消费者在曲线上效用最大化

基数效用论讨论问题的前提是为每一个消费组合指派一个效用数值。但是，效用本身就是主观的心理概念；效用数值指派的依据常常难以令人信服，也不是描述消费者消费选择行为所必须的；边际效用递减也不能加以证明。序数效用论用“偏好”分析来取代“效用”分析，避免了用基数来度量效用而出现主观性的假定，对消费者行为限制更少，也没有从本质上否定基数效用论。因此，第二次世界大战后，现代西方经济学一般采用序数效用论来理解消费者的行为选择过程，并把序数效用论看成是几何方式表述的效用论。序数效用论采用的是无差异曲线分析方法。

一、无差异曲线

西方经济学关于需求的定义，其核心表述是“愿意购买”与“能够购买”。“愿意购买”表达的是消费者偏好范畴，“能够购买”表达的是预算约束范畴。序数效用论者从这两个核心表述出发，用无差异曲线与预算线相结合的分析法考察消费者行为，并在此基础上推导出消费者的需求曲线。

（一）消费者偏好假定

现实经济生活中，消费者日常消费的常常是一组商品（有形物品或服务）。偏好就是消费者在消费行为中对某一组商品的喜爱，偏好选择就是消费者在考虑了所有情况以后，根据自己的意愿，对可能消费的商品组合进行的排序。^[8]为简便起见，假设只有两种商品可供消费。当某消费者表示“A和B中偏好A”时，意味着在考虑了所有的情况后，他感觉在A的情况下比在B的情况下更好。或者说，人们越偏好的情况所提供的效用越大。常用如下几种符号表示偏好：＞表示强偏好，≥表示弱偏好，～表示无差异。消费者对A、B任意两组商品的偏好，具有如下性质：若A＞B，则消费者对A商品组合的偏好比对B商品组合的偏好更强；若A ≥B，则消费者对A商品组合的偏好至少等于对B商品组合的偏好；若A～B，则消费者对A商品组合的偏好和对B商品组合的偏好无差别。

偏好选择不取决于商品的价格，也不取决于收入，只取决于消费者对商品组合的喜爱程度。序数效用论者认为：对于各种不同的商品组合，消费者无法准确度量所得到的效用，但消费者可以对获得的满足程度的大小进行排序。所有商品组合给消费者带来的满足程度的顺序或者等级反映了消费者对商品（组合）偏好的差异和次序。正是这种偏好程度的差别，反映了消费者对这些不同的商品组合的效用水平的评价。关于消费者对商品组合的偏好，序数效用论者提出了三个基本的假定^[9]。在这三个假定下，人们就有可能规范地表述他的偏好秩序，从最不合心意到最合心意，并构成了消费者行为分析的基础：

（1）偏好的完整性。消费者总是可以比较和排列所给出的不同商品组合的满足程度，这种满足程度在研究期间是不变的。对于任意两个商品组合A和B，消费者总是可以作出，而且也只能作出以下三种判断中的一种任意：对A的偏好大于对B的偏好；对B的偏好大于对A的偏好；对A和B的偏好相同。偏好的完整性假定表明消费者可以完全理解，可以开动脑筋判断，总是可以把自己的偏好评价准确地表达出来，保证了消费者对偏好的表达的完整性。

（2）偏好的可传递性。对于任意三个商品组合A、B和C而言，如果消费者对A的偏好大于对B的偏好，对B的偏好大于对C的偏好，那么，必有对A的偏好大于对C的偏好。偏好的可传递性假定表明了个人选择是始终一贯的，保证了消费者偏好的一致性。

（3）偏好的非饱和性。假定所有的商品组合都是值得拥有的，在不计成本的情况下，如果任两个商品组合的区别仅在于商品的数量不相同，那么，消费者总是偏好含有这种商品数量较多的那个商品组合。即对于任意一种商品，消费者总是认为数量多比数量少好。这个假定还意味着消费者认为值得拥有的商品都是给消费者带来正效用的“好商品”，而不是给消费者带来负效用的“坏商品”，避免了某种不寻常的偏好给选择理论带来的问题。

商品组合是一个商品束，可以包含多种商品。现实生活中，消费者对商品束的选择偏好虽然无法被观察到，但其购买行为的选择却是可以观察到的，因而其选择偏好是可以从中推断的。由于二维平面视觉的局限，我们只讨论两种商品的组合及其比较，令其中一种商品代表“其他一切商品”，这样，就可以用无差异曲线来形象描述消费者的偏好。

如果商品组合定义为两种，满足同一效用水平的两种商品数量组合，可因商品的性质不同而有不同的变化。其变化取决于消费偏好的类型不同。主要可以分成几种组合类型：①完全替代品。即指两种商品之间可以按固定不变的比例替换。②完全互补品。即指两种商品必须按固定不变的比例配合同时被使用。③中性商品。即指消费者对组合中的一种商品偏好而对另一种商品不在乎。④厌恶商品。即指消费者对组合中的一种商品偏好而对另一种商品厌恶。限于篇幅，本教材的论述仅涉及前两种组合类型。

（二）无差异曲线及其特点

1.无差异曲线的理解

一个消费者对商品组合的偏好可借用消费者的无差异曲线来表示。无差异曲线是能够给一个消费者带来相同效用水平的两种商品的不同数量的所有组合点的轨迹，也叫等效用曲线。曲线上的每一点表明人们用一种商品替代另一种商品的不同愿意程度。

要注意的是无差异曲线与需求曲线不同，它与稍后讨论的预算约束或价格没有关系。

可以通过图3-5来理解无差异曲线。假定消费者消费的这一组商品中只有两种消费品——比如说衣服（X2）和食物（X1），将这两种商品在一定时期内的消费量分别作为横轴和纵轴显示在该图中。图中的每一点代表不同数量的食物和衣服的不同组合，消费者会给所有的组合点按照效用的大小排列一个顺序。现在来分析这个顺序是如何排列出来的。在图中任意取一点A点，该点上消费者将消费15单位衣服和5单位食物。现在假定衣服的消费量不变，增加食物的消费量，则可以从A点出发得到一条平行于横轴的直线；假定食物的消费量不变，增加衣服的消费量，则可以从A点出发得到一条平行于纵轴的直线。按照“多比少好”的偏好非饱和性假定，由这两条直线围成的区域中，位于A点右上方部分的任意一点（包括两条直线）所代表的商品组合的效用都要高于A点。例如，在M点，消费者得到的商品组合为15单位的衣服和8单位食物，与A点相比，衣服的数量没有变化，但食物增加了3个单位，M组合提供的效用要大于A组合。同样，假定衣服的消费量不变，减少食物的消费量；或者假定食物的消费量不变，减少衣服的消费量，我们也可以得到A点左下方由两条直线与纵轴和横轴所围成的长方形区域。仍按照“多比少好”的偏好非饱和性假定，在这个区域里，所有商品组合提供的效用都要小于A组合。比方说，在N点，消费者能获得8单位衣服和5单位食物，食物的数量与A一样，但衣服却减少了7个单位，因此，消费者从N点得到的效用显然要小于A组合。现在，我们在A的右上方效用较高区域任意取一点，如H点，然后再在A的左下方效用较低区域任意取一点，如L点，用一条直线把H点和L点连接起来。由于H组合的效用要大于A组合，而L组合的效用又要小于A组合，这样，只要HL线是平滑、连续的，在这条直线上必然存在一个组合，比方说B点，它所提供的效用与A组合相比是没有差异的。

图3-5　个人偏好的表达

如果B点商品组合提供的效用与A组合没有差别，这个组合点应该也是HL线上的唯一组合点。这是由于H组合的效用要大于L组合，HL线上每一个组合点的效用是从H到L按大小顺序排列，因此是不可能相同的。HL线B点上方所有组合提供的效用要大于B组合，从而也大于A组合；而在B点下方所有组合提供的效用小于B组合，同时也小于A组合。在B点，消费者将消费10个单位的衣服和7个单位的食物，能得到和A组合（15个单位的衣服和5个单位的食物）完全同样的效用。同理，根据B点的形成机理，我们也可以找到一个C组合，它所提供的效用与B组合是没有差异的。在C点消费者将消费6个单位的衣服和10个单位的食物，得到和B组合同样的效用。根据偏好的可传递性原则，C组合产生的效用与A组合也是没有差别的。

如果我们把上述A、B、C三点连接起来，就得到了如图3-6的无差异曲线U。无差异曲线表示的是带给消费者相同效用的所有商品组合情况，也就是说，对同一条无差异曲线上的所有商品组合，消费者的偏好程度是完全相同的，或者说消费者觉得它们在效用上是没有差异的（这就是无差异曲线名称的来历）。在无差异曲线上方的任何一点，如G点，提供的效用都要大于无差异曲线上的任何一个组合，因为相对于无差异曲线的某一点，G组合可以在衣服数量不变的情况下，增加食物的消费量；或者在食物数量不变的情况下，增加衣服的消费量。同理，在无差异曲线下方任何一点，如K点，提供的效用都要小于无差异曲线上的任何一个组合。因此，只有在曲线U上面的任何一种组合带来的效用才是相同的，消费者从任何一组商品的消费中都能得到完全一样的满意程度。

2.无差异曲线簇

无差异曲线也可由二元效用函数U=f（X1，X2）在三维空间内来表示。X1，X2分别为商品1和商品2的数量，都是效用函数的自变量；U为效用水平，是效用函数中的因变量。此函数形式表示了两种商品的消费组合与效用水平变化的关系。

在序数效用论的分析中，效用函数是一种为无差异曲线标记数字使得受较多偏好的无差异曲线得到较大数字的一种办法，效用函数值只具有序数意义不具有基数意义。这是要特别注意的地方。式（3.21）表示某一条具体的无差异曲线，是二元函数U=f（X1，X2）=U0的情形。U0是常数，表示某个既定的效用水平；由于无差异曲线表示的是序数效用，所以，这里的U0只表示某个效用水平，而不表示一个具体数值的大小。U的不同取值代表不同的效用水平，取值只具有序数意义，其所构成的如图3-7的无差异曲线簇，对应的是效用曲面；U0对应的只是某一条效用曲线。

某一条无差异曲线f（X1，X2）=U0是在一定的商品价格和收入水平下得出的，它相当于地图上的等高线，代表某一特定的消费水平或满足水平。当价格和收入水平发生变化时，能够购买的商品数量发生变化，U=f（X1，X2）的取值会发生变化。如当商品价格不变而消费者的收入增加时，他可以购买更多的商品，无差异曲线向右上方移动；反之，如果他的收入减少，无差异曲线向左下方移动。对应不同的收入水平，应有许多条无差异曲线。当消费者的收入不变，商品价格下降时，同样的收入可以购买更多的商品，无差异曲线向右上方移动；反之，商品价格上升，无差异曲线相应向左下方移动。当收入与价格同时变动时，变动幅度大的决定无差异曲线的移动方向。因此，一个消费者对两种商品X和Y，可以有无数条无差异曲线U1，U2，U3，…且每一条无差异曲线代表消费者的某一既定的效用。无差异曲线U1，U2，U3，…所组成的坐标图，称为无差异曲线图。如图3-6所示。

3.无差异曲线的若干特征

（1）无差异曲线斜率为负。这一性质是由偏好的非饱和性决定的。我们从图3-6中的A点开始，如果增加食物的消费，为了保持总效用不变，衣服的消费必须相应减少，比如说B点，因此，无差异曲线的斜率肯定是负的。如果曲线向右上方倾斜，那么曲线上总是有一些点比另一些点同时包含更多的食物和衣服，根据偏好的非饱和性原则，前者的效用应该大于后者，这与同一条无差异曲线上所有点效用相同是矛盾的。

图3-6　无差异曲线的一般形状

图3-7　无差异曲线簇

（2）同一平面图上可以有无数条无差异曲线，分别表示同一消费者不同的效用水平。离原点越远的无差异曲线代表的效用水平越高，离原点越近的无差异曲线所代表的效用水平越低。

图3-7是无差异曲线簇，显然，根据偏好的非饱和原则，离原点越远的曲线代表的效用水平越高。比如我们将衣服的数量固定在OC的效用上，沿着U1、U2、U3、U4曲线，食物的数量是递增的，因而代表了递增的效用。按照序数效用分析法，效用的精确度量单位是无关紧要的，我们不必去追究U2曲线比U1曲线所代表的效用量究竟高多少，只要知道消费者的偏好顺序就足够了。比如U1、U2、U3、U4的偏好取值为1、3、5、7与取值1、2、3、4都是次要的，重要的是给定取值的相对排序。如果图3-7中有一点A位于U3和U4曲线之间，我们可以断定，消费者在A和B两种商品组合中更偏好B，而在A和D中更偏好A。至于B组合提供的效用究竟比A组合大多少，或者D组合提供的效用水平究竟比A组合小多少，则是无关紧要的。

（3）同一平面上的任意两条无差异曲线不能相交。这是由偏好的可传递性决定的。如果两条无差异曲线相交了，便破坏了关于偏好的假定条件。如图3-8所示，假设U2代表比U1更高的效用水平，那么消费者在A组合和B组合中应更偏好前者；又由于B和C点位于同一无差异曲线U1上，即对消费者而言，这两种组合会是无差异的，这样，根据偏好的可传递性，在A和C中，消费者也应更偏好A。但是A和C又同处一条无差异曲线U2上，根据无差异曲线的定义，A和C的效用应该相同，这是自相矛盾的。因此，同一平面上的任意两条无差异曲线是不能相交的。

图3-8　相交的无差异曲线

（4）一般情况下，无差异曲线是凸向原点的。即一般情况下，无差异曲线不仅向右下方倾斜，而且以凸向原点的形状向右下方倾斜，这是由于边际替代率递减规律作用的结果。具体情况下则有所不同。^[10]

（三）商品的边际替代率（marginal rate of substitution）

1.边际替代率的定义

现实中的消费者并不认为每一额外单位的某种商品都具有相同的重要性，大多数经济活动会涉及个人之间的自愿交易，边际替代率是用以衡量额外一单位某种商品相对重要性的方法。图3-6告诉我们，当消费者对于商品组合的选择自愿沿着A→B→C变化时，消费者的效用水平不变，但横轴上的商品数量会越多，纵轴上的商品数量会越少。为了将消费者为获取更多的另一种商品而愿意放弃一种商品的数量加以量化，在效用满足程度保持不变的前提下，消费者增加一单位的某种商品所愿意放弃的另一种商品的消费数量的比值，被称为商品的边际替代率，通常用MRS表示。为了在教材中保持一致，我们将从放弃纵轴上商品的数量来获得横轴上额外的1单位商品这一角度来描绘MRS。若用商品X1替代商品X2，我们以MRS12表示，并定义：

其中：△X1是增量，△X2是减量。边际替代率衡量了消费者为得到商品X1的一个边际量的额外消费而愿意交易的商品X2的数量比率。按此比率，消费者正好处在意愿交换与不交换的边际上。由于两种商品消费量变化方向相反，经济学家们常常取其绝对值，或者在边际替代率公式中加了一个负号，这样使MRS12的计算结果为正值，以便于比较。

当商品数量的变化趋于无穷小时，则商品的边际替代率公式为

显然，无差异曲线在某一点的边际替代率，实际上是相对于横轴，无差异曲线在该点的斜率的绝对值。

2.边际替代率递减规律

经济生活中我们常常可以发现，在维持效用水平不变的前提下，随着一种商品消费数量的连续增加，消费者每增加一单位这种商品的消费所能替代的另一种商品的消费数量是递减的。这一现象称为边际替代率递减规律。

我们从图3-9来看边际替代率是如何递减的。在A点，消费者拥有5单位的食物和15单位的衣服，此时若增加1单位食物，消费者愿意减少3单位的衣服作为代价来保持总效用不变，即边际替代率为3。但从B点开始，再增加1单位的食物，消费者愿意减少的衣服消费量就变成了2个单位；如果再增加1单位食物，如C点，消费者就只愿意减少1单位的衣服了……这就说明，随着食物的增加，食物对衣服的替代率是递减的，即随着食物消费量的增加，消费者所愿意放弃的衣服的数量越来越少。这就是边际替代率递减规律。

商品的边际替代率递减的原因在于，消费者对某一商品拥有量较少时，对其偏爱程度高；而拥有量较多时，偏爱程度较低。所以随着一种商品的消费数量的逐步增加，消费者想要获得更多的这种商品的愿望就会递减，从而，他为了多获得一单位的这种商品而愿意放弃的另一种商品的数量就会越来越少。

图3-9　边际替代率递减规律

借用边际效用递减规律，商品的边际替代率递减规律可以得到进一步的解释。因为，在保持效用水平不变的条件下，消费者增加食物消费量所增加的效用恰好弥补衣服消费量减少所减少的效用。假定食物消费量的改变为△X1，则消费者的效用改变量为MU1· △X1，由此引起的衣服数量改变△X2，对效用的影响为MU2· △X2，于是，在保持效用水平不变的条件下有：

从中得到

上式表明食物对衣服的边际替代率与食物的边际效用呈正比，与衣服的边际效用呈反比。由于边际效用递减规律，随着食物数量的增加，消费者每增加一单位食物获得的效用是越来越小的，从而，这一单位食物对衣服的替代数量就越小；而随着衣服数量的减少，人们从单位衣服中所获得的边际效用越来越大，越不容易被其他商品所替代。因此，食物对衣服的边际替代率是递减的。要注意的是，边际效用递减规律虽与边际替代率递减律显然相关，两个概念都有随着物品消费的增加个人相对满意度增加的含义，但两者是不同的概念。

3.无差异曲线的主要形状及其边际替代率

由于无差异曲线是二元效用函数U=f（X1，X2）当U=U0时在坐标图上的表示，则二元效用函数的形式不同，其效用函数的无差异曲线图形也不同。这里介绍几种主要情况，它们的边际替代率各自有特殊性。

第一，完全替代效用函数情形。假定某消费者只消费X1与X2两种商品，而且这两种商品之间是完全替代的关系，则有表示当X2变得更昂贵时，消费者就会转向消费X1商品。其效用函数形式为：

其中：X1，X2表示两种商品的数量，常数a、b＞0，该效用函数为线性效用函数，与其相对应的无差异曲线是一条斜率不变的直线。而且，在任意一条无差异曲线上，两商品的边际替代率保持不变，均为MRS12=a/b。如图3-10（a）所示。

第二，完全互补效用函数情形。假定某消费者只消费X1与X2两种商品，而且这两种商品之间是完全互补的关系，则有表示当X2变得更昂贵时，消费者就会同时减少消费X1商品。其效用函数形式为：

其中：X1，X2表示两种商品的数量，常数a、b＞0，符号min表示效用水平由括号中数量最小的一项决定。由于要始终以固定比例一起消费，只增加其中一项的数量对于消费者的效用水平毫无帮助。此时，这条无差异曲线呈直角型。只有在无差异曲线的直角点上，两种互补商品刚好按固定比例被消费；在任意一条直角型无差异曲线的直角点上，都有U=aX1=bX2；在直角点上两商品的边际替代率为常数，均为MRS12=a/b，或为0（平行于横轴）或为∞（垂直于横轴），如图3-10（b）所示。

图3-10　无差异曲线的特殊情形

第三，柯布—道格拉斯效用函数情形。假定某消费者只消费X与Y两种商品，而且这两种商品之间是完全相关的关系，则有表示当X变得更昂贵时，消费者就会同时减少消费Y商品。其效用函数形式为：

这里，X，Y表示两种商品的数量，α与β是正的常数，它们的相对大小表明了两种商品对这个人的相对重要性，其图形如图3-11表示。

图3-11　柯布一道格拉斯效用函数图形

二、消费者的预算线（Budget Line）

消费者的个人选择不仅受到偏好的影响，还要受预算、时间等多种约束的影响。为讨论简便，假定只受到预算约束。比如一个消费者每月税后全部收入为5000元，没有借贷行为，也没有存量资产，消费偏好表达了消费者的消费欲望，预算约束限制了消费者的消费能力。

（一）预算线的含义

预算线是表示在消费者的收入和商品价格既定的条件下，消费者的全部收入所能购买到的两种商品的不同数量的各种组合。

现实生活中，消费者要消费很多种商品，平面坐标图也只能表现两种商品。为了方便图形描述，我们仍从最简单的二维平面图入手。设消费者只购买价格为P1、P2的两种商品X1和X2（X1为我们所关心的商品，X2为所有其他商品的混合）；其货币收入为I；P1X1为消费者花费在商品X1中的货币量，P2X2为消费者花费在商品X2中的货币量。这样，则消费者的预算约束函数可以表示为

它在坐标图上的轨迹称为预算约束线（简称预算线），其预算空间为△OAB，如图3-12所示，表示消费者能够负担的消费束是不超过货币收入I的商品量。预算线恒等变形后为：

图3-12　预算线

式（3.29）告诉我们一些重要信息：一是在收入和商品价格既定的条件下，消费者的预算线一般是一条向右下方倾斜的直线，如果消费者消费1单位的商品X1，在此预算约束下，他需要消费多少单位的商品X2；二是为斜率，是两商品的价格之比，表示市场愿意用商品X1来替代商品X2的比率。任何消费者都会在预算约束线上选择某一点，但具体选哪一点则取决于个人偏好；三是为纵轴截距，代表收入I所能购买商品X2的最大数量；四是预算线把坐标平面第一象限划分为三个区域：预算线与坐标轴之间、预算线上以及预算线之外的区域。预算线AB以外的区域中的任何一点，如a点，是消费者利用全部收入都不可能实现的商品购买的组合点。预算线AB以内的区域中的任何一点，如b点，表示消费者的全部收入在购买该点的商品组合以后还有剩余。惟有预算线AB上的任何一点，才是消费者的全部收入刚好花完所能购买到的商品最大数量的组合点，才是真正有意义的点。图中的阴影部分的区域（包括直角三角形的三条边），被称为消费者的预算空间。

（二）预算线的变动

消费者的预算线是以消费者的收入和商品价格既定为条件的，消费者的收入与价格常常又受诸多因素的影响而发生变动。因此，当消费者的收入和商品价格发生变动时，消费者能够购买消费的两种商品量也会相应发生变动，预算线也会随之变动。当商品为正常品时^[11]，消费者预算线的变动可以分为以下几种情况：

（1）在两种商品的价格保持不变时，其他条件不变，如果消费者的收入发生变化，消费者的预算线将会平行移动。如果消费者的收入增加，则消费者的预算线向右上方平行移动；如果消费者的收入减少，则预算线向左下方平行移动。这是因为，从式（3.25）就可以看出，在商品价格不变的条件下，增加或减少收入只会改变纵、横轴截距而预算线的斜率不变，因而消费者收入变化只能引起预算线平行移动。如图3-13（a）所示，消费者收入增加，预算线由I平移到I1；消费者收入减少，预算线由I平移到I2。

图3-13　预算线的变动

（2）在消费者的收入保持不变，其他条件不变，两种商品的价格同比例同方向变化，消费者的预算线也会平行移动，亦如图3-13（a）。两种商品的价格同时提高，则消费者的预算向左下方平行移动，由I平移到I2；两种商品的价格同时降低，则消费者的预算线向右上方平行移动，由I平移到I1。当然，也可以从式（3.25）推算得出。

（3）在消费者的收入和其他商品的价格保持不变，其他条件不变，一种商品价格发生变化，将会使预算线以某一点为中心旋转。如果消费者的收入和商品X2的价格保持不变，而X1的价格P1变化，从式（3.25）就可以看出，若P1下降，纵轴截距不变，预算线斜率的绝对值减小从而预算线更为平缓，消费者的预算线将会以其与纵轴的交点为中心向右上方旋转，即由I旋转到I1；反之，若P1提高，纵轴截距不变，预算线斜率的绝对值增大从而预算线更为陡峭，预算线将会以这一交点为中心向左下方旋转，即由I旋转到I2，如图3-13（b）。同理，如果消费者的收入和商品X1的价格保持不变，X2的价格P2降低，纵轴截距增大，预算线斜率的绝对值增大从而预算线更为陡峭，消费者的预算线将会以其与横轴的交点为中心向右上方旋转，即由I旋转到I1；而X2的价格P2提高，纵轴截距减小，预算线斜率的绝对值增大从而预算线更为平缓，消费者的预算线将会以其与横轴的交点为中心向左下方旋转，即由I旋转到I2，如图3-13（c）。

（4）如果其他条件不变，消费者的收入和两种商品的价格都同比例同方向发生变动，那么消费者的预算线不会发生变化；如果是不同比例不同方向发生变动，情况要变得复杂些，可以根据式（3.25）对其斜率变化进行推算而大致描绘其图形，这里不赘述。

三、序数效用论的消费者行为选择均衡

如同基数效用论者的分析，在序数效用条件下，消费者个人如何进行购买数量的选择，才实现既定条件下的总效用最大化？序数效用论者对此也进行了分析，提出了消费者行为选择的均衡条件。

（一）消费者均衡的条件

消费者均衡是指消费者的效用达到最大并维持不变的一种状态。假设消费者是在理性人等假设下进行选择并获取效用最大化的。在消费者的收入约束既定、偏好既定和商品价格既定的条件下，消费者要达到效用最大化这一目标，有两个条件必须满足：第一，所选择的商品组合必须在预算约束线上。既定的收入和商品价格决定了消费者的预算约束线，它限定了可供消费者选择的范围。如果所选择的商品组合点落在了预算约束线的左边或者低于预算约束线，这意味着部分收入没有花掉，总效用未实现最大化；如果所选择的商品组合落在了预算约束线的右边或者高于预算约束线，则是消费者不可能实现的购买行为。第二，所选择的商品组合必须要达到最大效用。因为消费者对商品的偏好通过无差异曲线表示出来，因此，消费者的选择必须是无差异曲线上消费者最偏好的商品组合点，这一点的效用水平最大。在这两种相反力量的作用下，均衡点必须落在离原点最远的那条无差异曲线与预算线的切点上。因此序数效用论者指出：假定消费者的偏好不变、收入不变、商品的市场价格不变，则只有在既定的预算约束线与其中一条无差异曲线的切点^[12]，才是消费者获得最大效用水平或满足程度的均衡点。

如图3-14所示，对应于可供消费者选择的所有商品组合点（X1，X2），消费者对它们可以产生的效用水平进行排序，从而得到一系列的无差异曲线，图中的U1、U2、U3是其中具有代表性的三条。另一方面，在消费者的收入和商品价格既定的条件下，该消费者面临一条特定的预算约束线AB，消费者能购买的商品X1与X2的各种组合可以用图中阴影三角形AOB表示。为了实现最大的效用，消费者的商品组合选择将沿着预算约束线的右角b点开始向左移动，并趋向越来越高的无差异曲线。当到达E点，即预算约束线AB与无差异曲线U2相切之点，才是效用最大化的选择点。同理也可讨论从a点沿着预算线向右移动。这是因为，就无差异曲线U3来说，虽然曲线上的点是最受偏好的选择点，它代表的效用水平高于无差异曲线U2，但它与既定的预算约束线AB既无交点又无切点。这说明消费者在既定的收入水平下无法负担无差异曲线U3上的任何一点的商品组合的购买。就无差异曲线U1来说，虽然它与既定的预算约束线AB相交于a、b两点，这表明消费者利用现有收入可以购买a、b两点的商品组合。但是，曲线上的点却不是最受偏好的选择点，这两点的效用水平低于无差异曲线U2，消费者现有收入还可以购买效用更大的商品组合。因此，理性消费者必改变购买组合，选择AB线段上位于a点右边或b点左边的任何一点的商品组合，以达到比U1更高的无差异曲线，以获得比a点和b点更大的效用水平。这种沿着AB线段由a点往右和由b点往左的运动，最后必定在E点达到均衡。显然，只有当既定的预算约束线AB和无差异曲线U2相切于E点时，消费者才在既定的收入预算约束条件下获得最大的满足。故E点就是消费者实现效用最大化的均衡点。

图3-14　消费者的均衡

E点是消费者预算约束线AB与无差异曲线U2相切之点。如前所述，无差异曲线反映了消费者的消费愿望，预算约束线反映了消费者的购买约束，而相切之点则反映了消费愿望要与购买约束相一致。在点E上，无差异曲线的斜率等于预算线的斜率。预算约束线的斜率为而无差异曲线的斜率为商品的边际替代率的负数即-MRS。^[13]因此，E点是消费者效用最大化的均衡点，必须满足：

其中：边际替代率是消费者愿意用一种商品交换另一种商品的比率，表达的是一种心理愿望的交换比率，反映了个人偏好；预算线的斜率是市场上一种商品能够交换另一种商品的比率，表达的是一种市场的交换比率，反映了市场现实。消费者个人愿意交换的比率并不等于他必须交换的比率。“边际替代率=预算约束线的斜率”向我们表达的一个信息就是，愿望的交换比率与现实的交换比率一定要吻合，此时的总效用水平才会最大。为什么？我们还可以作一个简单的数值分析。

假定消费者选择E点以外的X1和X2的组合，如图3-14中的a点，从绝对值来说，无差异曲线的斜率大于预算线的斜率，即那么从不等式的右边来看，在市场上消费者减少1单位商品2的购买，就可以增加1单位商品1的购买。而从不等式的左边看，消费者认为，在减少1单位的商品2时，只需增加0.5单位的商品1，就可以维持原有的满足程度。这样，消费者就因多得到0.5单位的商品1而使总效用增加。所以，在这种情况下，理性的消费者必然会不断地减少对商品2的购买和增加对商品1的购买，以便获得更大的效用。即消费者会沿着预算线AB减少对商品2的购买和增加对商品1的购买，逐步达到均衡点E。同理，如果无差异曲线的斜率小于预算线的斜率，即如图3-14中的b点，理性的消费者会减少对商品1的购买，而增加对商品2的购买，沿着预算线逐步向均衡点E靠近。

消费者效用最大化的均衡条件表示：在偏好、价格既定和预算约束下，为了实现最大的效用，消费者应该选择最优的商品组合，使得消费者愿意用1单位的某种商品去交换的另一种商品的数量，应该等于该消费者能够在市场上用1单位的这种商品去交换得到的另一种商品的数量。即消费者主观上的边际替代率等于客观上的价格比例。

同样，我们也可以借用基数效用论中边际效用的概念加以解释。沿着同一条无差异曲线上移动，必然有减少一种商品所减少的效用与增加一种商品所增加的效用是相等的，才能维持效用水平不变，即△TU1=-△TU2，进一步△X1×MU1=-△X2×MU2，所以：

而要实现序数效用论条件下的消费者均衡，必须有结合式（3.31），则有：

或者说

式（3.33）中，λ为货币的边际效用，式（3.32）与基数效用论者关于消费者均衡条件是相同的［见式（3.10）］。

还可以作数学证明。设消费者的效用函数为二元函数U=U（X1，X2），预算约束条件为I=P1X1+P2X2，建立拉格朗日函数^[14]：

分别对三个变量求一阶偏导数，并令其分别等于零：

等式说明，在最大效用点上，支出在每一单位商品上的货币所得到的边际效用是相等的。如果不是这样的话，其中就会有一种商品提供的边际效用大于其他商品提供的边际效用，那么资金就没有被合理地分配。

（二）消费者均衡点的变动

消费者均衡是在消费者偏好、收入和商品价格既定的条件下得到的，但实际上这三个因素都是难以既定的，如果偏好、收入与商品价格三个因素中任一个发生了变动，消费者的既定收入在诸商品之间的分配选择也会发生变动，消费者最优消费组合均衡点也会随之变动，从而形成新的消费者均衡。我们先分别考察两种商品情形下价格或收入变动对消费者均衡的影响。

1.价格—消费曲线

当消费者收入不变、偏好及其他商品的价格不变时，一种商品价格的变化会导致预算线发生移动，进而会使消费者最优消费组合均衡点的位置发生移动，并由此可以得到价格—消费曲线。价格—消费曲线是在消费者的偏好、收入以及其他商品价格不变的条件下，与某一商品的不同价格水平相联系的消费者效用最大化的消费组合均衡点的轨迹。价格—消费曲线有多种形式，我们仅仅讨论图3-15的形式，并说明价格—消费曲线的形成过程。

图3-15　价格—消费曲线

图3-16　价格—消费曲线和消费者的需求曲线

序数效用论者所推导的需求曲线与基数效用论者所推导的需求曲线具有相同的特征。一般地，需求曲线也是向右下方倾斜的，它表示商品的价格与需求量成反方向变动，用变化率来表示，通常有斜率为负。^[15]而且需求曲线上与每一价格水平相对应的商品需求量都是可以给消费者带来最大效用水平或满足程度的需求量。

2.收入—消费曲线

当其他条件不变，仅有消费者的收入水平发生变化时，预算线的位置也会发生平行移动。这些平行移动的预算线分别与众多无差异曲线相切，得到若干个效用最优消费组合均衡点的切点。连接这些切点形成的轨迹，我们便得到收入—消费曲线。它勾划了与每一种收入水平相联系的商品X1和商品X2效用最大化的种种组合。

收入—消费曲线也有多种形式，本章只讨论如图3-17的两种主要形式。

图3-17　（a）是X1与X2均为正常消费品的收入—消费曲线。正常消费品有特性，如果两种商品都是正常品，收入—消费曲线的斜率便为正值。设商品价格不变，消费者的收入为I1时，预算线为AB，这时，消费者均衡点为E1。随着收入水平的不断增加，预算线由AB向右上方先平行移动至A′B′，再平行移动至A″B″，于是，形成了三个不同的消费者效用最大化的均衡点E1、E2和E3。如果收入水平的变化是连续的，则可以得到无数个这样的均衡点。连接这些点的轨迹，这便是正常消费品的收入—消费曲线。

图3-17　（b）是X2为正常品、X1为劣等品的收入—消费曲线。劣等消费品有特性。如前所述，当商品价格不变，消费者的收入为I1时，预算线为AB，这时，消费者均衡点为E1。随着收入水平的不断增加，预算线由AB向右上方先平行移动至A′B′，再平行移动至A″B″。但由劣等消费品特性决定，收入增加时劣等品的消费量反而下降。于是，形成了三个不同于图3-16（a）的消费者效用最大化的均衡点E1、E2和E3。如果收入水平的变化是连续的，则可以得到无数个这样的均衡点。连接这些点的轨迹，这便是劣等消费品的收入—消费曲线。

图3-17　（a）正常消费品的收入—消费曲线；（b）低档消费品的收入—消费曲线

当消费者的收入变动时，消费者对于一种商品的需求曲线也会发生变化。如图3-18所示，这里也分两种情况讨论。图3-18（a）中，X1与X2都是正常品。因为都是正常品，有当消费者收入增加时，对X1与X2的需求都上升，收入—消费曲线呈现如3-19（a）所示，而对X1的需求曲线相应向右上方平行移动；图3-18（b）中，X2为正常品，X1为低档品。因为正常品有特性；劣等品有特性，当消费者收入增加时，对X2商品的需求上升，对X1商品的需求量下降，收入—消费曲线呈现如图3-19（b）所示，而对X1的需求曲线则相应向左下方平行移动。

3.恩格尔曲线（Engel curve）

恩格尔曲线是表示在其他条件不变时，消费者的收入支出水平与某商品的消费量之间的依存关系的一条曲线。它因19世纪德国统计学家恩格尔·厄恩斯特的相关研究而得名。由收入—消费曲线，可以将一种商品的消费量与收入联系起来构建恩格尔曲线。

图3-19就是恩格尔曲线的导出过程。图3-19（a）中的U1、U2、U3为效用无异曲线，代表消费者对商品X1及X2的偏好，AB、A′B′、A″B″三条平行线为预算线，三线斜率相同表示两种商品价格不变，而离原点愈远的预算线，表示预算金额愈多。图中的E1、E2、E3三点表示不同的预算线可以达到不同的偏好组合，将这三个点连起来的线，即为收入—消费曲线。

图3-18　（a）正常商品的收入变化对需求曲线；（b）劣等商品的收入变化对需求曲线

将图3-19（a）横轴X1商品的消费量复制到图3-19（b）的横轴，而（b）图的纵轴以预算线的I1、I2、I3所得水准标示。在I1的所得水准下，消费数量的X1商品，在I2所得下消费数量的X1商品，在I3所得下消费数量的X1商品。将a、b、c各点连接起来，就是X1商品的恩格尔曲线。

恩格尔曲线有多种形态，此处仅从恩格尔消费曲线的斜率和需求收入弹性之间的关系讨论。根据式（2.18）需求收入弹性的定义：

图3-19　恩格尔曲线

I、Q恒为正数，e1的符号取决于dQ/dI的符号。

若dQ/dI＞0 ，1＞e1＞0，商品的需求量X1随着收入水平I的上升而增加，但其增长率是递减的。即数量增加的比例小于收入增加的比例，此时，商品X是正常品且是生活必需品，如图3-20（a）。

若dQ/dI＞0，e1＞1，商品的需求量X1随着收入水平I的上升而增加，且其增长率是递增的，此时，商品X是正常品且是奢侈品，如图3-20（b）。

若dQ/dI＜0，e1＜0，商品的需求量X1随着收入水平I的上升呈现先上升后下降的变化态势，即在需求量较小的阶段内，需求量随着收入水平的上升而上升，超过该阶段后，需求量则随着收入水平的上升而不断地减少，此时，商品X是劣等品。如图3-20（c）。

图3-20　恩格尔曲线的三种图形