成本函数与利润最大化

第一节　成本函数与利润最大化

一、成本的类型与成本函数

经济学中的成本概念不同于会计学中的成本概念。会计学中的成本通常称为显成本（Explicit Cost），而经济学中的成本包括了显成本和隐成本（Implicit Cost）。关于隐成本的讨论涉及了机会成本的概念。机会成本是指把该资源投入某一特定用途后所放弃的在其他用途中所能够获得的最大利益，机会成本包括显成本与隐成本两个部分。显成本是厂商购买所需的投入物的实际支出；隐成本是厂商在生产过程中或经营活动中所使用的自己所拥有的投入物的价值，是一种隐性的成本。并不是厂商所耗费的所有成本都要列入机会成本之中，只有那些与厂商决策有关的成本才列入机会成本之中，一些与厂商决策无关的成本则不列入厂商的机会成本中去。例如，沉淀成本（Sunk Cost）是已经花费而又无法补偿的成本，就不列入机会成本之中。

关于成本的分类中还有社会成本和私人成本的划分方法。社会成本是指从社会整体来看待的成本，它也是一种机会成本，即把社会的资源用于某一种用途就放弃了该资源最有利可图的其他机会。私人成本是个人活动由他本人负担的成本。私人经济活动往往具有两面性，一方面其活动有其自身的耗费（私人成本），同时其活动也会对社会造成影响，从而产生社会成本，也就是外部的不经济性。在后面外部性的相关章节中我们会详细论述。

如果从时间的长短上进行划分，成本则分为短期成本和长期成本。短期成本是厂商在短期生产中所耗费的全部成本，包括固定成本与变动成本两个部分。而在长期内，厂商所投入的所有生产要素都可以变动，不存在固定成本与变动成本之分。

一般来说，成本函数可以由生产函数推导出来。考虑以下方程组

根据这三个方程，消去K和L，我们就可以得到成本函数，它是关于要素价格和产出的函数，即

在经济学的讨论中，一般假定要素价格是不变的，这时的成本函数可以看成产出q的函数。

（一）短期成本函数

由于短期成本有固定成本和变动成本之分，所以短期成本函数可以表示成如下形式:其中，f（q）为变动成本，b是固定成本。固定成本不随产量的变化而变化，变动成本是厂商花费在变动投入上的费用，随产量变化而变化。

1.短期成本

关于短期成本的一些基本概念有短期总成本（STC）、总固定成本（TFC）、总变动成本（TVC）、短期平均成本（SAC）、平均固定成本（AFC）、平均变动成本（AVC）以及短期边际成本（SMC）等。下面以三次成本函数为例说明它们之间的关系。

设三次成本函数为:

C=αq³+βq²+γq+δ

则

STC=αq³+βq²+γq+δ

TFC=δ

TVC=αq³+βq²+γq

SAC=αq²+βq+γ+δ/q

AFC=δ/q

AVC=αq²+βq+γ

SMC=3αq²+ 2βq+γ

2.基本概念之间的关系

STC、TFC、TVC之间的关系如图1-1所示，SAC、AFC、AVC、SMC之间的关系如图1-2所示。

（二）长期成本函数

从长期来看，所有的成本都是变动的，也就是不存在固定成本和变动成本之分。一般来说，长期总成本曲线是短期总成本曲线的包络线（Envelope Curve）。如图1-3中的LTC所示，长期总成本曲线从原点开始，表示长期总成本是完全随产出的变化而变化的。短期总成本曲线在纵坐标上的截距越大，代表的企业规模越大，因为大的企业规模总是产生较高的固定成本。

长期总成本曲线是由每一种产出水平下产生最低长期总成本的点构成的，在图1-3中，假定厂商可以在三种不同的工厂规模中选择产量为q₁，如工厂规模为STC₁，厂商的总成本（注意，一旦确定了工厂规模，此处的总成本就是短期总成本）为Sq₁；规模为STC₂，厂商的总成本为Tq₁；如工厂规模为STC₃，则总成本为Uq₁。厂商可用三种不同规模来生产同一产量Oq₁，但选择规模STC₁时总成本最低，S点位于LTC曲线上，是短期总成本曲线和长期总成本曲线的切点。从图形可见，若产量为q₂，则应选择STC₂的生产规模，若产量为q₃，则应选择STC₃的生产规模，所以长期总成本曲线是一系列最低成本点的轨迹，它是由无数条短期成本曲线的切线联结而成的。

图1-1　STC、TFC、TVC之间的关系

图1-2　SAC、AFC、AVC、SMC之间的关系

图1-3　长期总成本和短期总成本

与短期成本函数一样，长期成本曲线也有长期平均成本（LAC）曲线和长期边际成本（LMC）曲线。其中，长期平均成本曲线是短期平均成本曲线的包络线（见图1-4），并且长期边际成本曲线通过长期平均成本曲线的最低点（见图1-5）。

上述分析仅仅是从成本函数的角度进行的，实际上该部分分析和生产函数是紧密相关的，如果能够和总产量曲线、平均产量曲线以及边际产量曲线结合起来分析，其特征将更加明显。关于这些内容的更详细的分析，我们可以参考微观经济学的相关内容。

图1-4　短期平均成本和长期平均成本

图1-5　长期边际成本和长期平均成本

二、影响长期平均成本的因素

（一）规模经济与规模不经济

规模经济（Economies of Scale）是指由于生产规模扩大而导致长期平均成本下降的情况。规模经济与规模报酬不是同一概念。规模报酬是所有要素投入都扩大相同的倍数所引起的产出的变化情况，所涉及的是投入与产出的关系。规模经济涉及规模大小与成本的关系。不过规模报酬递增是产生规模经济的原因之一。

产生规模经济的主要原因是劳动分工与专业化，以及技术因素。企业规模扩大后，劳动分工更细，专业化程度更高，这将大大地提高劳动生产率，降低企业的长期平均成本。

规模不经济（Diseconomies of Scale）是指企业由于规模扩大使得管理无效而导致长期平均成本上升的情况，其作用与规模经济所起的作用完全相反。规模过大会造成管理人员信息不通、企业内部公文泛滥、决策失误等，这都会造成企业长期平均成本上升。

（二）范围经济

范围经济（Economies of Scope）是引起企业长期平均成本下降的第二个重要因素。范围经济是指投入相同的条件下，由一个企业生产多个产品比多个不同的企业分别生产这些产品的产出水平要高。如果在相同的投入下，由一个企业生产多个产品比多个不同的企业分别生产这些产品中每一个产品的产出水平要低，则称该种生产过程为范围不经济（Diseconomies of Scope）。

范围经济的程度（Degree of Economies of Scope）可以用公式表示如下:

其中，C（X）表示用既定的资源只生产X商品所耗费的成本，C（Y）表示用既定的资源只生产Y商品所耗费的成本，C（X＋Y）表示用既定的资源同时生产X，Y两种商品的联合生产所耗费的成本。如果SC大于零，则存在范围经济，表示两种商品的单一生产所耗费的成本总额大于这两种商品联合生产所耗费的成本。如果SC小于零，则存在范围不经济。如果SC等于零，则既不存在范围经济，也不存在范围不经济。

（三）学习效应

学习效应（Learning Effects）是引起企业长期平均成本下降的另一重要因素。学习效应是指，在长期的生产过程中，企业的工人、技术人员、经理人员等可以积累起产品生产、产品的技术设计以及管理方面的经验，从而导致长期平均成本的下降，这就是经济学中通常所说的边干边学（Learning by Doing）。通常用学习曲线（Learning Curve）来表示学习的效应。学习曲线所描述的是企业的累积性产品产量与每一单位产量所需要的投入物数量之间的关系。图1-6描述的是累计产品产量与单位产品生产时间之间的关系。

图1-6　学习曲线

三、利润最大化

（一）总收益曲线

总收益（TR）是厂商出售产品后所得到的全部收入。如果厂商的需求函数为

p=f（q）

则总收益表示为产出的函数，即

TR=pq=f（q）q

平均收益（AR）是平均每一单位产品的销售收入，即

AR=R/q=f（q）=p

即平均收益等于价格。

边际收益（MR）是每增加一单位产品的销售所引起的总收益的增加值。

MR=ΔR/Δq=dR/dq

（二）利润最大化的条件

利润等于总收益减总成本，即

π=TR-TC

其中，π为利润。由于收益与成本都是产出的函数，即TR=R（q），TC=C（q），所以利润也是产出的函数，即π=π（q）。对利润函数对产出求一阶导数，并令该导数值等于0，可以得到利润最大化的必要条件。由

dπ/dq=dTR/dq-dTC/dq=0

得到MR=MC

如果用图形进行表示，我们可以画出总收益曲线TR（q）和总成本曲线TC（q）（见图1-7），q₁和q₀都满足边际收益等于边际成本的条件，显然q₁对应的是负的利润，q₀对应的才是最大利润，q₂对应的是经济利润为零的情况。所以，利润最大化的充分条件应该是dπ/dq=0并且d²π/dq²＜0。

图1-7　利润最大化的条件