双变量模型及其估计方法

4.2.1.1　双变量SVCJ模型

为识别股指期货和股票现货市场的跳跃风险，我们首选能识别国内外期货市场跳跃风险的SVCJ模型。为此，假设股指期货或股票现货的价格为Yt＝ln（Ft），SVCJ模型的随机微分方程为

本文之所以选择SVCJ模型来对股指期货和股票现货市场的跳跃行为进行识别，主要是因为若波动中确实存在跳跃，那么，在一定意义上假定跳跃对收益和波动都有影响要比假定跳跃只对收益或波动的影响要好，且对跳跃的估计效应均比SV，SVJ和SVIJ模型都要好，虽然在模拟效果上SVIJ更好一些（Eraker et al.，2003）。

对SVCJ模型的估计，本文将采用贝叶斯的MCMC方法。为此，首先要对SVCJ模型进行欧拉离散化处理，假设时间间隔为Δ，那么，SVCJ模型的离散形式为

4.2.1.2　Bayesian MCMC估计方法

用MCMC方法进行统计推断和参数估计是一个贝叶斯和模拟为基础的估计方法。Robert ＆Casella（1999），Johannes ＆Polson（2002）和Eraker et al.（2003）曾对连续时间模型的MCMC估计步骤及其优点进行了归纳：第一，MCMC能够估计出潜在波动、跳跃次数与跳跃大小；第二，与EMM，GMM，QMLE等估计方法相比，基于Bayesian MCMC估计方法会更优（Jacquier et al.，1994；Andersen et al.，1999）；第三，考虑了估计风险与模拟计算的有效性。由于贝叶斯分析的基础是参数的联合分布和数据的潜在条件变量，因此，不同于传统的将参数和潜在变量作为未知数的方法，基于Bayesian MCMC估计方法将它们看作随机变量。于是，考虑参量、潜在波动、跳跃次数和跳跃大小的联合条件分布（常称为后验分布）源于如下贝叶斯规则

式中：Y为T×1阶向量；V，J，ξV和ξY分别为潜在期货价格波动、跳跃次数、收益跳跃大小和波动跳跃大小的T×1阶向量；Θ为参数向量；p（Y｜Θ，V，J，ξV，ξY）为数据的概率；p（V，J，ξV，ξY｜Θ）为参数潜在条件变量的（先验）分布；p（Θ）为参数的先验分布。特别地，参数的贝叶斯点估计和潜在变量被看作它们的后验均值。然而，依样本数据进行估计的参数先验分布常是独立的（潜在变量的先验分布、Θ的条件被认定为模型假设）。

式（4.5）的后验分布是极其复杂和不标准的，且不存在闭合解^[5]，因此，这里需采用模拟法来加以求解。为此，选择合适的初值是非常必要的，本文将按照发生的跳跃是“大而疏”这一准则来进行选择的（Eraker et al.，2003）。由于后验分布不是闭合解，我们可通过基于Metropolis-Hasting抽样的Bayesian MCMC算法得到条件后验分布，对于任一k∈｛1，2，…，N｝，我们可以通过迭代计算来求解：

（1）p（Θi｜Θ-i，V，J，ξV，ξY，Y），i＝1，2，…，k，其中Θ-i为除系数向量Θi外的其他变量；

（2）p（JtΔ＝1｜Θ，V，ξV，ξY，Y），t＝1，2，…，T；

（4）p（VtΔ｜V（t＋1）Δ，V（t-1）Δ，Θ，J，ξV，ξY，Y），t＝1， 2，…，T。

ik在这一规则下，这些参量的估计值就收敛于真实值。这样，Bayesian MCMC算法提供了一个估计波动性、跳跃次数和跳跃大小的直接方法。

4.2.1.3　条件跳跃的计算

在t时刻是否存在跳跃，可通过如下测度跳跃次数的公式来估计