运用货币时间价值

导入案例

银行贷款分期等额偿还和到期一次还本付息的比较

渤海公司打算将已使用十年的手工生产线更换为半自动生产线，此次更换需资金3000万元，公司拟向银行贷款2000万元，其余资金自筹。现有两种还款方式可供选择:方式一，贷款期限五年，年贷款利率10%，每年年末等额偿还，复利计息;方式二，贷款期限五年，年贷款利率11%，五年后一次还本付息。负责此项工作的小王需向公司财务总监提出方案选择事宜说明书，请大家思考小王应如何选择?

学习目标

掌握货币时间价值的概念，复利终值、复利现值的计算，年金终值、年金现值的计算。

问题引出

1,如果不考虑通货膨胀和风险因素，2000万元的资金放置着也不会增加资金，为什么银行要收取贷款利息?

2,案例中提到的复利指的是什么?

3,现在的2000万元和五年后一次还本付息的总金额之间有什么联系?

4,方式一还款的特点是什么? 相当于五年后一次性还多少钱呢?

知识储备

一、资金时间价值的概念

【知识点导入】如果有人今天借了你20000元，一年后只还你20000元，你会愿意把钱借给他吗?

你一定会说不愿意，也许你知道一年以后的20000元和今天的20000元不等值，你知道不等值的原因吗? 答案就是即便没有通货膨胀和风险因素，资金在不同时间点上价值也是不同的。因为资金具有时间价值，即一定量的资金在不同时间点上的价值的差额，也就是说资金是会随着时间的推移而增值的，时间越长，增值越多。

货币之所以具有时间价值，是因为货币的使用者将货币投入社会再生产过程中，经过劳动者参与，生产出新的产品，创造出了新的价值，带来了利润，形成了增值。货币时间价值的实质就是资金周转使用后的增值额，是资金所有者让渡资金使用权而参与社会财富分配的一种形式。

资金时间价值可以用绝对数和相对数表示，即增值额和增值率。一般认为，资金时间价值就是在没有风险和通货膨胀条件下的社会平均利润率，这是利润平均化规律作用的结果。但是实际工作中通常以利息率计量，一般利息率除了包括资金时间价值因素外，还考虑了通货膨胀和风险因素。

需要注意的是，由于资金时间价值的存在，不同时间点的资金是不可以直接进行比较的，需要转换到同一个时间点进行比较。

二、复利终值和复利现值的计算

【知识点导入】今天的100元和一年后的110元，你知道哪个价值高吗?

根据前一个知识点的学习，我们知道是不能直接将两个资金数进行比较的，那么如何将不同时间点的资金转换到同一时间点上进行比较呢? 首先要确定选择的比较时间点。如果是现在一定量的资金在未来某一时间点上的价值，称为终值，俗称本利和;如果是未来一定量的资金折合到现在的价值，称为现值，即本金。在某一特定时间点上一次性支出(或收取)，经过一段时间再收取(或支出)的款项，称为一次性收付款项，例如，现在将一笔10000元的现金存入银行，5年后一次性取出本利和。一次性收付款项终值和现值的计算可以用单利法和复利法。

(一)一次性收付款项单利终值和现值的计算

单利是指只对本金计算利息，利息部分不再计息。因此在单利计算方式下，终值和现值的计算比较简单。

利息的计算公式:

I=P× i×n

单利终值的计算公式:

F=P+I=P×(1+i×n)

单利现值的计算公式:

P=F/(1+i×n)

式中: P——现值;

F——终值;

i——利率(贴现率、折现率);

n——计算利息的期数;

I——利息。

【实例1-1】某人将10000元存入银行，银行年存款利率为3%，3年后连本带息能取出多少钱(单利计息)?

解:F=10000×(1+3%×3) =10900(元)

【实例1-2】某人打算3年后一次性从银行取出10900元，银行年存款利率为3%，那么现在需存入银行多少本金(单利计息)?

解:P=10900/(1+3%×3) =10000(元)

(二)一次性收付款项复利终值和现值的计算

复利计算法与单利计算法的不同之处就在于利息计算，复利计算法不仅对本金要计息，而且对本金所生的利息，也要计息，即俗称的“利滚利”。资金的时间价值通常是按照复利的计算方式计算的。本书中除特殊说明，资金的时间价值均采用复利法。

1,复利终值的计算公式

F=P×(1+i)n=P×(F/P，i，n)

(1+i)n称为“复利终值系数”或“1元复利终值系数”，用符号(F/P，i，n) 表示，其数值可查阅1元复利终值表。

【实例1-3】承【实例1-1】，若按照复利计息，该人3年后能连本带息取出多少钱呢?

解:F=10000×(1+3%)3=P×(F/P，3%，3) =10000×1,0927=10927(元)

可见，由于前期利息参与后期利息计算，复利计息方式下储户得到的本利和更多。

2,复利现值的计算公式

P=F/(1+i)n=F×(1+i)-n=F×(P/F，i，n)

(1+i)-n称为“复利现值系数”或“1元复利现值系数”，用符号(P/F，i，n) 表示，其数值可查阅1元复利现值表。

【实例1-4】承【实例1-2】，若按照复利计息，该人现在要存入多少本金，3年后可取出10900元?

解:P=10900×(1+3%)-3

=10900×(P/F，3%，3) =10900×0,9151=9974,59(元)

【讨论时间】

1．你认为复利终值系数和复利现值系数之间是什么关系?

2．渤海公司拟购买一台生产机器，厂家给出两套付款方案可供选择:方案一，现在一次性付清全部货款20万元;方案二，现在先付10万元，2年后再付剩余的12万元。若目前银行贷款利率是10%，你打算如何帮他们进行选择呢?

温馨提示:可从终值或现值的角度进行比较。

三、年金终值和年金现值的计算

【知识点导入】如今分期付款的支付方式在我们日常生活中已经很常见了，如果你买了一台电脑，选择在未来六个月每月末支付1000元，假设银行年贷款利率为12%，你知道这相当于你现在一次性付了多少钱，又相当于你六个月后一次性付多少钱吗?

像分期付款、零存整取、整存零取、分期支付保险金等形式均属于年金的形式。年金是指一定时期内，每隔相同的时间，收入或支出相同金额的系列款项。连续性、等额性、间隔时间相等是年金需要具备的基本条件。年金通常用符号A表示。

年金按其收付发生的时间点不同，可分为普通年金、即付年金、递延年金、永续年金等几种形式，不同形式的年金，用不同的计算方法。

(一)普通年金

普通年金又称为后付年金，是指在每期的期末，间隔相同的时间，收入或支出相等金额的系列款项。

1,普通年金终值的计算

【实例1-5】某人每年年末存入银行10000元，连续存3年，假设银行年存款利率为5%，则3年后可取出的本利和为多少?

解:我们看到该例中的这种支付形式符合年金的特点:“连续存3年”——连续性，“每年存10000元”——等额性，“每年年末存”——间隔时间相等。由于是在每年年末存入，所以是普通年金。那3年后的本利和是多少呢?

如下图，每年年末存10000元，存3年，3年后的本利和就是这3个10000元各自的复利终值之和。

即F=10000+10000(1+5%) +10000(1+5%)2=31525(元)。

上例求普通年金的本利和即是求普通年金终值。普通年金终值是指一定时期内每期期末收付等额款项的复利终值之和。计算方法如图1-1所示。

图1-1 普通年金终值计算示意图

普通年金终值的计算公式为:

F=A(1+i)0+A(1+i)1+A(1+i)2+……+A(1+i)n-2+A(1+i)n-1①

将①式两边同时乘以(1+i)得:

F(1+i) =A(1+i)1+A(1+i)2+A(1+i)3+……+A(1+i)n-1+A(1+i)n②

将②式减①式得:

F·i= A(1+i)n-A

F=A×(F/A，i，n)

由此可知，【实例1-5】中，F=10000×(F/A，5%，3) =10000×3,1525=31525(元)。

【实例1-6】渤海公司五年后须偿还债务本息共计30万元，为能按时偿债，该公司从今年起每年年末等额存入银行一笔钱，连续存五年，假设银行年存款利率为7%，试计算该公司每年要等额存入多少钱，五年后刚好偿债?

解:由上图可见，本例中的30万为普通年金终值，每年须等额存入的款项为年金，本实例是已知普通年金终值，求年金。这种为了在未来时点清偿一定数额的债务或积蓄一定数额的资金而须分次等额形成的存款准备金称为偿债基金。偿债基金的计算是普通年金终值的逆运算。即A=F×i/［(1+i)n-1］=F×(A/F，i，n) =F×1/(F/A，i，n)，i/［(1+i)n-1］称为“偿债基金系数”，记为(A/F，i，n)，是普通年金终值系数的倒数，其值可通过查阅“偿债基金系数表”得到，也可通过查“1元普通年金终值系数表”求倒数获得。由此本实例计算过程为:

A=30÷(F/A，7%，5) =30÷5,7507=5,2168(万元)

2,普通年金现值的计算

【实例1-7】某人于今年年初一次性存入银行一笔钱，打算在今后三年每年年末从银行取出10000元，作为孩子的教育经费，假设银行年存款利率为5%，则应一次性存入多少钱?

解:从上图可以看到，该实例同样是关于普通年金的一个例子，和【实例1-5】的不同在于这个实例是已知年金，求普通年金现值。普通年金现值是指一定时期内每期期末收付款项的复利现值之和。

所以本例

P=10000×(1+5%)-1+10000(1+5%)-2+10000(1+5%)-3=27232(元)

n期的普通年金现值的计算方法如图1-2所示。

图1-2 普通年金现值计算示意图

普通年金现值的计算公式为:

P=A(1+i)-1+A(1+i)-2+……+A(1+i)-(n-2)+A(1+i)-(n-1)+A(1+i)-n①

将①式两边同时乘以(1+i)得:

P(1+i)=A+A(1+i)-1+……+A(1+i)-(n-3)+A(1+i)-(n-2)+A(1+i)-(n-1)②

将②式减①式得:

P·i= A -A(1+i)-n

P=A×(P/A，i，n)

由此，【实例1-7】中，P=10000×(P/A，5%，3) =10000×2,7232=27232(元)。

【实例1-8】渤海公司于年初一次性投入50万于一个新项目，该项目生产经营期为5年，假设公司资本成本为10%(即公司选择的折现率)，则该项目今后5年每年末至少要等额收回多少钱才能保本?

解:

由上图可见，本实例中的50万为普通年金现值，每年至少等额收回的投资为年金，本实例是已知普通年金现值，求年金。这种在给定的期限内等额回收初始投入资本或清偿所欠债务的款项称为年投资回收额。年投资回收额的计算是普通年金现值的逆运算。即A=P×i/［1-(1+i)-n］=F×(A/P，i，n) =F×1/(P/A，i，n)，i/［1-(1+i)-n］称为“年投资回收系数”，记为(A/P，i，n)，是普通年金现值系数的倒数，其值可通过查阅“年投资回收系数表”得到，也可通过查“1元普通年金现值系数表”求倒数获得。由此本实例计算过程为:

A=50÷(P/A，10%，5) =50÷3,7908=13,1898(万元)

(二)即付年金

即付年金是指每期收入或支出相等金额的款项是发生在每期的期初，也称先付年金或预付年金。其和普通年金的不同之处在于收付款项的时点不同。对于即付年金终值和现值的计算同样要用到相应的系数表，习惯上是在普通年金终值系数或普通年金现值系数的基础上推算即付年金终值系数和即付年金现值系数。

1,即付年金终值的计算

n期即付年金终值和n期普通年金终值的关系如图1-3所示。

图1-3 即付年金终值与普通年金终值的关系

方法一:n期即付年金与n期普通年金比较，两者付款期数相同，从图1-3可明显看出n期即付年金终值的计算比n期普通年金终值的计算要多算一个计息期，因此n期即付年金终值的计算只需在n期普通年金终值的基础上再乘以一个(1+i)即可。

n期即付年金终值的计算公式为:F=A×(F/A，i，n) ×(1+i)。

方法二:如果在n期即付年金的第n期末补一个A就相当于(n+1)期普通年金终值的计算，在(n+1)期普通年金终值的基础上再减去补的第n期末的A，就是n期即付年金终值。计算公式为:F=A×(F/A，i，n+1) -A=A×［(F/A，i，n+1) -1］。

换句话说，n期即付年金终值系数是(n+1)期普通年金终值系数减1。

2,即付年金现值的计算

n期即付年金现值和n期普通年金现值的关系如图1-4所示。

图1-4 即付年金现值和普通年金现值的关系

方法一:n期即付年金与n期普通年金比较，两者付款期数相同，从图1-4可明显看出n期即付年金现值的计算比n期普通年金现值的计算要少贴现一期，因此n期即付年金现值的计算只需在n期普通年金现值的基础上再乘以一个(1+i)即可。

n期即付年金现值的计算公式为:P=A×(P/A，i，n) ×(1+i)。

方法二:如果忽略掉n期即付年金第0期的A就相当于(n-1)期普通年金现值的计算，在(n-1)期普通年金现值的基础上再加上忽略掉的第0期的A，就是n期即付年金现值。计算公式为:P=A×(P/A，i，n-1) +A=A×［(P/A，i，n-1) +1］。

换句话说，n期即付年金现值系数是(n-1)期普通年金现值系数加1。

【讨论时间】渤海公司欲购买一台设备，供应商给出两种方案:方案一是现在一次性付款50万元，方案二是从现在起每年年初付款12万元，连续支付5年，若目前银行贷款利率为10%，渤海公司在资金允许的前提下应选择哪种支付形式?

(三)递延年金

递延年金是指第一次收付款发生时间在第二期期末或以后期期末的年金。它是普通年金的特殊形式。递延年金可用图1-5表示。

图1-5 递延年金

如图所示，递延年金的期数用(m+n)期表示，其中m表示递延的期数，n表示连续收付的期数，即相当于普通年金的期数。

1,递延年金终值

从图1-5中不难看出，m+n期递延年金终值的计算相当于n期普通年金的计算，与递延期数无关，即F=A×(F/A，i，n)。

2,递延年金现值

【实例1-9】渤海公司于年初上马一个新的生产线，该生产线建设期为3年，3年后进入生产经营期，预计每年末可获得收益10万元，生产经营期为5年，试计算该生产线可带来收益的现值是多少(假设该公司的折现率为10%)?

解:方法一，分段法。将递延年金看成是n期普通年金，先求出n期普通年金的现值，再将现值折现到第一期期初。

P =A×(P/A，i，n) ×(P/F，i，m)

=10×(P/A，10%，5) ×(P/F，10%，3)

=10×3,7908×0,7513=28,48(万元)

方法二，补缺法。假设递延期也进行了收付，先计算出(m+n)期普通年金现值，然后扣除实际并未支付的m期普通年金现值，即可求出(m+n)期递延年金现值。

P = A×［(P/A，i，m+n) -(P/A，i，m)］

=10×［(P/A，10%，8) -(P/A，10%，3)］

=10×(5,3349-2,4869) =28,48(万元)

(四)永续年金

永续年金是指无限期定额支付的年金，如优先股股利。永续年金可视为普通年金的特殊形式，即期限趋于无穷的普通年金。

永续年金没有期限，因而没有终值。

永续年金的现值可通过普通年金现值公式推导:

当n→∞时，(1+i)-n→0。则永续年金现值P=A/i。

【实例1-10】渤海公司为了捐资助学，准备设立奖学金，每年末颁发50000元，假设利率为10%，现在应当存入多少款项?

解:该实例属于永续年金的现值问题，套用前述公式，可得:P=50000/10% =5000000 (元)。

四、名义利率与实际利率

【知识点导入】在前面的实例中给出的利率均为年利率，计息期一般也都是按年计算的，然而在实际工作中计息期不一定是按年算，有一个月、一个季度、半年计息等多种情况，遇到这样的问题，该如何解决呢?

名义利率是指利息在一年内要复利几次时给出的年利率，用r表示。实际利率是指根据名义利率计算出的每年复利一次的年利率，用i表示。

名义利率同实际利率的关系为:，其中m表示每年复利的次数。

【实例1-11】渤海公司于年初平价购买面值为100万元的债券，该债券年利率为10%，每半年计息一次，3年后到期时还本付息，试问3年后渤海公司能收到的本利和是多少?

解:在此实例中10%为名义利率，那么实际利率是多少呢?

i=(1+10%/2)2-1=10,25%

3年后的本利和F=100×(1+10%/2)2×3=100×(1+10,25%)3=134(万元)。

现在请回答任务二【导入案例】提出的问题。