不同分布下的模型

早在2002年，So et al.就提出了用门限随机波动（THSV）模型来刻画时间序列中均值和方差的不对称性。这一方法的优点是，它不仅能刻画过去的正负收益对当前收益所具有的不同影响，也能刻画自相关不对称方差的动态性。这就需要我们将门限的非线性特征引入随机波动模型的均值和方差中。具体而言，假设一个随机变量st服从伯努利分布。即，若rt-1＜0，则st＝0；否则，st＝1。因此，st依赖于rt-1的取值。

这样，标准THSV模型的收益和方差可分别表示为

式中：误差项ut和ηt是独立的，且有ut～N（0，1）和ηt～N（0，σ2）；参数ψ0，ψ1，α和φ在不同正负收益状态下将取不同的值。

THSV模型是非常广泛的，其包括对称性的SV模型、均值不对称和方差不对称的SV模型。在对称模型中，正负收益两种状态下的系数是完全一样的。如果两组系数具有显著差异，则意味着均值和方差具有不对称特性。特别地，ψ10≠ψ11说明滞后一期的收益对收益的影响是不对称的；φ0≠φ1说明当期的条件方差对后一期的方差的影响也是不对称的。如果φ0＞φ1，则意味着相对于正收益条件下的影响，负收益条件下方差的持续性更大。在这种情况下，市场需要更长的时间来消化过去波动中包含的消极消息。

如前文所述，铜、铝、天然橡胶和大豆期货的收益分布呈现出有偏性和高峰度性，这些特征在正态分布的随机波动模型中并不能得到很好的刻画。为此，我们接下来考虑能够刻画厚尾性的学生t分布、广义误差分布和混合正态分布，这些分布请参见第二章的公式（2.16）～（2.19）。类似地，为简化起见，我们把基于正态分布、学生分布、广义误差分布和混合正态分布的门限随机波动模型分别称为THSV-N，THSV-t，THSV-GE和THSV-MN模型。