期权与实物期权的数学模型及求解

1.期权的数学模型及求解

期权的类型各种各样，其对应的数学形式也变化丰富，本质上却一样，都是一个偏微分方程。期权的数学模型求解的计算方法可分为：离散方法、方程方法、随机模拟方法。离散方法就是多项网格法，假设标的物的价格过程服从多项分布，其轨道随着时间推移而成为树状形，标准二叉树方法是由Cox，Ross ＆Rubinstein（1979）建立的最经典的离散方法。之后，Boyle（1986）提出了三叉树方法；进一步，Boyle（1988）又提出了五叉树方法；统一的多叉树模型由Madan，Milne ＆Shefrin（1989）完成；之后相关的研究是修正这些模型以适用于实物资产的特点，如非交易性。当然，更多的因素，如没有卖空限制，市场的不完全性、复合期权特征也在逐步纳入到离散模型的讨论中来。方程方法是指期权定价模型可通过随机动态最优化理论转化为带有边界条件的偏微分方程加以分析，姜礼尚（2003）系统梳理了各种形式金融期权所满足的偏微分方程。由于只有少数的偏微分方程可以求出解析解，所以，数值解法得到了迅猛发展。最常用的数值方法是有限差分格式方法，该方法将导数离散化，利用有限差分方法求解随机微分方程，之后，Courtadon（1982）对方法的推广做了一些工作。Geski ＆Shastri（1985）指出求解价格过程的对数变换后的差分方程能得到最为有效的期权近似解。此外，外推的有限差分方法求解多维偏微分方程的思想在期权定价中也得到了应用。随机模拟方法，也称蒙特卡罗模拟。根据风险中性原理，在风险中性测度下收益的数学期望即为期权价格。而数学期望就是均值，可通过大量样本轨道值的算术平均来近似，这就是随机模拟方法求解随机偏微分方程的基本思想。这种方法严重依赖历史数据或称路径依赖，多资产的期权定价非常有效，但计算量非常大。当然也无法讨论美式期权提前执行的问题。

2.实物期权的数学模型及求解

从数学角度而言，实物期权的数学模型与金融期权的数学模型并无太大差别，其分析求解方法类似，问题是金融期权的数学模型适用于实物期权时需要，针对实物资产的独特特点，如实物资产的价值漏损（便利收益）等，进行调整。离散方法没有解析表达式，难于纳入市场的不完全性、竞争的不对称性等新的重要考量，所以，结合具体实物期权的特性连续方法得到了深入研究。相应的偏微分方程可通过动态规划方法、或有权益分析方法求解。