教材。目前我国很多大学选用的《离散数学》教材，为耿素云等老师编写的《离散数学》 (清华大学出版社出版) ，或者左孝凌等老师编写的《离散数学》 (上海科学技术文献出版社出版) 。这是公认的两部比较经典的教材。

《离散数学》一般在第二学年上学期开设， 《离散数学》的授课专业主要包括:“计算机科学与技术” 、“电子信息工程” 、“软件工程” 、“通信工程” 、“电子商务” 、“信息管理与信息系统”等。《离散数学》一直是计算机相关专业的研究生入学考试课程。

在《离散数学》学时方面，各大学有着很大的不同。如:北京大学为了强化学生的基础理论，将《离散数学》拆分成三门课程(《集合论与图论》 、《数理逻辑》 、 《代数系统与组合数学》 ) ，共200个学时左右;北京航空航天大学将《离散数学》开设两个学期，共120个学时;对外经贸大学将《离散数学》设置为54个学时。一般来说，计算机相关专业的《离散数学》为72～108个学时;信息管理、电子商务等专业的《离散数学》为36～54个学时。

目前《离散数学》的教学模式，大多以“课堂讲授+课后作业+习题课”为主，少数学校引入了网络教学交流平台和实验环节。

二、财经类大学《离散数学》课程内容分析与筛选

《离散数学》具有概念多、理论性强、高度抽象等特点，另外财经类大学《离散数学》的学时不断被压缩，这就给教师的教学和学生的学习带来一定的难度，使得在实际教学中出现了学生学习兴趣不高、学习目的不明确、学习效果不理想等现象。

为了在有限的学时之内，激发学生对《离散数学》的兴趣，调动学生的学习积极性，从而提高课程的教学质量，必须在尊重教学规律、确保实际教学效果的前提下，对《离散数学》的内容进行反复筛选，对部分教学内容进行割舍。

作为一所财经类大学，对外经贸大学多年来进行《离散数学》课程建设，积累了丰富的经验。为了适应财经类大学的教学特点，提高教学效果，我们对《离散数学》的教学内容进行了反复筛选，筛选的原则是:

(1) “保留关键知识点、删除细枝末节知识点” 。在保证课程体系完整的前提下，保留关键的知识点，删除枝节性的知识点。因为财经类大学《离散数学》学时非常有限，在授课过程中不可能面面俱到，否则只会冲淡教学重点，让学生无所适从，丧失学习兴趣，所以只能保留关键的知识点，而删除枝节性的知识点。对于关键知识点，要讲深讲透，深度挖掘，做到少而精;而对于枝节性的知识点，可以让学生自己课下阅读了解;某些繁琐的内容甚至可以干脆删除。

(2)重定理应用、轻定理证明” 。《离散数学》中定理很多，证明过程非常繁琐，如果花费大量的时间进行定理证明，不但教学时间不允许，而且会挫伤学生的学习积极性，学生会质疑学习这门课程到底有什么用。财经类大学的学生普遍注重知识的应用，作为授课老师应该满足学生的这种需求，否则就难以提高教学质量。所以在内容筛选过程中，我们忽略过于复杂的定理证明，而通过大量的习题对定理进行广泛的应用，让学生通过应用掌握定理的相关知识点。

在《离散数学》教学内容的具体筛选过程中，我们将知识分为三类:重点内容、了解内容、删除内容。其中“重点内容”是《离散数学》的精华，是学生必须掌握的重点内容，需要教师精讲细讲;“了解内容”是学生了解的内容，不需要学生重点掌握，教师在讲解过程中点到即止;“删除内容”是过难、过于繁琐的内容，易于冲淡教学重点的内容，教师可以略讲、甚至不讲解这些内容。我们对《离散数学》的教学内容分章节进行了筛选，以下分别是《离散数学》各章节教学内容的具体筛选情况。

1.命题逻辑

重点内容:5个逻辑连接词(┐、∨、∧、→、() ;真值表;等值演算; 24个重要的等值式;根据真值表求取主析取范式和主合取范式;推理理论。

了解内容:命题符号化;命题公式及分类;极小项;极大项。

删除内容:联结词全功能集;对偶等。

2.谓词逻辑

重点内容:个体词;谓词;量词;特性谓词;谓词公式的解释。

了解内容:谓词逻辑与命题逻辑的区别;个体常项;个体变项;个体域;全总个体域;谓词常项;谓词变项;谓词逻辑合式公式;谓词逻辑等值式。

删除内容:谓词逻辑的推理理论等。

3.集合论初步

重点内容:如何求集合的子集和幂集;对称差运算;用文氏图对集合中的元素进行计数。

了解内容:集合的基本概念;集合的并、交、补、差运算;包含排斥原理;集合主要算律。

删除内容:集合恒等式的证明等。

4.二元关系和函数

重点内容:笛卡尔积;二元关系;关系图;关系的合成;关系的5种性质;等价关系、等价类;偏序关系、哈斯图、函数的复合。

了解内容:有序对;空关系;全域关系;通过关系图求关系的闭包。

删除内容:关系矩阵;定义域;值域;关系的逆、限制、像;关系等值式的证明;商集;全序关系;全序集;上界、下界;最大元、最小元;反函数、单调函数、特征函数等。

5.代数系统一般性质

重点内容:二元运算;封闭性;单位元;零元;逆元;代数系统;子代数系统;同态。

了解内容:n元运算;二元运算的交换律、结合律、分配律、吸收律、幂等律;单同态;满同态;同构。

删除内容:字母表;回文;平凡的子代数;真子代数;代数常数;积代数;同态像;零同态;自同构等。

6.典型的代数系统

重点内容:半群;群; Klein四元群; Abel群;子群;元素的阶;群方程的求解;子群定理及其应用; n元置换。

了解内容:可交换半群;独异点;有限群;无限群;生成的子群。

删除内容:积半群;中心;循环群;生成元;无限阶循环群; n元循环群; n元置换群;环与域;格与布尔代数等。

7.图的基本概念

重点内容:握手定理;点的度数;有向图的邻接矩阵;最短路径;关键路径;缓冲时间。

了解内容:图的基本概念;图的连通性;二部图;欧拉图;哈密尔顿图。

删除内容:关联矩阵;有向图的可达矩阵;平面图等。

8.树

重点内容:带权图的最小生成树;根据Huffman算法求最优2元树。

了解内容:树的基本概念;树的遍历。

删除内容:正则树;前缀等。

在“集合论”部分的讲解过程中，因为学生在中学就已经接触过“集合初步” ，所以这部分讲解很少，一带而过，主要让学生通过做习题复习以前学过的内容。

“代数系统”部分，内容相当抽象与枯燥，并且许多定理的证明过程非常繁琐。在工科院校的教学过程中，这部分是教学重点，因为“代数系统”是后续课程“密码学” 、“数字电路”的基础。但是对于财经类大学来说，不学习“密码学”和“数字电路” ，所以在“代数系统”部分的讲解过程中，我们对某些内容进行了删节，主要讲解其中的“代数系统的一般性质”和“半群与群” ，对于其中的“环、域、格、布尔代数”等内容，均作为学生了解内容，少讲甚至不讲。

“图论”部分，概念非常多，应用非常广。在讲解过程中，重点讲解其中的“图的矩阵表示” 、“最短路径及关键路径” 、 “树”等内容，特别是“树”的内容，更是要花大力气讲解，因为它是很多财经类课程(需要用到树的知识，如决策树)的基础。对于其中的“二部图、欧拉图、哈密尔顿图、平面图”等内容，均作为了解内容。

除了“数理逻辑” ，其余3个分支，均不注重定理证明，而注重定理的具体应用。也就是说，除非极其重要的定理，否则尽量避免定理证明。

教学时数分配如下:“数理逻辑”部分的教学时数为16课时; “集合论”部分的教学时数为13课时; “集合论”部分的教学时数为9课时; “图论”部分的教学时数为16课时。

通过对《离散数学》的教学内容进行筛选，缩减了教学内容，突出了教学重点。这些重点内容构成了财经类大学《离散数学》课程的主干，老师和学生可以针对重点内容进行深入挖掘。

三、财经类大学《离散数学》教材建设

目前国内编写的《离散数学》教材，在结构和内容上与国外教材都有一定程度的类似性。无论是国外的还是国内的《离散数学》教材，基本上都是面向计算机专业，作为计算机专业的一门重要基础课。

在经济学、金融学和管理学领域中， 《离散数学》同样扮演着重要的角色。而目前的《离散数学》教材，和经济学、金融学、管理学结合的比较少，面向财经类大学的离散数学教材更少。虽然目前已经有一些面向信息管理专业的《离散数学》教材(如:耿素云老师编写的《离散数学》 ，清华大学出版社，2008年第4版) ，但这些教材的编写者大多是工科院校的老师，教材内容对于财经类大学的学生来说仍然过难、过多，难以适应财经类大学学生的学习与老师的教学。这就给财经类大学的学生学习《离散数学》这门课程增加了很大的难度，也给财经类大学的任课老师选教材带来了很多不便。

因此，我们希望编写一本面向财经类大学的《离散数学》教材，以供财经类大学的学生和老师学习与使用。

对外经贸大学开设《离散数学》课程已经多年，不仅信息学院开设这门课程，而且经贸学院也开设这门课程。通过长时间的教学实践，在该课程的教材研究与教学改革方面，我们积累了较为丰富的经验，教学效果良好，得到学生的普遍认可。在长期积累的过程中，我们对《离散数学》的内容进行了适当的筛选，对重点内容增加了应用案例，并且融入了很多经济、管理、金融等学科的案例，以便学生把《离散数学》知识和经济、管理、金融知识有机的融合，有利于学生将来从事创新性的工作。

在上述长期积累的基础上，我们编纂了一本面向财经类大学的《离散数学》教材。本教材有如下特色:(1)对教学内容进行了筛选，保留关键的知识点，删除了一些理论性过强、过难的内容;(2)教材通俗易懂;(3)通过大量的习题，重于定理的具体应用，不重于定理的证明;(4)通过丰富的案例，理论联系实际，使得《离散数学》知识和经济、管理、金融等学科相结合;(5)介绍每章节内容之前，分别介绍了相关历史背景，使得读者了解相关知识的来龙去脉，使得《离散数学》有人文气息。据调研，目前的《离散数学》教材几乎都没有这部分内容;(6)为了尽量与英文教材保持一致，教材中介绍相关术语的同时，给出术语对应的英文名称。例如，在介绍“命题”概念的同时，给出这个概念对应的英文名称“Proposition” 。

目前这本教材已经在对外经贸大学《离散数学》教学中使用，我们希望这本教材能够被更多的财经类大学所采用。

四、财经类大学《离散数学》教学方法创新

提高《离散数学》课程的教学水平，不但有助于学生掌握处理离散结构的描述工具和方法，而且可以提高学生抽象思维能力和严格的逻辑推理能力，为学生将来参与创新性的工作打下坚实的基础。

在《离散数学》教学过程中，财经类大学和工科大学的教学侧重点不同:工科大学侧重基本概念、基本方法、以及基本理论体系的架构，并且重视定理的证明，而财经类大学侧重于概念和定理的具体应用。

工科大学侧重基本概念，基本方法以及基本理论体系的架构，并且重视定理的证明，这是因为:计算机是一个离散结构，它只能处理离散的数量关系，因此对于实际问题，要建立相应的离散结构数据模型，从而可由计算机进行处理。《离散数学》可以完成这个任务:《离散数学》以研究离散量的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般是有限个或可数无穷个元素，因此它充分描述了计算机科学离散性的特点。因此，工科院校在《离散数学》教学过程中，主要介绍《离散数学》各分支的基本概念、基本定理和基本方法，以及基本理论体系的架构，并且重视定理的证明。这些概念、定理和方法，大量地应用在《数字电路》 、《编译原理》 、《数据结构》 、《操作系统》 、《数据库系统》 、《算法分析与设计》 、《人工智能》 、《计算机网络》等专业课程中。

在财经类大学《离散数学》教学过程中，我们更加注重应用层面的教学，也就是侧重于概念和定理的具体应用。因为注重应用层面的教学，可以更大程度的调动学生学习的积极性，更大限度的培养学生利用所学知识解决实际问题的创新能力。

在对外经贸大学《离散数学》具体教学过程中，我们首先讲解基本概念和定理，其次讲解例题，然后让学生做习题，最后让学生根据所学知识解决实际问题;我们不断向学生推荐《离散数学》相关的科技论文，以更好地反映学科的最新发展;我们也在尝试在教学中增加实验环节:根据实际问题布置实验题，然后让学生上机解决。我们不断进行《离散数学》教学模式与教学方法的创新，并取得了良好的教学效果。

五、财经类大学《离散数学》教学课件建设

根据我们的调研，在《离散数学》课程建设过程中，大多数高校重视教材建设以及教学方法改革，但是对于教学课件建设还有值得商榷之处。具体表现在:教学课件以ppt为主要形式，但是内容死板，不够生动;将教材内容照搬到ppt上，把ppt当做不需要粉笔的“黑板” ;授课过程中完全依赖ppt，缺少与学生的互动。

我们根据新的教材，正在建设适合财经类大学使用的《离散数学》教学课件，建设的原则是:(1)简明扼要。在授课过程中仍然以教材为主，教学课件只是作为提纲。(2)生动。多做动画，形象的演示知识内容。 (3)制作精美。教学课件应该是精品，让人乐于使用。

六、教学效果

自从《离散数学》课程建设开始以来，对外经贸大学《离散数学》已经讲授过多次，我们深入进行教学改革，不断进行教学创新，教学效果整体显著提高，学生对《离散数学》这门课的认可度越来越高。每次授课结束，都会通过调查问卷的形式，让学生进行评分。《离散数学》最近6次的评分结果以及教学效果曲线图如下:

从上述曲线可以看出，随着教学创新的逐步深入，教学效果越来越好。

七、结论和下一步的工作

本文从课程建设调研、课程内容分析与筛选、教材建设、教学方法创新、教学课件建设等多个方面，对财经类大学《离散数学》的教学进行了研究。并从多个角度比较了工科院校和财经类大学《离散数学》教学的区别。本文以对外经贸大学为例，介绍了如何分析与筛选教学内容、如何进行教材建设、如何进行教学方法创新、如何进行教学课件建设。并介绍了对外经贸大学《离散数学》的教学效果。本文下一步的工作，是进行《离散数学》教学课件的建设。

参考文献

［1］耿素云，等.离散数学.北京:清华大学出版社，2008.

［2］左孝凌，等.离散数学.北京:上海科学技术文献出版社， 1982.