国外经典模型回顾

一、Thunen模型

Von Thunen（1826）首先建立了区位与地租之间关系的理论模型，也是后来AMM等竞租模型的基础。该模型假定市场中存在一个市中心O，所有农产品都在此交易期间所有土地的地主都缺位，所有农民生产同样的农产品并具有同样的生产技术，并假定市场中所有地方的土地质量都是一样的，而且农民可自由进出农产品市场。

这时可以定义农民的利润函数：π（d）＝pq－iK－rS－td，其中，π是每单位农产品在市中心O的价格，d是到市中心O的距离，q是农产品的产量，i是资本投入K的价格，r是每单位土地的租金，S是租地面积，t是单位距离的运输成本。则每单位产量的利润为：π（d）＝p－ik－rs－td，π（d）、k、s分别代表单位产量的利润、资本投入和土地投入。由于农产品市场上存在完全竞争，最终导致每个农民的利润π（d）＝0，可以推出r＝p－td－ik／s。

此时的r是每个农民为获得单位面积土地所愿意支付的最高价格，对其求关于距离d的一阶偏导就是通常所说的土地租金梯度，越远离市中心，由于运输成本越高，因此农民所愿意支付的地价也就越低，两者之间存在一个相互替代关系。

图4.1中的AB、AD、CD三条向下倾斜的直线都代表土地租金梯度曲线，当农产品价格p上涨时，土地租金梯度曲线AB向外平行移动到CD，市场范围也由OB扩展到OD。如果资本价格r和运费t下降，则会使土地租金梯度曲线AB逆时针转动到AD，市场范围也会由OB扩展到OD。

图4.1　Von Thunen土地租金梯度曲线及其变动

如果土地能够生产两种不同种类的农产品，也就是说土地利用存在竞争的情况下，根据Ricardo（1821）假设^[1]，这个时候土地会分配给那些能够支付最大租金的农产品。假设生产农产品A的价格为pA，运输成本是tA，相应的农产品B的价格和运输成本分别为pB和tB。很自然当生产两种农产品所提供的租金相等时，市场出现了均衡解。令rA＝rB，此时可以求出两种不同农产品市场边界的临界点根据pA、pB、tA、tB的取值，可以分为以下四种情况：

图4.2　存在竞争情形时土地市场均衡

对于情形1，很容易证明当时，有rA＝rB，此时土地既可以让生产产品A也可以让生产产品B，两者是无差异的；当d＜d0时，有rA＞rB，此时土地只让生产产品A；当d＞d0时，有rA＜rB，此时土地只让生产产品B。

对于情形3，除了当时，生产两种产品仍然是无差异的，其余情况刚好相反，当d＜d0时，有rA＜rB，此时土地只让生产产品B；当d＞d0时，有rA＞rB，此时土地只让生产产品A。

对于情形2，恒有rA＞rB，此时土地只让生产产品A。而对于情形4，恒有rA＜rB，此时土地只让生产产品B。

上述都是只针对一维线性城市情形，如果扩展到二维平面，则很容易得到Hoover的城市土地利用的“同心圆”模式，即从市中心到市郊土地，按照竞租能力的强弱，依次被服务业、制造业、住宅和农业所利用。

Von Thunen模型虽然最开始是用来分析农产品市场上地租的确定，但是将其引申到房地产市场，可以看成是开发商向政府竞拍土地用来盖住房，这样p就对应着房价，从前面式子来看，地价r是由房价p内生决定的，而且房价上涨拉动了地价的上涨。同样有离市中心越远的地方地价越低，随着房价上涨，房地产开发不断向市郊扩张。建高档楼盘的大型房地产企业竞价能力最强，因而能够获得市中心最好地段的土地，这些都是符合现实情况的。

二、AMM模型

Alonso（1964）首先建立了具有城市经济学背景的土地区位模型，不同于Von Thunen模型的目标函数是企业的利润函数，而Alonso模型的目标函数是家庭的效用函数，家庭试图最大化效用函数V（z，q，u），其中u代表家庭到市中心的距离，q是土地数量，z是复合商品，同时假设则预算约束方程为y＝z＋r（u）q＋T（u），很容易得到此时的间接效用函数V＊［I（u），r（u），u］＝V［z（I（u），r（u））；q（I（u），r（u））；u］，其中I（u）＝y－T（u）。

由于Alonso模型比较复杂，后来很多学者对其进行了简化（Muth，1969；Mills，1967，1972；Wheaton，1974），经常使用的一种方法是从效用函数中略去了距离，而将全部的通勤成本表示为预算约束中的货币支出。此时，区位均衡条件和竞租梯度的斜率就简化为

对间接效用函数求全微分，并代入Roy恒等式，又知给定效用水平下土地的hicks需求函数是竞租函数收入偏导的导数，则有由于替代效应为负且竞争租金随距离增加而递减，土地消费是距离的增函数，即而住宅密度1／q（u）是随距离增加而递减的，在土地供给已知的情况下，可以求出人口梯度，即n（u）＝θu／q（u），0＜θ＜2π，是距离u上用于住宅的土地份额。

对竞租梯度的斜率继续对u求导该式第二项为正，的充分条件是如果运输成本是距离的线性或凹函数，竞租函数就是凸的。

对竞租梯度的斜率继续对y求导，则有：

其中，Ψ（u）＝Vu／Vz代表其他商品对闲暇的边际替代率，nΨy代表其他商品对闲暇边际替代率的收入弹性，nqy代表土地的收入弹性。由于土地和闲暇都是优质品，而且通常有的具体符号则取决于nΨ和nqy的相对大小，如图4.3所示。

图4.3　不同收入人群的城市居住分布图

这里收入对区位选择具有两种不同的影响：一方面，较高的收入提高了通勤成本，使家庭愿意选择离市中心较近的区位，对应于图4.3中的情形1，高收入家庭选择居住在离市中心较近的OE区间，曼谷、马尼拉等东南亚地区的城市就是这种情况。这些地区由于基础设施缺乏造成的严重交通堵塞限制了人民的远距离出行，交通的机会成本对于所有人都变得非常昂贵，尤以高收入人群为甚，于是他们大多在市中心购房。另一方面，高收入家庭又提高了对住房的需求，由于偏远地区房价较低，使其愿意在远离市中心的地方购房，对应于图4.3中的情形2，高收入家庭选择居住在离市中心较远的FD区间，北美的许多城市就是这种情况。这些地区的低收入人群在区位选择上被认为是受约束的，由于有限的收入使他们不能承担远路程所带来的高额通勤成本，因此，他们偏向于选择在市中心购房。

Muth（1969）和Mills（1967，1972）在Alonso模型的基础上进一步完善了住房市场模型。他们的模型里假设住房市场和土地市场都是完全竞争的，住房生产函数为q＝f（k，l），k和l分别为资本和土地，利润函数则是π（u）＝p（u）q－ik（u）－r（u）l（u），p、i、r分别代表住房价格、资本价格和土地价格，跟Alonso模型一样采用使各处利润为0的竞租梯度法进行求解。Henderson（1985）提出通过使单位成本函数最小化也可以得到同样结果，令c（u）代表单位成本，它必然等于竞争性均衡下使利润为0的价格。对单位成本函数c（u）求导，并根据Shephard原理，就得到了土地竞租梯度的表达式

三、存量－增量模型

Goldberg and Chinloy（1984）建立了一个土地存量和增量市场的联动模型。他们的模型假设同时存在着两个独立的土地市场，一个是现有建筑物的土地市场，即土地存量市场，另一个是从事房地产开发等新增建设用地市场，即土地增量市场。在土地存量市场上，土地供给是完全没有弹性的；而土地增量市场上土地供给具有一定弹性，因为随着地价上涨，会有更多的农地和其他用途的土地转化为建设用地。

如图4.4所示，De和Se分别代表存量土地市场的需求和供给曲线，其交点E决定了存量土地市场的均衡价格Pe。Dn和Sn分别代表增量土地市场的需求和供给曲线，其交点B决定了增量土地市场的均衡价格Pn。由于两个市场的土地不可以完全相互替代，因此Pe≠Pn。

图4.4　土地存量－增量模型

如果土地存量市场上的价格低于其均衡价格，那么就会导致土地存量市场上产生过度需求XD，这就要求土地增量市场上提供更多的土地来满足其需求，促使增量土地市场需求曲线Dn围绕着A点逆时针旋转到D1n，新的需求点在A的左侧C点，它等于初始的均衡额加过度需求XD1^[2]。显然这个时候增量市场上的均衡价格较之前的Pn有所下降，因而会增加存量市场对增量市场中土地的需求。反之土地存量市场上的价格高于其均衡价格，那么就会导致土地存量市场上产生过度供给XS，这就会降低土地增量市场上开发商的投资热情，促使增量土地市场需求曲线D1n围绕着A点顺时针旋转到Dn，新的需求点在C的右侧B点，它等于初始的均衡额减过度需求XS1。这个时候增量市场上的均衡价格较之前的Pn有所上升，因而会降低存量市场对增量市场中土地的需求，导致过度供给现象得到缓解。只有在A点上，存量市场上的过度需求和供给对增量市场才没有任何影响。

类似于托宾关于投资的q理论，如果现有土地存量市场的价格低于新增土地增量市场的价格，在其他条件都相同的情况下，就会减少新地段的房地产开发投资，从而抑制房价的上涨，最终使房价与地价之间保持着一种长期稳定的均衡关系。Goldberg and Chinloy（1984）建立的土地市场存量－流量模型被Dipasquale和Wheaton加入了资产市场和物业市场，形成了目前著名房地产市场四象限模型，该模型被刘琳和刘洪玉（2003）、周京奎（2006）、黄静和屠梅曾（2009）等国内很多学者用来作为分析房价与地价关系的理论基础。

在该模型中，有两个值得注意的地方：一方面，增量土地市场的需求曲线D1n比Dn更富有弹性，因为后者的需求不是由现有市场调节的，而只要新地段价格是由供给决定的，需求曲线D1n就更有可能是完全弹性的；另一方面，从长远来看，增量土地市场的供给和需求在B点将达到均衡，D1n和Dn两种不同需求的出现只是一个短期现象，可以通过存量市场需求曲线的变动得以消除。

综上所述，上述几个模型的共同特点是大都以城市经济学为背景，比如假设为单中心城市，而且重点研究了城市产业的布局模式，通过比较竞租曲线的梯度得出了从服务业、制造业、零售业再到农业的同心圆分布模式。在本书重点关注的房价与地价的关系问题上，基本都认为地价是由房价内生决定的，这些在前面两个竞价模型中表现得特别明显。但是这些模型也存在两个重大缺陷，一是在市场结构方面，都假设土地市场和住房市场都是新古典经济学的完全竞争市场；二是在土地交易模式方面，只是单方面地考虑了土地所有者的竞价需求，而没有从供给层面分析土地出让制度的影响。因此在目前高度垄断的房地产市场结构下，我国所特有的土地招拍挂的制度背景中，房价和地价之间的影响机理是否会发生变化，这是非常值得研究的。