混合策略纳什均衡

如果在每个给定信息下，只能选择一种特定策略，这个策略为纯策略。如果在每个给定信息下只以某种概率选择不同策略，称为混合策略。纯策略的收益可以用效用表示，混合策略的收益只能以预期效用表示。混合策略中的纳什均衡是指：均衡时，给定对方选择策略的概率，每个选手选择的含有概率的策略都是最优的。混合策略最形象的例子是“剪刀、石头、布”的游戏和猜硬币游戏。在这样一个游戏中，不存在纯策略均衡。对每个人来说，出“剪刀”“布”还是“石头”的策略应当是随机的，不能让对方知道自己的策略，甚至是策略的倾向性。一旦对方知道自己出某个策略的可能性增大，那么在游戏中输的可能性也就增大了。下面以猜硬币游戏来说明混合策略问题。

B和A玩硬币游戏，B提出：“让我们各自亮出硬币的一面，或正或反。如果我们都是正面，那么我给你3元，如果我们都是反面，我给你1元，剩下的情况你给我2元就可以了。”这个游戏公平吗？

我们可以根据上述条件构造如图8－5所示的支付矩阵，每一种游戏依据其规则的不同会存在两种纳什均衡，一种是纯策略纳什均衡，也就是说玩家都能够采取固定的策略（如一直出正面或者一直出反面），使得每人都赚得最多或亏得最少；另一种是混合策略纳什均衡，而在这个游戏中，便应该采用混合策略纳什均衡。

图8－5　硬币游戏

假设A出正面的概率是x，反面的概率是1－x。为了使利益最大化，应该在对手出正面或反面的时候我们的收益都相等，不然对手总是可以改变正反面出现的概率让我们的总收入减少，由此列出方程就是3x＋（－2）（1－x）＝（－2）x＋1（1－x）。

解方程得x＝3／8，也就是说平均每8次出示3次正面，5次反面是我们的最优策略。而将x＝3／8代入到收益表达式3x＋（－2）（1－x）中就可得到每次的期望收入，计算结果是－1／8元。

同样，设B出正面的概率是y，反面的概率是1－y，列方程－3y＋2（1－y）＝2y＋（－1）（1－y）。

解得y也等于3／8，而B每次的期望收益则是2（1－y）－3y＝1／8元。这告诉我们，在双方都采取最优策略的情况下，平均每次B赢1／8元。

其实只要B采取了（3／8，5／8）这个方案，不论A再采用什么方案，都是不能改变局面的。如果全部出正面，每次的期望收益是（3＋3＋3－2－2－2－2－2）／8＝－1／8元；如果全部出反面，每次的期望收益也是（－2－2－2＋1＋1＋1＋1＋1）／8＝－1／8元。而任何策略无非只是上面两种策略的线性组合，所以期望还是－1／8元。但是当A也采用最佳策略时，至少可以保证自己输得最少。否则，A肯定就会被B采用的策略针对，从而赔掉更多。