租佃阶梯［］

一旦佃农的初始财富被考虑，那么佃农的保留效用u－将与其初始财富w相关，且满足＞0。让我们回到一元生产方式的情况。此时，产出只有高(H)和低(L)两种情况。假设佃农的努力程度e∈［0，1］，那么产出为H和L的概率分别为e和(1－e)。同样，υ(e)表示佃农的负效用函数，υ'(e)＞0，υ″(e)＞0。地主提供的租佃契约为(h，l)，它表示当H实现时支付h，当L实现时支付l。有限责任意味着h+w≥0，l+w≥0，由于h≥l，只有l+w≥0起约束作用。给定υ(e)为凸性，存在一个唯一的e值最大化地主和佃农的共同报酬eH+(1－e)L－υ(e)，假定e的最优值为e*，满足υ'(e*)=H－L。

现在引进有限责任约束l+w≥0。当l(e*)+w≥0，地主可以通过事先给定的契约促使佃农的努力程度为e;而一旦l(e*) +w≤0时，地主将重新拟定契约。那么，在新契约中，对于所有的e≥e0(其中e0由l(e0)=－w定义)，我们有l＊＊(e)=－w，h＊＊(e)=υ'(e)－w，C＊＊(e)=eυ'(e)－w，C表示促使佃农努力程度e的成本。对于所有e≤e0，有限责任不再有约束力。图3-1表示佃农在H－L＜υ'(e0)下地主的边际成本曲线。

对于给定的C＊＊(e)，地主的最优规划可以表示为

一阶条件满足

在图3-1中我们看到，e＊＊=e*，意味着有限责任下的最优努力程度e＊＊与最大化地主和佃农的共同报酬时的努力程度e*是相容的。

图3-1　H－L＜υ'(e0)时的情况

图3-2表示υ'(e0)≤H－L≤υ'(e0)+e0υ″(e0)时的情况，在这种情况下，地主选择e＊＊=e0。

图3-2　υ'(e0)≤H－L≤υ'(e0)+e0υ″(e0)时的情况

我们再来观察图3-3，此时，H－L＞υ'(e0)+e0υ″(e0)，那么，地主将会促使佃农选择e＊＊以满足

图3-3　H－L＞υ'(e0)+e0υ″(e0)时的情况

我们可以看到，在图3-2和图3-3所描述的情形中，存在有限责任时佃农所做的努力程度e＊＊要低于最大化共同剩余时所做的努力程度e*，这表明在这种契约条件下，租佃的配置是低效率的。对于这一点，一个直观的经济学解释是:当有限责任存在时，地主偏好一个当收成好时佃农支付比收成不好时支付更多的契约，此时，佃农获得的产出低于其边际产出，因而降低了取得高产出时的激励，努力水平也将低于最优水平。

根据有限责任的最优规划，我们可以看出，存在两个临界点: υ'(e0(w))和υ'(e0(w))+e0(w)υ″(e0(w))。由于e0是w的增函数，υ'(e0(w))和υ'(e0(w))+e0(w)υ″(e0(w))也随w的上升而上升。我们可以定义两个临界的w值。

那么，图3-1、图3-2和图3-3所表示的三种情况可以归纳为图3-4。

图3-4　佃农财富与努力程度

图3-1表示的H－L＜υ'(e0)对应于w＞w1，其中，e＊＊=e*;图3-2表示的υ'(e0)≤H－L≤υ'(e0)+e0υ″(e0)对应于w∈［w 1，w2］，其中e＊＊=e0;图3-3表示的H－L＞υ'(e0)+e0υ″(e0)对应于w＜w2，其中e＊＊=e0(w2)。图3-5总结了上述结果，表明佃农的财富水平与租佃的配置效率之间的关系。

图3-5　佃农财富与租佃配置效率

当佃农的初始财富为w时，地主的回报可以表示为

如果e＊＊(w)=e＊＊，即w＞w1，有

当w∈［w2，w1］时，有

当w＜w2时，有

我们可以得出如下结论:

(1)w＞w1，π不随w变化;

(2)w∈［w2，w1］，π'(w)＞0;

(3)w＜w2，π'(w)＞0。

结论(2)和(3)实际上就是所谓的“租佃阶梯”，即地主偏好富有的佃农。关于“租佃阶梯”理论意味着:当佃农逐渐变富时，有限责任的约束会越来越小，地主又可以回到固定比租佃契约。