阈值选择和边缘分布的估计结果

在估计交易和非交易时段收益边缘分布之前，我们应该首先选择同时由平均剩余寿命图、不同阈值下参数的稳定性和Hill图确定的阈值u。对铜、天然橡胶和大豆期货市场的平均剩余寿命图、参数稳健图和Hill图的描述分别见图7-4至图7-6所示。

图7-4　铜期货市场交易和非交易收益的平均剩余寿命图、参数稳健图和Hill图

图7-5　天然橡胶期货市场交易和非交易收益的平均剩余寿命图、参数稳健图和Hill图

图7-6　大豆期货市场交易和非交易收益的平均剩余寿命图、参数稳健图和Hill图

表7-2　阈值和GPD分布中的参数估计结果

根据图7-4、图7-5和图7-6，我们可分别确定对应序列的阈值u，然后根据极大似然法估计对应序列的尺度参数β和形状参数ξ，表7-2给出了交易时段收益和非交易时段收益的阈值和GPD分布中的参数估计结果。

图7-7　铜期货市场交易收益和非交易收益GPD的尾部拟合图

利用上文估计结果，可进一步得到铜、天然橡胶和大豆期货市场交易和非交易收益序列GPD的拟合诊断图（如图7-7至7-9所示）。可以发现，所有的点几乎都在一条直线上，收益序列尾部的实际估计与曲线拟合也基本吻合，由此说明根据前文所提方法的参数估计是合理的。

图7-8　天然橡胶期货市场交易收益和非交易收益GPD的尾部拟合图

图7-9　天然橡胶期货市场交易收益和非交易收益GPD的尾部拟合图

表7-3　铜、天然橡胶和大豆期货市场15种Copula函数的对数似然函数、 BIC和AIC检验值

在表7-3中，综合考察最小的BIC值与最大似然函数值，容易发现，拟合最好的是tawn Copula函数。通过最大似然法则，即可求得二元tawn和BB7Copula函数各自对应的α，β和γ参数值（如表7-4所示）。并且，可以看到α，β和γ均在1%置信水平上均统计显著。

表7-4　铜、天然橡胶和大豆期货市场tawn函数的α，β和γ参数估计值

另外，图7-10分别绘出了铜、天然橡胶和大豆期货市场上交易收益和非交易收益进行概率积分变换后所得的时间序列且由经验Copula和tawn Copula拟合后得到的等高线图。可以看出，tawn Copula函数拟合后的等高线和经验Copula得到的等高线吻合得很好，这说明tawn Copula函数能够比较好地反映原始序列F1（x1）和F2（x2）的二元分布特征。这些结论进一步论证了tawn函数在Copula函数家族中的稳健性，给出用于合理估计综合VaR和成分VaR的证据。

图7-10　铜、天然橡胶和大豆期货市场经验tawn Copula拟合后的等高线图