模糊综合评价的数学模型

1．模糊综合评价的数学模型

对某一事物进行评价，若评价的指标因素为n个，分别记为u₁，u₂，u₃，…，u_n，则这n个评价因素便构成一个评价因素的有限集合U：

U={u₁，u₂，u₃，…，u_n}

若根据实际需要将评语分成m个等级，分别记为v₁，v₂，v₃，…，v_m，则又构成一个评语的有限集合V：

V={v₁，v₂，v₃，…，v_m}

例如，对某教材进行评价，可以从科学性（u₁）、实践性（u₂）、适用性（u₃）、先进性（u₄）和专业性（u₅）等方面考虑，则其评价因素集合为：

U={u₁，u₂，u₃，u₄，u₅}

若评价结果划分为很好（v₁）、好（v₂）、一般（v₃）和差（v₄）四个等级，则其评语集合为：

V={v₁，v₂，v₃，v₄}

我们先从单因素开始说明模型的构造。如果只着眼于科学性（u₁）一个因素来评定教材，可采用民意测验的办法。假定统计调查结果是16%的人认为“很好”，42%认为“好”，39%认为“一般”，3%认为“差”，则这个结构可以用模糊集合B₁来描述。

B₁=0.16/很好+0.42/好+0.39/一般+0.03/差

B₁也可简记为向量形式：

B₁=[0.16，0.42，0.39，0.03]

评价结果B1是评语集合V这一论域上的模糊子集。B1就是对被评价对象所做的单因素评价。

现在，把问题推广，当涉及需要从几个不同方面来综合评价某一事物时，得到的是一个综合评价结果，该结果仍是评语集合V这一论域上的模糊子集B，这就是综合评价问题。

通常，V为一个有限集合，则B也为相应的有限模糊集合

B=b₁/v₁+b₂/v₂+…+b_m/v_m

简记为一个m维模糊向量形式：

B=（b₁，b₂，…，b_m）

其论域为V，bj为B中相应元素的隶属程度（也称隶属度），且

bj∈[0，1]，j=1，2，3，…，m

在实际评价工作中，各个评级因素的重要程度往往是不同的。考虑到这个客观存在的事实，评价因素集合实际上是因素集合U这一论域上的一个模糊集合A，实际上也是一个有限集合，即因素集合也为一相应的有限模糊集合。

A=a₁/u₁+a₂/u₂+…+a_n/u_n

同样也可以用一个n维模糊向量来表示：

A=（a₁，a₂，…，a_n）

其论域为U，a_i为A中相应元素的隶属程度，且ai∈[0，1]，并应满足∑ai=1。

一个模糊综合评价问题，就是将评价因素集合U这一论域上的一个模糊集合A，经过模糊关系R变换为评语集合V这一论域上的一个模糊集合B，即

上式为模糊综合评价的数学模型。式中，B为模糊综合评价的结果，它是一个为m维的模糊行向量；A为模糊评价因素权重集合，它是一个n维模糊行向量；R为从U到V的一个模糊关系，它是一个（n×m）的矩阵。其元素rij表示从第i个因素着眼，做出第j种评语的可能程度。

一般来说，对于涉及多因素评价问题时，大多数人感到比较困难，因为这时需要考虑的因素比较多，而各因素的重要程度又不相同，这些都会使问题变得很复杂，用经典数学方法来解决综合评价问题就显得很困难，而模糊数学为解决模糊综合评价提供了理论依据，从而找到了一种有效而简单的评价方法。

由模糊综合评价的数学模型可知，当评价因素增加时，并不增加问题的复杂程度，只是增加计算量而已。