有限责任模型

对于一个线性的租佃契约s=(α，R)，佃农的最优规划可以表示为max(αY－R，0)，地主的最优规划则为min{(1－α)Y+ R，Y}，其中，Y为产出［3］。

假设3．2A＜r*

T＜B。

同样，r*

T仍然表示佃农恰好获得保留效用u－时传统生产模式下所支付的租金。A＜r*T表示在现代方式下生产的有限责任约束，A＜r*T是个非常强的约束条件，如果没有这个约束条件，就如同无限责任的情形，那么结论3．1总是适用的［4］。

(一)无道德风险时的有限责任

无道德风险时的有限责任强调的是当努力程度是外生时的情形，即e=e－。此时，传统生产方式的剩余可以表示为ST(e－)，现代生产方式的剩余则表示为SM(λ，e－)。假定存在一个λ0满足ST(e－)=SM(λ0，e－)［5］。

假设λ＜λ0，显而易见，如果给定一个工资契约w=u－，佃农会选择传统的生产方式，并且地主的回报会最大化，即ST(e－)－u－。

假设有YT(e－)=p(e－)［C－B］+B，α*满足α*YT－υ(e－) =u－。一旦ST(e－)＞u－，有0＜α*＜1，如果地主提供一份α*的分成制契约，佃农将会选择传统的生产方式以获得保留效用u－。如果佃农选择现代生产方式进行生产，他的回报为α*YM(λ，e－)－υ(e－)－f，然而YM=λq(e－)［C－A］+A，由于λ＜λ0，我们得出YM(λ，e－)－f＜YT(e－)。这样，佃农从现代生产方式中获得的回报将小于α*YT(e－)－υ(e－)－f(1－α*)，而α*YT(e－)－υ(e－)= u－并且f≥0。这样当λ＜λ0，佃农在现代生产模式下的回报小于其保留效用u－。

现在我们来看λ＞λ0的情况，假定给定一个固定比租佃契约，r*要满足

既然SM(λ，e)＞ST(e－)＞u－，我们总是可以找到一个r*。同样我们可以得出YM≥SM(λ，e－)－r*。对于给定的r*，佃农从传统生产方式中获得的回报小于其保留效用u－。正如我们前面所言=－，并且≥ST()，因此，r*≤，＜B，有r*＜B，那么在r*下，佃农从传统生产方式中获得的回报为ST()－r*，λ＞λ0时，

对于给定的r*，佃农会选择现代的生产方式并获得其保留效用。对于地主而言，显而易见可以获得最大报酬。如果f＞0，由于在工资契约下，佃农总是会选择成本较低的生产方式，因此，传统的生产方式是最优的。

现在，我们可以对以上的分析做个总结，如果给定一份分成制契约α，并且这份契约是最优的，那么，在第一种情况下，即λ＜λ0时，佃农会选择传统的生产方式;第二种情况下，即λ＞λ0，佃农会选择现代生产方式以获得保留效用。不管是第一种情况还是第二种情况，α都必须满足α=，这里YM= λq()［C－A］+A，然而一旦，佃农将严格偏好传统的生产方式。

结论3．2一旦ST()＞，在假设3．2下，我们有

(1)如果λ＜λ0，对于地主来说，最优选择可以是分成制契约也可以是工资契约，佃农将选择传统的生产方式，而固定比契约不是最优的。

(2)如果λ＞λ0，对于地主而言，最优契约是固定比契约并且佃农选择现代的生产方式。如果f＞0，一份工资契约总是次优的，但分成制契约不是最优的。

(二)有道德风险时的有限责任

在存在道德风险的情况下，努力程度不再外生，而是一个内生变量，也即是佃农可以选择努力程度。给定一份租佃契约s= (α，R)，如果佃农选择传统的生产方式进行生产，他的回报为

如果佃农选择现代的生产方式进行生产，他的回报为

同理，假设e(λ，s)为最大化VM(e;λ，s)时的努力程度，最大化VM(e;λ，s)我们表示为V*M(λ，s)。

对于以上两种生产方式，佃农会选择其回报最大化的那个，当然这种回报不能低于其保留效用u－。

对于这份租佃契约s=(α，R)，如果V*T(s)＞V*M(λ，s)，地主在佃农选择传统生产方式下进行生产的回报可以表示为

同样，如果V*T＜V*M(λ，s)，当佃农选择现代的生产模式进行生产时，地主的回报可以表示为正如我们前面所分析的，V*M(λ，s)是随着λ的增加而增加，而V*T(s)与λ无关，那么给定λ2，并且λ2＞λ1，λ2所对应的契约为s2，如果佃农选择传统的生产方式会出现什么情况?

对于λ2，在给定契约s1下，佃农会选择现代的生产方式，此时有

同理，对于λ1，在给定契约s2下，佃农会选择传统的生产方式，此时有

根据前提条件，V*M(λ，s)是随着λ的增加而增加，(3．9)式和(3．10)式是不能共存的，因此，我们得出命题3．1。

命题3．1假设存在λ=λ1，s1为最优契约，在s1下，佃农选择现代的生产方式，那么对于所有的λ＞λ1，最优土地租佃契约必然是佃农选择现代的生产方式。

如果λ趋近于0，那么采用现代生产模式进行生产所获得的总剩余趋近于A－f。这样，给定一份租金为r*T，佃农会选择传统的生产方式，此外，地主将获得全部的剩余S*T－u－。由此我们看出，在λ值较低的情况下，佃农倾向选择传统的生产方式。

结论3．3如果存在一个λ0＞0，当且仅当λ＜λ0时，在最优租佃契约下，佃农总是会选择传统的生产方式。

从结论3．3中，我们可以清晰地看出，对于较小值的λ，地主的最优选择是提供一个租金为r*T的固定比契约。在这种契约安排下，佃农从传统生产方式中所获得的回报为其保留效用u－，而一旦他选择现代的生产方式，并且选择最佳的努力程度e*(λ)，那么在固定比契约下，佃农的回报为

假定存在一个λ*，满足S*M(λ*)=S*T，因此有

同样，根据(3．2)式，我们可以得到

根据假设3．2，r*T＞A，(3．11)式大于(3．13)式。因此，在一份固定比契约r*T下，对于给定的λ*，佃农选择现代生产方式获得的回报将比在传统生产方式下获得的回报要高，如果存在λ1＜λ*，对于所有的λ＞λ1，佃农从现代生产方式获得的回报将比在传统生产方式下获得的回报要高。由此，我们可以得出命题3．2。

命题3．2对于一个租金为r*

T的固定比土地租佃契约，如果存在λ1＜λ*，当且仅当λ＞λ1时，佃农选择在现代生产方式下进行生产。

给定一份固定比租佃契约r，满足A≤r≤r*

T，如果佃农选择现代生产方式，他的回报可以表示为

那么，K1最大化下的努力程度e满足

如果佃农选择传统的生产模式，其回报为K2=S*T－r。

这里，我们给定Z为:Z=K1－K2。通过包络定理，我们有

根据命题3．2，当λ=λ1，r=r*T时，Z=0。这样，就存在一个r'=r*T－ε，对于任何λ＞λ1来说，在一个闭的领域中，现代生产方式下的回报是高于传统生产方式的。这样，如果λ接近于λ1，地主总是趋向提供一份固定比契约使得佃农选择传统的生产模式，而此时地主的回报接近于r*T。通过命题3．2我们知道，如果在这种情况下，租佃契约s使得佃农在现代生产模式下生产，地主的回报一定是低于r*T的(λ1＜λ*)。由此，我们可以得出命题3．3。

命题3．3如果λ0由结论3．3给定，λ1由命题3．2给定，那么λ0＞λ1。

考虑到λ∈(λ1，λ0)，而在最优租佃契约s(λ)=(α，R)下佃农选择传统的生产方式，我们来观察一下R的取值就能够判别此租佃契约是何种类型的租佃契约。给定一份固定比契约r*，如果r*＜r*T，地主会提供租金为r*T的契约以使得佃农只获得保留效用u－。此外，r*＞A，否则，根据假设3．2，最优契约仍是r*

T 。下面我们来看一下，s(λ)=(α=1，R=r*)是否为地主最优规划的解。地主的最优规划可以表示为

其中，e1满足αp'(e1)(C－B)－υ'(e1)=0;e2满足λq'(e2)(α C－R)－υ'(e2)=0。βi(i=a，b，c)为非负定的拉格朗日乘数，根据拉格朗日方程，我们得出

其中，YT=［p(e1)(C－B)+B］。

根据假设，最优解为α=1，R=r*＜r*

T，那么当βa=0时，佃农的回报应该是大于其保留效用的。令k=λq(e2)＜1，根据(3．21)式，可得βb=。如果α=1，根据(3．22)式，YT(βb－1)－kβbC－βb［υ(e1)+r*］－βC=0。因为，βb，βc≥0，βb= ，≥C ，这意味着YT=p(e1)(C－B)+B≥ C，而C＞B，p(e1)≤1，以上结论是不可能成立的。因此我们得出结论3．4。

结论3．4对于给定的λ∈(λ1，λ0)，当S=(α，R)为最优契约时，满足α＜1。

如果在分成制契约s=(α，R)(0＜α＜1)条件下，对于给定的λ，如果让佃农选择在现代生产方式下进行生产，有两种情况必须考虑:

第一，αA≤R。在这种情况下，地主的期望收入可以表示为

其中，e1满足λq'(e1)(αC－R)－υ'(e1)=0。

如果这份契约是固定比契约且租金为r'=(1－α)C+R，显然，r'＞A。这样，如果佃农选择在现代的方式下进行生产，他所做的努力程度和收入与分成制相比是一样的，同理，地主的收入与分成制相比也是一样的。然而，如果佃农选择在传统的生产方式下进行生产，由于假设3．2(r'≤r*T≤B)，地主的收入在这种情况下将会提高。

第二，αA＞R。选择α＞α'，R'＞R，此时，佃农在现代模式下生产所获得的剩余与第一种情况一样，但是如果取α'，地主的回报将会变高，佃农的努力程度也会提高。但是，如果佃农选择在传统模式下进行生产，佃农的期望回报会增加，地主的回报也将增加。

至此，我们可以得出命题3．4。

命题3．4假设λ＞λ0，那么固定比契约将是最优契约。

现在，我们可以把以上所有分析归纳如下。

如果存在λ1和λ0，且λ1＜λ0≤λ－，在假设3．1和假设3．2下:

(a)如果λ＜λ1，地主将提供一份固定比契约r*

T，佃农将选择传统的生产方式生产，对于任何λ1＞0来说，此集是非空集合。

(b)如果λ∈(λ1，λ0］，地主将提供一份分成制契约s=(α，R)，且0＜α＜1，佃农将选择传统的生产方式，对于任何λ1＞0来说，此集是非空集合。

(c)如果λ＞λ0，地主将提供一份固定比契约r*

T，佃农将选择现代的生产方式进行生产，对于任何λ1＞0来说，此集可能是非空集合，也可能是空集。