复杂数据评价方法

6.3.4　复杂数据评价方法

使用复杂数据评价时，可以采用因子分析法和模糊综合评价法。

一、 因子分析法

因子分析的基本思想是通过变量的相关系数矩阵或方差矩阵内部结构的研究，找出能控制所有变量的少数几个随机变量去描述多个变量之间的相关关系。然后根据相关性大小把变量分组，使得同组内的变量之间相关性较高，不同组的变量之间相关性较低，每组变量代表一个基本结构，这个基本结构称为公共因子或主因子。在经济统计中，从一些有错综复杂关系的经济现象中找出少数几个主因子，这些主因子就可以帮助我们对复杂的经济问题进行分析和解释。

（1） 因子分析数学模型。因子分析数学模型中的公共因子是不可直接观测但又客观存在的共同影响因素，每一个变量都可以表示成公共因子的线性函数与特殊因子之和，即

X_i＝a_i1F₁＋a_i2F₂＋…＋a_imF_m＋ε_i， （i＝1， 2， …， p）　（6-14）

F₁， F₂，…， F_m，称为公共因子，ε_i称为X_i的特殊因子。该模型可用矩阵表示为X＝AF＋ε。

这里

且满足：

① m≤p；

② Cov（F， ε）＝0，即公共因子与特殊因子是不相关的；

③ ，即各个公共因子不相关且方差为1；

④ ，即各个特殊因子不相关，方差不要求相等。

模型中的矩阵A称为因子载荷矩阵，a_ij称为因子“载荷”，是第i个变量在第j个因子上的负荷。如果把变量X_i看成m维空间中的一点，则a_ij表示它在坐标轴F_j上的投影。

要更好地理解因子分析方法，就必须理解载荷矩阵A的统计意义以及变量共同度及公因子方差贡献这几个概念。

① 因子载荷矩阵的统计意义

根据因子模型：

X_i＝a_i1F₁＋a_i2F₂＋…＋a_imF_m＋ε_i（i＝1， 2， …， p）　（6-15）

可以得到X_i与Y_j的协方差：

如果对X_i做了标准化处理，X_i的标准差为1，且F_j的标准差为1，因此：

对于标准化的X_i， a_ij是X_i与F_j的相关系数，它一方面表示X_i与F_j的依赖程度，绝对值越大，密切程度越高；另一方面也反映了变量X_i对公共因子F_j的相对重要性。

② 变量共同度

设因子载荷矩阵为A，则第i行元素的平方和：

为变量共同度。

有因子模型：

　　D（X_i）＝a²_i1D（F₁）＋a²_i2D（F₂）＋…＋a²_imD（F_m）＋D（ε_i）

　＝a²_i1＋a²_i2＋…＋a²_im＋Var（ε_i）＝h²_i＋σ²_i（6-19）

公式（6-19）说明，变量X_i的方差由两部分组成： 第一部分为共同度h²_i，它描述了全部公共因子对变量X_i的总方差所作的贡献，反映了变量X_i的方差中能够被全体因子解释的部分。第二部分为特殊因子ε_i对变量X_i的方差的贡献，也就是变量X_i的方差中没有被全体因子解释的部分。变量共同度越高，说明该因子分析模型的解释能力越高。

③ 因子的方差贡献

设因子载荷矩阵为A，则第j列元素的平方和

为因子F_j对X的贡献，g²_j表示同一因子F_j对各个变量所提供的方差贡献之总和，它是衡量每一个因子相对重要性的一个尺度。

（2） 因子分析步骤。进行因子分析应当包括如下步骤：

① 选取原始变量，进行描述性统计分析。

② 对原始变量进行标准化处理，并对其进行适用性检验。我们使用巴特利特球形检验和KMO检验。巴特利特球形检验是以相关系数矩阵为出发点，它的零假设为相关系数矩阵是一个单位矩阵，统计量是根据相关系数矩阵的行列式得到的，如果值比较大，则拒绝零假设，相关系数矩阵不可能是单位矩阵，说明原始变量之间存在相关性，适合做因子分析；KMO检验适用于比较简单相关和偏相关系数，KMO的统计量如果小于0.5，则说明不适合做因子分析。

计算公式如下：

其中： V²_ij是变量i和变量j之间的简单相关关系，P²_ij是它们之间的偏相关系数。

③ 求解初始公共因子及因子载荷矩阵。SPSS软件包中，提供了多种因子提取的方法，不同的提取方法的结果是有差异的，本文采用基于主成分模型的主成分分析法。

④ 因子变量的命名解释。通过对载荷矩阵的分析得到因子变量与原始变量的关系，对公因子进行命名解释。我们采用方差最大化正交旋转法。

⑤ 计算因子得分。据前述因子分析数学模型，原始变量可表示为因子变量的线性组合，而用因子变量代表原始变量更有利于描述研究对象的特征。因而往往需要反过来将因子变量表示为原始变量的线性组合，即

F_i＝β_j1X₁＋β_j2X₂＋…＋β_jpX_p（j＝1， 2， …， m）　　（6-22）

⑥ 计算综合得分。综合得分由每个因子变量的得分加权求和而得，其中权数为各提取的公因子方差贡献率占所有提取的公因子的累积方差贡献率的比例。

二、 模糊综合评价法

模糊方法是20世纪60年代美国科学家扎德教授创立的，是针对现实中大量的经济现象具有模糊性而设计的一种评判模型和方法，在应用实践中得到有关专家不断完善。该方法既有严格的定量刻画，也有对难以定量分析的模糊现象进行主观上的定性描述，把定性描述和定量分析紧密地结合起来，因而，可以说是一种比较适合企业绩效综合评价的评价方法，也是近年来发展较快的一种新方法。所谓模糊综合评判是指在模糊环境下考虑了多种因素的影响，为了某种目的对一事物作出综合决策的方法。其基本原理是应用模糊变换原理与最大隶属度原则，考虑被评价事物相关的各因素，对其所作的综合评价。

设有两个有限论域：

U＝{x₁， x₂， …， x_n}；

V＝{y₁， y₂， …， y_m}；

其中： U代表综合评判的多种因素组成的集合，称为因素集；V为多种决断构成的集合，称为评判集或评语集。一般而言，因素集中各因素对被评判事物的影响是不一致的，所以因素的权重分配是U上的一个模糊向量，记为：

A＝{a₁， a₂， …， a_n}∈F（U）；

B＝{b₁， b₂， …， b_m}∈F（V）；

其中，b_j表示j种评语在评判总体V中所占的地位。

如果有一个从U到V的模糊关系R＝（r_ij）_n×m，那么利用R就可以得到一个模糊变换T_R，因此，便有如下结构的模糊综合评判数学模型：

（1） 因素集U＝{x₁， x₂， …， x_n}；

（2） 评语集V＝{y₁， y₂， …， y_m}；

（3） 构造模糊变换：

T_R： F（U）→F（V），

A|→A·R.

其中，R为U到V的模糊关系矩阵，R＝（r_ij）_n×m。

这样，由（U， V， R）三元体构成了一个模糊综合评判数学模型，此时，若输入一个权重分配A＝{a₁， a₂， …， a_n}∈F（U），就可以得到一个综合评判B＝{b₁， b₂， …， b_n}∈F（V），也就是

其中b_j的计算有不同的算法。由于人们对事物的综合有不同的方式，有时只求单因素最优，也称主因素最优；有时突出主因素但也兼顾其他；有时只求总和最大等。这些情况要通过不同的算子来表现。

算法M（∧，∨）为主因素决定型，因为它的评判结果是由数值最大的决定，其余数值在一定范围内变化将不影响评判结果。

M（·，∨）和M（∧，⊕）称为主因素突出型，它们与M（∧，∨）接近，但均比M（∧，∨）精细一些，由它们得到的评判结果在一定程度上反映了非主要指标。M（·，⊕）称为加权平均型，它对所有因素依权重大小均衡兼顾，能体现出整体特性。

由于对产业国际竞争力评价的整体性要求，因此，本书采用的是M（·，⊕），即加权平均型。按照这一算法，b_j的计算为：

对于某一个已经确定的评价结果B，我们采用最大隶属度的原则来判定等级，即进行综合判定。规则如下：

设b_k＝max{b₁， b₂， …， b_m}，计算出和

如果且，则综合评价结果按b_k所属等级评定该对象的等级。

如果或，则综合评价结果按b_k0－1（或者b_k＋1）所属等级评定该对象的等级。

（4） 评价结果的确定。

① 确定单目标评价矩阵，并计算子目标的评判值。

对每一个因素集U_i分别做出综合评判。设V＝{y₁， y₂， …， y_m}为评语集，U_i中各因素相对于V的权重分配是：

A_i＝（a_i1， a_i2， …， a_i0ni）

若R_i为单因素评判矩阵，则得到一级评判向量：

B_i＝A_i·R_i＝（b_i1， b_i2， …， b_im）， i＝1， 2， …， s.

② 由子目标构成上一级的单因素矩阵，计算总目标的综合评判值

将每一个U_i看作一个因素，记作：

K＝{U₁， U₂， …， U_s}

这样K又是一个因素集，K的单因素评判矩阵为：

每个U_i作为U的一部分，反映了U的某种属性，同样可以利用AHP方法给出权重分配：

A＝（a₁， a₂， …， a_s）

于是得到二级评判向量：

B＝A·R＝（b₁， b₂， …， b_m）

如果每个子因素集U_i（i＝1， 2， …， s）含有较多的因素，可将U_i再进行划分，于是有三级评判模型，甚至四级、五级评判模型等。

计算结果为一个五维向量。可以根据最大隶属度原则确定目标的等级，也可以用转化矩阵转化成具体的分值，即给出一个转化矩阵C，则有

D＝B·C^T

D为评价对象的综合评价值，然后根据分值判定目标的等级。转化成分值可以与评价目标本身的历史值进行比较，有条件的话，也可以和其他企业的值进行比较分析。