对信息化的数量经济分析

一、基本设定

沿着迪克西特—斯蒂格里茨(1977)在D S模型中对经济学基本问题的重新设定,“一个市场机制能否导致社会最优的产品种类和产品数量”,将品种内生进均衡最优,进一步将品种与数量发展为相互独立的维度(数轴),与价格轴垂直,构成三维均衡坐标。将均衡从数量与价格之间的二维均衡,发展为品种、数量与价格之间的三维均衡。供求均衡由需求曲线与供给曲线之间的平面均衡,改表达为需求曲面与供给曲面之间的三维均衡(曲面均衡)。为简化计算,供求曲面均由同质—异质两商品市场构成,用数量—品种二元函数表示。在三维空间中,术语底平面特指品种—数量平面;侧立面特指价格—数量平面(这是标准理论的二维均衡平面);正立面特指价格—品种平面。标准理论指新古典主义完全竞争均衡理论。

品种(N)为差异化的抽象计量单位。与数量(Q)一样是带有1、2、3……等差刻度的数轴,数轴上的每一取值是同质的,仅代表产品差异化程度在量上的区别,而忽略这些差异化的产品之间在质上的区别(即假设它们具有相同的需求曲线和成本曲线)。品种在内容上反映的是异质性价值,数学形式上遵守同质性的要求。做出这种非现实假设是为了理论上的抽象,实现这种假设的方法同D-S模型中的代表性消费者模型一样,通过二元函数中的CES(不变替代弹性)假设实现。抽象品种的实质,在于部分修改了经济学的同质性假定,一方面,将价值论意义上的异质性以差异化的实证形式容纳进来;另一方面,又假定这些反映异质性的品种彼此之间是“同质”的(占有相同市场份额)。

抽象品种在经验中可以对应多种反映质的差异性的具体“品种”,如果质的差异性通过产品多样性来量化,可以以产品品种数量(在实际研究中包括中间产品品种数量、品牌数、商标数等)直接合成为品种指数;同样,如果质的差异性需要通过信息来量化(如反映熵的变化)、通过质量来量化(如反映质量阶梯的变化)、通过创新来量化(如反映新的质取代旧的质)、通过垄断来量化(如反映市场因质而产生的区隔),可以用各自反映差异化程度的单位值,去量纲化后,进行间接指数合成。品种在宏观上对应的是GDP中体现质的水平的未观测经济(NOE)量值,幸福值(反映生活的质)、质量水平、服务化程度(反映差异化程度)、信息化水平等均与之有关。

由于篇幅所限,将原工作论文中的公式缩减为30组,省去繁琐的技术性论证和全部数学证明,仅对提出的信息化与网络经济数量经济模型的大致轮廓进行一个简单勾勒。

二、二元函数模型

1.二元效用函数

在三维建模全局中,二元效用函数是底平面构造的一部分,首先,从三维底平面建构看,与D-S模型的代表性消费者效用函数不同,它取消了标价物(对应这里相当于q=1)的设定,从偏微分推广到全微分,从而使数量和品种同时得以内生;其次,效用函数只是关于数量的(在此是品种数量和产品数量的组合),效用函数与价格结合,形成需求函数,将二维的底平面与第三维价格轴关联起来,形成三维的需求曲面。

对不同的研究目的来说,二元效用函数可能有不同的形式。例如,克鲁格曼采用的是柯布—道格拉斯函数形式。我们采用的是CES函数形式。

在三维均衡中,第一步是设计效用函数作为目标函数。

三维均衡中的效用是二元的,由数量子效用和品种子效用的组合构成。

q1,q2,q3,……是同一品种产品的不同数量。对应D-S模型中作为标价物的同质组产品。n1,n2,n3,……可以认为是一组具有不同品牌的同一类产品,实际是不同品种的同一类产品,对应张伯伦的“组”,或D-S模型中的异质组。

n和q分别是两个子效用函数,n代表品种数量,q代表产品数量^[4]。

与标准分析不同,这里存在品种与数量之间的分配问题,即不同品种的商品具有不同的数量。为了避免这个问题,我们采用了抽象品种的概念。也就是把具体的品种变为品种轴。在品种轴上,品种被抽象为只有刻度这一种属性。品种之间只有n值的不同,而没有q值的不同。也就是假设同一个品种及同一个n值的商品,占有同等份额的市场空间。这就是著名的代表性消费者模型的假设。我们在一开始分析寻址模型与非寻址模型的区别时,已介绍过其中区别。为了在技术上实现这一点,我们可以采用D-S模型同样的不变替代弹性的设定。

对具体的分析来说,我们可以采取不变替代弹性(CES)形式的效用函数^[5]:

参数ρ反映了多样性偏好的强弱,当ρ越趋近1时,组内产品替代性越强,多样性偏好越弱(翁瑾,陈林生,2006)。

CES有不变的替代弹性,以

表示品种与数量之间的替代弹性(见图1)。

图1　二元效用函数对应的无差异曲线

2.二元支出曲线

在建模中,支出函数的作用,是作为效用函数的约束条件。它相当于生产者的成本函数约束产量(生产函数)或利润(利润函数)。效用最大化,要受预算的约束。当然也可以反过来,求支出最小化条件下的效用。

二元支出函数,将预算分为两类,一类是针对数量的预算,一类是针对品种的预算,后者也可从传统观点,视为是一种针对差异化产品的额外预算。二元支出函数,将在两类预算中分配合适的比例。在方法上,可以采用两阶段预算来处理。

效用最大化:当市场价格为消费者提供有关机会成本的信息时(以价格显示机会成本),消费者被假定是在预算约束下寻求效用最大化。

用(q,n)表示消费者的消费束。已知两商品(数量与品种)的价格(p1,p2)和消费者的要花费的货币总数m。

预算约束可以写为:

预算约束与生产可能性边界具有供求上的对偶性:预算约束关系于需求,而生产可能性边际关系于供给。

当q的价格为1(标价物,numeraire)时,预算约束可写为

预算线的斜率-p1/p2表示在两种属性间进行选择“替代”的机会成本。比如,在同等预算约束下,追求更多的差异化,要放弃同品种多大程度的规模。

q与n以预算来单独表示,可以通过截距和斜率,在替代中表示被选项:

注意品种的表示方法,用异质组数量表示品种,与用这一数量的参数表示品种,有所区别。

3.二元需求函数

用(q,n)表示消费者的消费束x,对于二元的价格向量p和收入I,二元消费束x=ξ(p,I),使得效用在约束集(I)上实现最大化。函数ξ被称为需求函数,又称马歇尔需求函数^[6]:

其中总量包括两个分量:

乘子入表示最优效用对初始的I变动的敏感度:

但我们这里的需求函数不同于一般的马歇尔需求函数,它是二元的,X代表的是N和Q的组合。不仅有两个子需求量,而且有两个子需求价格Pn和Pq。我们现在以两种商品需求函数的形式来表现。

在组合商品中,有两种商品N,Q,设收入约束函数为

如果只有一个人面对选择,其对于N的需求函数为:

对于Q的需求函数为:

如果有且只有两个人1和2,个人1对N的需求函数为:

个人2对N的需求函数为:

商品N的总需求是简单加总:

同理,对Q的总需求为:

4.二元成本函数

同质—异质二元成本函数,由同质成本H1与异质成本H2构成。

在标准理论中,所有投入简化为两个投入:同质劳动(l,用劳动时间来计量)和同质资本(k,用机器使用时间来计量)。企业的总成本函数是TC=wL+ vK,相应的经济利润是Π=总收益-总成本=Pq(K,L)-wL-vK。

我们用H1取代K,H2取代L,H1的价格仍沿用v,H2的价格仍沿用w (但不代表工资,而代表异质成本价格,对应以往理论中的销售成本的价格、额外成本的价格)。

要素向量为X=X(H1,H2),X代表生产要素组合的向量,H1、H2代表同质生产要素与异质生产要素。价格向量表示为r=r(v,w),r代表生产要素价格组合,v、w分别代表要素H1、H2的价格;

总成本(成本约束/或成本预算)为^[7]

生产者投入要素生产时,使价格向量与要素向量相匹配,保持总成本固定不变,构成等成本线。

从几何角度看,同质—异质二元成本函数是一个成本曲面,同质成本曲线与异质成本曲线,构成这一曲面的两条边。如图2“三维均衡中的双成本曲线与二元成本曲面”中,成本曲线有两条(这里以平均成本代表成本曲线),分别是由raw1构成的AC和由rbw2构成的A′C^[8]。

图2　三维均衡中的双成本曲线与二元成本曲面

5.二元利润函数

在生产函数y=f(H 1,H 2)下,厂商希望最大化利润:

π是企业的等利润线(isoprofit line)。在这里,产出y是q和n共同的产出,q这个符号已分配特指窄义的数量。

将投入需求函数H1(p,w,v)、H2(p,w,v)、产出供给函数y(p,w,v)代入上式,可得利润函数:

根据霍特林引理(Hotelling’s lemma),利润函数关于价格微分,可以得到投入需求函数和产出供给函数。

三、两市场一般均衡

为节省篇幅,略去均衡部分的代数公式,仅从几何角度直观说明一下在数量供求市场与品种供求市场一起运作时,供求的一般均衡调整过程^[9]。

图3　两市场均衡价格决定

我们观察存在数量市场和品种市场的经济中,均衡价格的决定。给出该经济的生产可能性边界PP,无差异曲线U表示个人对商品的数量和品种的偏好。在预算约束C,也就是的价格比率^[10]上,厂商在PP上寻找数量与品种的价格比率等于商品边际成本的比率(RPT),厂商选择(q1,n1)的产出组合,在此点上实现利润最大化(见图3)。

在给定的预算约束C下,个人的需求是(q1,n1),在此价格下,对品种存在过度需求,n1′-n1;而对数量却存在着过度供给q1-q1′。在经验中,这意味着市场上存在着过度粗放(如产品过度同质化引发价格战,而差异化空间巨大),要求向差异化(差异化竞争)升级的压力。

市场的完全竞争将使Pn上升,Pq下降;导致价格比率Pn/Pq上升,从而使价格线更陡,最终把价格移向其均衡水平E点(q*,n*)。在这个新的价格上,社会的预算约束线由C*给定。厂商沿生产可能性边界对价格变化进行回应,增加n而减少q。

均衡点在(q*,n*)得以成立,均衡的价格比率为n*/q*。在这个价格比率下,对数量和品种的供给与需求都达到均衡,数量和品种两个市场会同时出清。

比较标准理论,有一个明显的区别:标准理论市场完全出清时,隐含了N= 1的假设(同质化假设),但在真实经济中,这并非实际的出清状态,N＞1也完全可以是“经济”的。但在N＞1且经济时,按标准理论市场却是没有出清的。按照数量—品种两市场的三维均衡理论,E(q*,n*)才是真正的出清状态。这就是标准理论的纯粹竞争与容纳异质性的完全竞争理论的重大区别,后者更加接近真实世界。

四、广义完全竞争约束最优

1.二元最优的比较分析

广义完全竞争的意思是说,完全竞争与垄断竞争,从三维观点看,全是完全竞争,只不过前者是同质完全竞争,后者是异质完全竞争。

三维均衡理论对帕累托最优理论提出了体系框架性的修正要求。标准理论的帕累托最优,并非三维全局最优,而只是数量—价格二维最优。所有围绕固定成本、平均成本定价、过剩生产能力甚至报酬递增的偏离最优的结论,一旦从异质品种角度得到重新解释,我们发现它们背后反映的,只是三维最优与二维最优之间的差^[11]。

为了修复三维最优与二维最优之间的这个裂痕,我们需要修正的不光是最优理论的外围,如效用理论、支出理论、生产函数理论、成本理论和利润理论等,而是最优本身的框架,要把它修改为适应数量—品种—价格三维的情况。

在历史上,这样一种思路可以追溯到1977年的D-S模型。D-S模型得出结论:“垄断竞争均衡等于没有给予厂商总额补贴时的最优。”证明张伯伦关于“理想状态”的均衡的说法^[12]。相当于说,异质均衡=同质均衡—补贴(an)。这个补贴在数量上等于固定成本,它就是P=MC与P=AC(在dd′条件下)之间的差额:

AC=an+MC

这在方法上给我们一个启发,可以把异质均衡与同质均衡(最优)的关系,通过目标函数与约束条件的形式表现出来。在上面的例子中,约束条件相当于一个等于固定成本的补贴,实际就是异质成本曲线与同质成本曲线在同一个成本曲面上的落差。

如果放松规模经济条件,这里的分析实际上还要更为复杂。逐点去比较同质均衡与异质均衡的效率,将是极为繁难的。而且单纯从几何角度去定位全局最优也是难以做到的。

因此我们想到把这种思路推广到全局分析中,一劳永逸地解决同质均衡与异质均衡的效率比较问题,同时确定广义完全竞争的最优点。推广后的异质因素作用分析,就不光限于固定成本的分析,或所谓的短期分析,而推广到可变成本及“长期”的分析。

2.同质—异质要素的对偶

总思路是明确的,原则上改动是最低限度的,只修改核心本身。我们将修改限定在同质最优与异质最优之间。方法就是将同质最优与异质最优对偶地互设为目标函数和约束条件,以此得出的综合优化结果,就是三维全局最优的。

利用经济学中的优化方法^[13],我们建立一个线性规划的对偶模型,来解决这个问题。