数学的思想方法和形式方法在管理活动中的体现

数学是研究空间形式和数量关系的科学，包括算术、初等代数、初等几何、三角、微积分、数理逻辑、数论、代数学、几何学、拓扑学（图论）、函数论、泛函分析、概率论、数理统计等。而企业管理既是一门实践性非常强的活动，也是明显具有内在规律的科学。管理作为一种获取、分配和使用资源，以实现某一目标的活动，当然缺少不了对资源的计量和分配资源的计算。同时，企业管理也涉及到企业内部的利益关系，例如激励和分配，在这些方面也同样缺少不了计量和计算活动。凡需要研究量的关系、量的变化、量的变化关系、量的关系的变化等，都少不了数学，缺少了它就不能准确地刻画出客观事物的相互关系和量的变化，因而数学也在管理中得到了广泛使用。但数学对企业管理科学的发展究竟有哪些贡献？一般认为，数学只是管理的分析工具之一，但数学在管理中得到应用，也是管理科学化的标志。本章拟通过考察数学与管理的历史联系、企业管理本身的量化要求以及数学思想和数学方法与企业管理实践或管理研究两者间存在哪些逻辑联系，具体地回答这一问题。

尽管现代管理是工业革命以后的产物，对管理进行正式的研究是一门较新的学科，但管理活动自古以来就存在，在人类早期文明中，管理活动也是必需的。下面就从人类早期的管理活动开始，讨论数学与管理历史联系。

人类的早期管理活动与数学开端是一个互相促进的过程，在这一过程中产生了算术、代数和几何。算术中的加、减、乘、除，都与人类管理活动直接有关；代数则是为解决较复杂管理问题产生的，也为解决相对复杂问题提供了工具；几何与土地测量和天文观测有关，土地测量和天文观测也与人类早期文明中的管理活动紧密相关。总之，早期数学的大部分是由于贸易和农业的需要而发展起来的，同时也推动了早期的管理活动。比较而言，现代管理与现代数学的关系则没有那么密切。

1．数的产生

数的记录很早就产生了。数字记录的最早物证是在非洲南部出土的一块刻有29道刻痕的狒狒的腓骨，它与纳米比亚人现在仍在使用的“日历棒”类似，而它的年代大约是公元前35000年，可能是用来记录日期的，而记录日期是一种管理活动。

在捷克发现的一块幼狼的桡骨上，刻有两列5道一组共55道的“V”字形刻痕，好像是个账簿，也可能是猎物的记录，它的年代大约是公元前3万年。由此可以认为，对数的记录起源于史前人类的早期管理活动。这种用刻痕来记录数的方法至今仍在使用，如投票计票时的划“正”字。

但是，由于史前人类的生产活动相对简单，管理活动更是近乎于无，他们对数的需要十分有限。近代生活在澳大利亚、新几内亚、巴西的一些相当于原始石器时代的部落的居民，他们的数字概念停留在“1”和“许多”的简单水平，没有大于3的数字概念，更不用说那些大一点的数字的名称了。

一般认为，是巴比伦人最先把数字从“1”扩展到更多的自然数。巴比伦位于古代贸易通道上，巴比伦人的商业活动范围很广。大量贸易活动的发生，数字概念停留在“1”和“许多”的简单水平不能满足商业活动的需要，商业活动要求数的概念进一步扩大。

2．数的进制

巴比伦数学最早采用的是60进制。60进制看来明显是与计时和日历有关，在今天仍然可以看到时间就是60进制。巴比伦人认为一年是360天，而60是360的1/6。但60进制还有另一个显著的优点：能够被1、2、3、4、5、6整除。除法的产生显然与分配有关，而分配是一种管理活动。英语中有明显的12进制的痕迹，12进制则能够被1、2、3、4、6整除。今天的商业包装还保留有12进制的痕迹，例如饮料每12个或24个为一箱，这样无论是要一箱、半箱、1/3箱、1/4箱（半箱的一半）、1/6箱（1/3箱的一半），都非常容易分割。

十进制的产生，与商业活动中用手表示数量有关。估计在早期的交易活动中，商人们在表达货币和商品的数量时，曾经用十个手指代表商品的价格和数量，在农村集市中现在有时也还能看见这种交易方式。十进制与商业活动有关，还可以由这样一件事说明：在13世纪后期，佛罗伦萨城邦通过一项法律，禁止暴发户式的十进制数码的使用，理由是防止他们诚实的公民被欺骗。严格地说，十进制并没有什么特殊的优点，只不过与简洁的数字符号对应，并已经为人们熟悉了而已。

3．初等数学

在公元前1万年左右，巴比伦人用他们的算术和简单的代数知识表示长度和重量；兑换钱币和交换商品；计算单利和复利；计算税额；给农民、教会和国家之间分配收获的粮食。划分土地和分割遗产问题引出了代数问题。巴比伦人不仅把数字从“1”扩展到更多的自然数，创造了算术（数的加减乘除），而且也发展了代数和几何。关于划分土地和计算某项工程所需砖数的计算，就可以使用代数解决。而巴比伦的几何则比较简单。当然，在巴比伦数学中，数字是用楔形文字表示的。

埃及人用数学管理国家和教会的事务，确定付给劳役者的报酬、求谷仓的容积和土地的面积、按土地的面积征收地租、进行度量单位的换算、计算修造房屋和防御工事所需要的砖数、计算酿造一定量啤酒所需的谷物。尼罗河是埃及人的生命源泉，他们靠耕种尼罗河每年泛滥的淤土所覆盖的田地谋生，但他们也要准备好应付洪水的危害，因此预报洪水就十分重要，这就需要观察天文以记录日期。埃及的数学中不仅有自然数，也有分数，而埃及数学中的分数又与物品的分配有关。在埃及数学中，数字是用象形文字表示的。

4．“0”概念

“0”概念是人对数的认识的一次飞跃，“0”概念的产生可能也与商业活动有关，特别是可能与算盘有关。我们知道，在巴比伦和埃及的数学中，是没有“0”概念的。在它们的数学中，808的楔形文字或象形文字的写法，与88的楔形文字或象形文字的写法是一样的。需要其他文字加以说明进行区别。

“0”概念与算盘的联系是：算盘在最初并不是计算工具，而是用来表示商品的价格和数量。早期商人不仅用手或手势表示商品的价格和数量，他们也用石子或石子堆表示商品的价格和数量，而石子堆就逐步演变为算盘。可以设想算盘在一开始是五进制或十进制的，而且首先或主要是为商人们所使用。算盘的每一栏表示一个进位，为了表示某一栏为空的情形，即空栏，就产生了“0”的概念。

5．印度——阿拉伯数字

显然，用巴比伦人的楔形文字、埃及人的象形文字，想要记录详细复杂的商业信息是极其不便的，所以，商业会计只能产生于印度——阿拉伯数字产生（公元1000年左右）以后。只有使用简洁的数字符号，才有可能进行繁杂而详细的商业往来记录（账簿）。

印度——阿拉伯数字是印度人发明的，印度——阿拉伯数字起源于印度人的特殊的语言符号，后经阿拉伯商人传入欧洲。这说明，简洁的数字符号首先为商人所接受，由此可以间接地说明数学对早期管理活动的促进作用。

同时，贸易的更大规模发展也要求有合理、适用的会计方法。1340年，热那亚、佛罗伦萨、威尼斯的银行家开始运用复式簿记的基本原理记账。1494年，一位名叫卢卡·帕乔利的方济会的僧侣，第一次用文字对这种记账方法加以说明，他在一本名为《论算术、几何、比例和对称》的著作中，对复式簿记的基本原理做出了说明。帕乔利提出的方法是第一个商业管理信息系统，这个系统可以随时告诉业主有关现金和库存的余额情况，并可以追溯和检查现金和货物的流通情况，但这个系统不能对费用和开支（成本和盈余）做出说明。直到20世纪，帕乔利的方法才得到改进（雷恩，2000）。

6．小数和对数

对土地和海洋的测量是一种管理活动，地图和海图是测量的结果。而地图（包括海图）对战争、土地税赋、贸易、航海等都非常重要。天文观测与测量有关，为了绘制精确的地图和航海图，需要知道精确的经度和纬度，于是天文观测就发展起来了。

对土地、海洋和天文的测量精度的要求，加大了计算量。提高精度意味着计算数据的位数长度增加。17世纪，由于对数的发明和小数的发明，出现了可以使用的三角函数表和对数表，使用这些表就可以简化计算，特别是简化了乘除计算。小数和对数由此促进了人类的测量、航海等活动。

7．运筹学

运筹学是由管理需要而催生和发展出来的一个数学分支，它的主要分支有：规划论、对策论、决策论、排队论、库存论、网络计划法等。运筹学是由管理需要而产生的应用数学方法，在企业管理实践中的应用也很局限。

8．概率与统计

统计与概率是现代数学的一个分支，它是由数学家们的独立兴趣和独立研究发展起来的，与管理实践没有直接关系，但也来自于人的实践活动——实际上，是赌博行为引起了数学家们的兴趣。概率论是研究大量偶然事件基本规律的学科，数理统计是用来研究取得数据、分析数据和整理数据的方法。后来也被应用在管理活动中，在管理活动中的主要应用领域有质量控制、市场预测以及决策分析和风险分析。

9．计算机与数学

计算机产业的发展也使得数学在管理活动中发挥更大作用。目前，计算机已经在企业中得到了广泛的应用，其主要应用范围有：构建网络、CAD工作站、办公文字处理、生产过程控制、信息管理系统等。计算机在企业中的广泛应用也促进了数学方法在管理活动中发挥更大作用。

一方面计算机及网络系统可以收集更多信息，可以通过扫描、读卡、光电识别等方式快捷地记录数据，减少了记录数据的成本，为更加广泛地记录数据创造了条件，大量的数字化信息为数学工具提供了更多的原始素材；另一方面计算机具有更强大的处理能力，使过去人工处理不可能的数学问题不仅成为可能，而且速度很快，至少到了可以接受的程度。例如对高次多元的方程组（实际上是简单代数的复杂化，如线性规划问题，回归分析问题）的迭代计算，人工计算十分繁杂费时，而使用计算机则很快完成；企业ERP的平衡计算在过去需要几天才能完成一次，现在使用新型计算机则仅需要数小时就可以完成一次平衡计算。

10．现代数学（高等数学）

自从希腊人开始（公元前300年到公元前600年）对数学进行独立的和理性的纯研究之后，数学的发展才逐步与早期的管理活动相分离，并成为与所有其他学科都有联系但又相对独立的学科。

现代数学的内容极为丰富，但在管理中得到运用的数学方法多数是那些可以由管理实践加以验证的数学方法，而比较复杂、难于检验的数学方法一般在管理中没有得到应用或没有得到广泛应用。例如，在企业财务分析活动中，基本的数学工具是算术（加减乘除），在企业的多数经济效益分析中主要的数学工具也是算术和代数，以及图形化的表现方式。

在市场预测中可能使用的数学工具有回归分析和概率论等，但市场预测在管理中的地位并不是关键性的，因为管理活动更强调企业的适应能力而不是预测的准确性。事实上，如果预测能够准确的话，企业经营活动的风险性又何在呢？

如果考虑到计算机在管理中的应用，实际上数学在管理中确实已经得到比较广泛的应用。但数学对管理方式没有根本性的影响，数学是管理的工具，而不是管理的基础。

管理活动中既有大量的非定量的活动，如协商、谈判、招聘，也有大量的定量化活动，我们几乎是被数学包围着，生产了多少个零件、合格率是多少、公司盈利是多少、员工的收入，等等。

从管理的职能看，管理可以分为计划、组织、人事、领导、控制，具有定量化要求的管理职能只是其中的一部分。从管理定量化要求的视角出发，可以从管理活动的一般职能中抽出一些定量化的管理职能。这里考虑6种具体的定量化的管理职能加以讨论，它们是定价、记录、预测、优化、评价、交流。

1．定价与核算

企业作为一个经济组织，基本职能之一是合理分配资源，而分配资源的基础是正确评估资源的价值，即价值评价或定价。定价是广义的，不仅最终产品需要定价，对各种投入要素和中间产品也需要进行价值评价。

对产品的定价需要对生产过程的各个环节进行核算，而核算可以理解为一种事后的定价。但最终产品的定价不仅需要以核算为基础，也需要考虑市场的销售策略。在定价与核算的过程中，需要使用的数学方法主要是算术和代数。

2．记录数据与使用数据

对企业的生产、销售、成本、盈利进行记录和做出基本分析，是记录的职能。在不同的管理模式下，需要记录的内容大体相同。例如戴尔公司实行了完全的拉动式管理，即用户订货以后，才进行零部件购买和生产过程，并能在两周内把电脑送达顾客。而其他一些电脑生产商是通过销售商销售，从而可以预先确定生产计划，并按计划进行采购和生产。它们需要记录的原始数据肯定会有一定差异，但绝大多数内容是一致的。需要记录的原始数据有销售数据、财务数据、生产数据等。

记录数据的目的是使用数据。原始数据中有相当一部分直接就可以使用，例如对工时、产出的记录。对生产过程的控制必须要依据于生产过程的原始数据，就是直接使用数据。有些销售数据也可以直接使用，在得到用户订货的数据以后，就要立即着手开始组织生产——进行数据整理和计划生产，直到最后检查送货情况。

对原始数据进行基本分析以得出综合性的数据，也可以认为是记录职能的一部分。例如，财务的汇总数据是对企业原始财务数据进行整理以后得出的，对原始财务数据进行整理以得到财务汇总数据的过程有严格的规定，变通余地较小，因而是一种通用的、常规的、技术性的数据整理，所用数学方法是算术方法。

尽管简洁的阿拉伯数字为数的记录提供了极大方便，但也存在不直观的缺点。为了直观地表现数字和进行数字间的比较，在生产一线和进行管理沟通时，也会利用图形方式记录数和表现数。例如，生产一线经常使用进度图或甘特图表现生产的完成状况，并进行不同班组、个人的工作进度比较。

用数字记录在纸面上保存起来的数据或输入到计算机存贮起来的数据是显性数据。在企业管理中并不是所有信息或数据都需要长期保存，也有一些数据并不需要长期保存。记录主要是指显性数据的记录。尽可能多地记录各种原始数据，同时也尽可能减少记录工作的成本，是管理的基础性工作之一。

3．预测

预测是对未来可能发生的事情进行评估，预测是管理决策的基础。预测的基本原理是依据过去的经验，对未来加以判断。从原理上说，不论预测方法多么科学，预测只能是一种主观设想和主观判断。在早期的人类生活中，人们认为所有的未来事物都是确定的，一切都早已“命里注定”，只是人们不知道而已。自概率论产生以后，就改变了人们未来事物的认识观念。现在，人们认识到，所有未来将发生的事情，由于受到各种扰动的影响，都是随机的，而不是确定的。

由于未来将发生的事物都是随机的，所以预测就是预测某一事物发生的可能性（概率）。不仅如此，以前已经发生的事物也都具有随机性，统计学就是对已经发生的随机事件进行研究的一门学科。概率与统计都是专门研究随机事件的数学，概率与统计是由人的生活经验（赌博行为）产生的，是数学家对经验的提升和整理。

但是，确实也存在很多事物确定性非常强而随机性很弱，是能够预见的。所以可以把未来事物分为两类：一类是确定型；另一类是随机型。如果可能发生的各种扰动对我们要预测的事物没有影响或影响极小，那么就是确定型；如果可能发生的各种扰动对我们要预测的事物有很大影响，那么就是随机型。两者的区别不是非常严格的，因为不受随机因素影响的事物严格来说并不存在。对于多数确定型的未来事件，人们具有一般的判断力，一般称之为“可以预见”，似乎也不需要更加准确的预测和判断——人们不需要对所有将要发生的事件都要搞清楚发生的概率。

在概率论和统计学的基础上发展起来的预测学就成为了一门跨学科——既是一个数学分支，也是一种管理方法。预测可以分为长期预测、中期预测、短期预测。预测方法可以分为定性的预测方法和定量的预测方法。定性预测方法是主观判断法，它不依据于过去的数据，而依据于个人对过去事物的体验，但最后的预测结果也采取概率的方式表现；定量预测方法是依据于过去的数据进行判断，又可以分为因果分析法和趋势外推法。统计学是定量预测方法的数学基础，其中回归分析的数学方法起到重要作用，因果分析法是因素间（原因与结果）的回归分析，趋势外推法是自回归分析。

4．优化

在管理的计划工作和控制工作中，经常需要对管理活动进行比较和选择，可以把这种管理活动称为“优化”。计划和控制的本质是为达到一定的目标而对各种资源进行分配和整合，而分配资源必然涉及到方案和策略的比较和选择，即管理优化职能。在管理的优化过程中，用到的数学方法有三类：运筹学、边际分析方法和统计概率方法。

运筹学、微分或边际分析方法，以及统计概率方法都属于高等数学或现代数学的内容。运筹学的内容比较多，包括规划论、对策论、决策论、排队论、库存论、网络计划法等，其中的对策论和决策论就涉及到概率的应用，而边际分析则是微分的简化方式。

5．工作评价

评价分为业绩评价和方案评价。业绩评价是指在管理中，对已经完成的工作进行回顾整理。评价既可能是个人工作评价，也可能是对部门的工作评价；既可以是全面工作评价，也可以是一个方面的评价，或单项工作、阶段性工作的评价。方案评价是指对将要进行的工作方案进行预期评价。

在工作评价和方案评价的过程中，都可能涉及对成本、效益、工作效率、用户的满意程度等方面的评价，可以分为定量和定性两个方面。对数量方面的评价当然需要数学，而定性方面的评价往往也可以借助于数学方法，例如对效用的量化值分析。

6．交流与沟通

在企业管理中，由于大量工作是由团队完成的，所以交流和沟通是必不可少的。定价、记录、预测、优化、评价的结果，往往需要通过交流和沟通以达到信息共享和认识一致。在交流和沟通的过程中，数学是重要的表达方式和交流工具，所有的定量分析结果都需要运用数学表达和沟通，而定性分析结果也可以利用数学进行辅助表达。

数学方法包括几方面：①数学的思想方法；②数学的形式化方法；③数学计算方法。数学的思想方法是数学问题的核心，数学的形式化方法是数学问题表达和推演的形式，数学计算方法是数学问题的数量分析工具。尽管从长期看，应该是内容决定形式，但形式也决定内容（反作用）。阿拉伯数字对数学发展的影响（包括对管理活动的影响）就是一个极好的例子。没有阿拉伯数字以及其他形式化方法，数学和管理都不可能达到目前这种现代水平。

目前，数学的思想方法在管理活动中得到更多体现：一种是先出现数学思想方法，然后在管理中得到应用，如概率与统计、函数与坐标；另一种情况是在管理中一些实践活动启发数学产生了新的思想方法，最后在管理活动中得到运用，如算术、代数、运筹学；再一种情况是，管理中的实践活动与数学中的思想方法都是独立产生的，但两者间确实存在一致的、共同的思想方法，如“序”、“群”、“比较”。数学思想方法在管理中的体现如表7—1所示。

数学的形式化方法是指数学的符号体系和推演规则，数学通过一系列的符号表达数学的思想（概念、定理、推论等）。这些符号体系发展的初期是算术、代数和阿拉伯数字，是一个相对简明的、常人可以理解的符号体系，这一符号体系在管理中得到广泛应用——直至现在。但在现代数学中，这一符号体系更为复杂，常人理解起来相当困难。当然，数学家们认为，这样一个符号体系对于正确地表达数学思想，是目前可以设想出的最好方法。因此，数学的形式化方法，除算术、代数和阿拉伯数字以及坐标和函数图形以外，其他数学的形式化方法在管理中没有太多的应用。

数学的计算方法有一些在管理中得到了应用，例如算术和代数、运筹学以及计算机数学运算方法等。

表7—1　数学的思想方法在管理中的体现

资料来源：作者根据有关资料整理。

表7—2分析了数学的形式化方法和计算方法在管理活动中的体现。

表7—2　数学的形式化方法和计算方法在管理中的应用

资料来源：作者根据有关资料整理。

在管理中得到应用的数学方法大体上可以被分为5类：算术和代数、运筹学、概率与统计、边际分析方法和计算机技术与数学方法。其中运筹学是管理与数学的边缘学科，既是数学方法，也是管理方法，是直接由一些管理问题而提出的数学解决方法；概率与统计作为数学方法，尽管其产生的源泉未必是严格的管理问题，但也是现实问题（赌博被中止后的赌资分配问题），在管理中也有广泛的应用领域；算术（加、减、乘、除、开方）和初等代数，可以认为是起源于古代管理活动；边际分析方法是经济学的基本分析方法，利用了微积分的原理，微积分产生于对天体运动规律研究的需要。总之，在管理中得到应用的数学方法都产生于人类实践活动。

在这5类管理数学方法中，运筹学、概率与统计、边际分析方法的应用范围主要是在决策与控制，属于高层管理或非程序性管理工作中，如优化和预测。而算术和代数、计算机技术数学方法，则主要应用于基础性管理工作或程序性管理工作中，如定价与核算、数据记录、工作评价、信息交流等。

在这些管理数学方法中，算术、代数、边际分析方法被认为是传统数学方法，而运筹学、概率与统计、计算机应用可以认为是现代数学方法。下面就对一些管理中常用的现代管理数学方法稍加介绍和评价。

1．线性规划

线性规划包括一般线性规划和整数线性规划。线性规划是在管理中应用最广泛的数学方法，可以用来解决与生产相关的许多问题。在实际工作中，线性规划的求解可以利用已有的计算机软件完成，并不需要使用者具有高超的数学能力，但使用者应该对线性规划的基本概念有一定的了解和认识。这里想讨论几个与线性规划有关的概念：典型问题、线性与非线性、角点解、对偶问题、影子价格、松弛变量、敏感性分析，以及同样作为优化方法，线性规划与边际分析的区别。

线性规划的典型问题是在若干资源的约束下，如何决策产出物品的数量结构以达到收益或利润最大化。也可以解决资源无限制情况下的平均成本最小化问题，即假定产出的总数量为一定，所用资源全部为租用，如何确定产出的结构和资源使用数量。运输问题也是线性规划的典型问题之一，其特点为约束条件均为等式。

线性规划中“线性”的含义是，目标函数和约束式均为一次方程，在坐标系中的图形表现是直线，即线性。如果目标函数为非线性函数，则是非线性规划问题。对于决策变量较多的情形，还可以用动态规划方法解决。

在线性规划中，最优解总产生于可行区域的顶角或边界，而不会产生在可行区域的内部，而边界解至多是等于某一顶角的解，不会比顶角解更优。产生这一现象的原因是由于目标函数的边界发散性。这样就大大减少了寻找最优解的计算过程，因为只需要对可行区域的角点进行考察。

一般来说，每一线性规划的原始问题都存在有一个对偶的线性规划问题。线性规划的对偶问题的解，就是资源的影子价格。如果某一资源没有被充分利用，则其影子价格为0，而影子价格最高的那种资源，就是企业应该增加投入的资源。

为了更好地分析资源对产出的约束，在线性规划中还可以在不等式约束中加入松弛变量，使之成为等式约束，并利用一些代数方法得到最优的生产方案，其中包括产出的数量结构和资源的冗余量（松弛变量）。

线性规划的敏感性分析是指如果资源的约束有一定变化时，最优解的有效性分析。

边际分析的数学原理是微分理论，线性规划与边际分析两者在管理中都是优化方法，但区别也是明显的。从形式方法上看，边际分析没有约束条件或约束条件为等式，而线性规划必须有约束条件，且约束条件为不等式；就极值的位置而言，边际分析的极值往往在可行区域的中间，而线性规划往往在可行区域的边界（即所谓角点解）；从目标函数的凸凹性方面看，边际分析的目标函数一般是凹函数（上凸）或边界收敛的，而线性规划的目标函数往往是边界发散的。边际分析与数学规划的这些差异如表7—3所示。

表7—3　边际分析与数学规划的差异

资料来源：作者根据有关资料整理。

线性规划作为一种数学方法，当然可以提供最优的决策方法，但如果数学规划的前提或约束发生变化，最终决策也必然要变化。在市场约束变化不定的情况下，企业只能依靠生产能力的冗余适应市场，这可能在某种程度上影响了线性规划方法的应用。

2．图与网络分析

利用图和图论的方法，可以解决管理工作中的许多问题。在管理工作中，应用一种依据图和图论原理的网络图分析方法，可以编制精细的工作进程和工作计划。网络图分析方法也称为关键路线方法。1958年，美国海军武器局为研制“北极星”导弹而创造了这种协调工作进程的管理方法，当时取名为“计划评审方法”，简称为PERT。1965年，在我国企业中开始应用和推广这种管理方法，当时称之为“统筹方法”。

利用网络图分析方法具有一系列优点，能够使工作计划统筹兼顾，既能全面安排工作进程，又能够关注关键路线。具体地说，利用网络图分析方法可以确定所有工作的最终完成时间，从而保证整体工作的按期完成。对于一些跨部门、跨企业的合作工作，就更能发挥作用，网络方法的优点尤为突出。网络图分析方法可以用在工程管理、新产品开发、生产技术准备、科研管理、建筑施工、设备维护大修的组织和管理。

在20世纪50年代时，网络图分析方法主要表现为一种网络形式的图形分析，但现在已经不必绘出图形，可以借助于有关软件和计算机完成时序和路径分析。只要给计算机输入每一工序工序名、工作时间、前工序名、后工序名，计算机就能够完成网络分析中的所有相关计算，并输出每一工序的最早开始时间、最晚开始时间、最早结束时间、最晚结束时间。那些最早开始时间等于最晚开始时间的项目会被标出特殊记号，这些项目为关键项目，所有关键项目按时序组合，就形成了关键路线。这样，管理人员就可以根据这些输出的工序时间信息，对工程进度进行相关的控制和协调。

另外，图和图论还可以分析各种路径问题，例如运输和公共交通的流量分析。

3．库存控制

库存实质上是一种冗余，库存的意义是用冗余应对变化的需求。在现实的生产生活中，需求变化是客观存在的，从而冗余也是必要的。库存控制就是研究如何以最小的冗余（库存）或最小的冗余成本（库存成本）应对变化的需求。

需求可以分为三种：一是独立需求（随机的不能延迟的需求）；二是非独立需求（需求规律可以确定的不能延迟的需求）；三是可以延迟的需求（零库存的需求）。与此相对应，有三种方式应对不同的需求。

第一种是独立库存系统，这种方式在统计意义上对供货和需求的变化规律进行分析，但着眼于库存系统本身以做出最优的库存控制，主要应对那些不能延迟的需求，即如果缺货就意味着损失。例如零售商店的库存就是一种独立库存系统。这种库存系统独立于生产或准备过程之外，所以称为独立库存系统。

第二种方式是非独立的库存系统或确定型库存，即供货和需求的规律不需要预测，其变化都是事先确定的或可知的。例如企业内部的生产库存。其特点是可以根据需求的变化规律提前进行库存的准备工作，如MRP系统，主要应对那些可以提前确定的需求。这种库存对生产或准备过程有一定的要求。

第三种方式是非独立的库存系统或确定型库存基础上的变革。它不基于对需求变化规律仔细分析，是需求发生以后再准备或生产，即拉动式生产——也被称为零库存，主要应对那些可以适当延迟的需求，只要延迟是在可以接受的范围就是正常的，但越快越好。例如戴尔计算机的供货一般是在订货后的一周以内（2～3天或5～6天）。这种零库存对生产或准备过程的要求最高——要求生产或准备是快速的，即准时制生产或精益生产。

运筹学的存贮论主要研究独立库存和非独立库存。它们与零库存的区别是，在存贮论中，假定所有需求都是不能延迟的，即延迟就必然造成损失，而且缺货损失要比存贮成本大。零库存的拉动式生产就是对此做出了新的革命性认识，即认为偶然的延迟或适当延迟是可以接受的，存贮成本可能比缺货损失更大，但也应该尽力避免缺货，于是就要求生产过程（供给）的精益化。由于独立库存系统和非独立库存系统在相当范围内仍然会继续存在，所以，库存控制研究是必要的。

在独立库存系统中，假定需求会变化很大，而且供货也可能出现滞后，因此需要一定的安全存货以备意外。独立库存系统的模型有订货点模型、定期补充模型等。订货点模型是，订货点等于安全存货加上订货周期的平均需求量，当存储数量达到订货点，即进行新的订货。安全存货的数量是根据对需求变化和滞后情况的统计分析确定的。定期回复模型是按一定周期间隔，定期把货物补充到规定的库存数量，例如目前超市一般采取每天补充的定期回复库存模型。

在非独立库存系统中，需求数量和供给周期都是可以事先确定的，所以在非独立库存系统中，安全库存就没有必要。非独立库存系统的典型是MRP物料需求计划系统。

ABC分析方法与数学上对类或域的分析接近，也在库存控制中有所应用。ABC分析方法是根据库存货物的重要性和数量多少对货物进行分类，并采取不同方法进行相应的库存控制管理。

4．决策分析与风险分析

决策是人们生产和管理中普遍存在的一种行为，多数情况下，人们可以凭经验和直觉做出最佳的选择，有时决策失误也是不可避免的。但对于重大问题的选择，往往涉及重大利益的取舍，采取科学的决策方法可以减少失误。决策分析在管理实践中，既是对经验和直觉的取代或补充，也是进行交流沟通、取得共识的手段。决策分析的基础是事物发展的不确定性和效用的两面性（收益或损失）。决策分析着重于两个方面的分析：一方面是对事物发展前景的确定性（概率）分析；另一方面是对效用（收益或损失）的判断。

决策分析中基本数学方法是，先建立计算各种状态的概率（风险）的决策模型，再比较各个状态的收益或损失，最后按收益和损失的大小进行决策。决策模型分为三种，即确定型决策、不确定型决策、风险型决策。风险型决策也就是风险分析。如果事物发展前景非常确定，那么就是确定情况的决策。这种决策侧重对效用分析，一般是通过对效用的量化方式进行的。但在实践中，效用的量化也是困难的。如果事物发展前景不确定并且不知道发生的概率，那么就是不确定情况的决策。如果知道各种前景的概率，这种决策就是风险型决策，在风险型决策模型中，一般是用状态发生的概率，再乘以这种状态下的效用或收益，就得到期望收益。

在决策分析中，人本身的偏好对决策结果会产生重要影响（如表7—4所示）。

表7—4　决策模型示例

如果依据风险决策模型的概率准则，假定在下一年度中发生火灾的概率是千分之一（1/1000），在下一年度中不发生火灾的概率是999/1000，那么投保的期望损失是200元，不投保的期望损失是70元（7万的千分之一），则期望比较以后，不投保是最好方案。但如果依据不确定型决策模型的悲观原则或谨慎原则，不好的事情总是会发生，那么投保的最大损失是200元，不投保的最大损失是70000元，则投保是最好选择。决策准则还有一些，如最小后悔值原则、最大收益原则或乐观原则、平均发生概率原则或平均权重原则等。

在风险决策分析中，还包括对信息的付费分析。在上面的例子中，可以先请专家评估一下发生火灾的可能性，然后再进行决策，但这就涉及对专家费用的考虑，实际上也是一个决策。对这一决策的分析就是完备信息费用分析，在完备信息费用分析中要用“贝叶斯定理”对各种状态的概率进行修正。而“贝叶斯定理”是概率分析中一个著名的数学定理。

如果一个决策后还需要进一步决策，就是连续决策问题。决策分析对于这种问题提供了一种决策树的决策方法。决策树就是利用图形分析问题。

5．对策论

决策论一般是处理人在自然状态的决策行为，即人的决策对自然状态没有影响。而对策论是处理若干人的决策相互影响的问题。在完全竞争市场中，个别企业的决策对市场状态基本没有影响，就是决策问题；而寡头垄断的市场中，企业的决策对市场状态就可能造成重大影响，其他企业的决策与此是互动的，这就是对策问题。对策问题也称为博弈问题。

对策论对博弈现象的分析方法是建立对策矩阵，并通过对矩阵的分析得出最优策略的计算方法。对策矩阵的解就是博弈的结局。博弈分为合作博弈和非合作博弈。典型的非合作博弈的结局大体上有占优策略、纳什均衡、囚徒困境等。占优策略是指最差情况下的最好选择，那么无论对手采取什么对策，都不会更差；如果最差情况下的最好选择不存在时，就没有占优的策略，这就需要分析对手的占优策略是否存在，如果存在则采取对手在占优策略时自己策略，这就是纳什均衡。数学在对策论中作用就是用规范的数学方法证明了这些结局的客观性和惟一性，并给出了计算结果的数学方法。

但是，人的价值倾向和天性也可能对博弈的结局有所影响。一般认为，一次性的博弈往往是针锋相对的不合作博弈，而长期博弈可能会引出合作博弈。

6．概率与统计

概率与统计是一个独立的数学领域，但在其他数学领域中也得到广泛应用，例如在运筹学和预测学中就（运筹学和预测学既是管理中的方法，也是数学中的分支，属于边缘学科）需要概率分析。概率与统计也在管理中得到应用，例如预测、决策、风险分析、质量控制。

概率的基础是事物的不确定性。由于事物存在和发生、发展的不确定性，为说明这种不确定性的程度，用一个小于1的百分数（或分数或小数）描述这种可能性（或然性、几率）就是概率。而几个事件联系发生的概率，又可以通过对概率的计算得到。关于概率值的理论和方法就是概率学。

统计学则是对过去已经发生的事件进行整理，并由此推断事物未来概率，以及事物间影响程度的理论，统计学包括序列分析、相关分析等。由于统计与概率的关系十分密切，概率与统计常常被合并在一起讨论或学习。通过对概率与统计的研究发现，许多事物的发生规律具有共同特点，如正态分布、泊松分布。

7．计算机数学

由于计算机的强大功能，以计算机为应用平台，发展出了一些专门的计算机数学，例如数据库（Excel可以理解为简单的数据库）、计算机模拟、计算机运算方法（如迭代和回归）、统计学软件包等。这些数学方法在管理中也得到了应用，如数据库营销、对工作流程进行计算机模拟，而线性规划的求解过程和ERP的计算过程则必须依赖于计算机的运算。

尽管计算机的功能越来越强大，但如果没有专门的数学方法支持，也不能有效地完成相关的计算任务。计算机数学的实质是优化计算过程，使极为繁杂的运算在更短的时间内完成，并扩展计算机的应用范围。例如计算一次ERP的平衡，过去在小型机上也需要1～2天的时间，而现在在最新型的微型机上只需要几个小时。这种时间上的进步，既取决于计算机的功能的更新和强大，也取决于计算机数学运算方法对计算过程的优化。

数学的形式化表达和推演，在数学发展历史上起着重要作用。但是，由于数学的符号体系越来越复杂，就使得数学（特别是纯数学）离人们的直接生产生活经验越来越远，至少是离多数人的直接生产生活经验越来越远，所以，在可以预见的未来，纯数学的发展可能不会对管理的发展起到重要推动作用。但应用数学的发展，特别是以计算机为基础的应用数学发展，极大地拓宽了数学的进一步应用，这样，就可以通过应用数学对既有管理活动进行分析，可以使既有的管理活动更为科学、规范。