边际收益和需求价格弹性

边际收益和需求价格弹性

生产者在决策过程中，是要寻求目标函数的最优化(目标函数可以是利润、收益、成本，甚至是员工满意度)，优化决策中常用的方法就是边际分析，即生产者采取某种管理行动后，某一经济变量在一定范围内变化，生产者要确定这一行动能否使最大化问题的值进一步增大，或者最小化问题的值进一步减少。如果这种变化趋势满足了生产者的要求，那么，我们就可以在这一方向进一步调整，逐步使目标函数达到极值。例如，生产者拟增加产量，就要考虑产量增加后，增加的成本和增加的收益，当增加的成本大于增加的收益时，生产者就不应当增加产量，反而通过减少产量能提高利润。这里所说的增加的收益，就是边际收益(marginal revenue，MR)概念。

边际收益是指增加一个单位某种产品的销售量所带来的总收益的变化量。如果用ΔTR表示总收益的变化量，ΔQ表示销售量的变化量，则边际收益的定义式为：

在上式中，后面的部分是用导数的形式表示的，即总收益函数对销售量求一阶导数可得。

当需求函数是线性的情况下，其函数形式为P＝a＋bQ，在以价格为纵轴，产量为横轴时，该线性需求曲线与纵轴相交于A点，与横轴相交于B点(如图3.3所示)，则总收益TR＝PQ＝aQ＋bQ²，可得边际收益MR＝a＋2bQ，由此，边际收益曲线也是线性的，其斜率是需求曲线斜率的2倍，与纵轴的交点也是A点，而与横轴的交点C正好位于OB线的中点。

图3.3　线性需求曲线和边际收益曲线

在实践中，边际收益、价格与需求价格弹性之间的关系相当重要。例如，当厂商实施差别价格时，就可以根据这一关系制定在不同的细分子市场上的价格策略，详细内容将在后面阐述，这里主要推导这三者之间的关系。

这一关系可以用对总收益函数求导数的办法得到，也可以用差分形式推导。

设厂商面对的需求函数为：

Q＝f P()

则厂商总收益为：

厂商的边际收益是总收益对产量的一阶导数，可得：

TR＝P×Q＝f P()P

令E_d为需求的价格弹性系数，则有：

代入上式，可得：

上述推导是在存在连续可导的需求函数的情形下，当只有几组价格和需求量数据的情形下，可以用另一种方法近似地指导出上述关系。

设当价格为P₁时，需求量为Q₁，价格变化为P₂时，需求量为Q₂，可得ΔP＝

P₂－P₁，ΔQ＝Q₂－Q₁，即P₂＝P₁＋ΔP，Q₂＝Q₁＋ΔQ，当然由于价格与需求量呈反方向变化，ΔP和ΔQ的值为一正一负，降价时ΔP为负，ΔQ为正；反之，提价时ΔP为正，ΔQ为负。

厂商在价格变化前的总收益TR₁为：

TR₁＝P₁·Q 1

价格变化后的总收益TR 2为：

TR₂＝P₂·Q 2

则边际收益MR为：

由上面的边际收益、价格和需求价格弹性的关系式，结合图3.4，边际收益可为正、为零、为负，相对应，线性需求曲线上任意一点的弹性值不相同。在线性需求曲线的中点弹性等于1，为单元弹性；中点以上部分任何一点的弹性系数大于1，为富有弹性；中点以下部分任何一点的弹性系数小于1，为缺乏弹性。特别地，在边际收益与需求曲线在纵轴的交点(A点)，弹性系数等于无穷大，为完全富有弹性。需求曲线与横轴的交点(B点)，弹性系数等于零，为完全无弹性。

图3.4　线性需求函数、边际收益和需求价格弹性的关系

这一点从需求价格弹性的定义式中也可得到，由于需求曲线是线性的，其斜率保持不变，而需求曲线上各点的位置是不同的，所以在各点上计算出来的点弹性系数也就是不同的。