证券风险收益案例展示

第11章　套利定价理论

投资新闻11

FT

不劳而获，坐等钱财

套利是现代金融理论中最重要的概念之一。套利机会是不需要净现金支出的投资，并且没有赔钱的可能，反而有盈利的可能。一个经典的套利机会的例子是两种资产提供同样的收益，但以不同的价格出售。面对这种情况，从事套利的人将买较为便宜的资产，并卖掉较贵的资产，这样做可以迅速地积累现金（通过差额），并且不需要为将来投资，因为现金流动中的长期与短期将互相抵消。所以，投资者可以不劳而获。

需要预先投资但能保证在将来某一时间收到超出本金而获得利润的投资策略怎么样？这是一种套利机会吗？毕竟，投资者知道他们不会亏本。实际上，将一个预先投资与将来收益相比较就像拿苹果与橘子相比一样，我们在没有额外信息的情况下不能将其看做是套利机会。例如，假设无违约的政府债券按面值出卖，并在票据到期时支付固定息票。买这种债券需要前期投资但却能在票据到期时确保收到收益。这不是套利机会，因为投资者只是在借出钱以后得到应有的收益。

非套利交易原则与单一定律

在经济学中的完美市场，套利机会可以通过均衡机制来消除。假设套利机会确实存在：有一种证券被定价过高，而与其相关的资产可以产生同等的预期现金流动。那么，所有正在追求更多财富的理性的投资者将在这种证券中暂时占一席位，而在与其相关的资产中占长期的席位。这些投资者迅速盈利，并且不会担风险。但通过追随这种策略，理性的投资者将使价格高的资产在投标中降价，而与其相关的资产则提高价格。直到这两者价格交汇致使套利机会被撤销。所以我们可以仅仅通过市场均衡和追求更多的财富的投资者的存在而消除套利机会。正如经济学家所说，“世界上没有免费的午餐”。

没有套利就意味着单一价格定律：两种完美的替代品必须以同样的价格交易。我们只需要寻找完美替代品的投资组合来直接观察其价格而没有必要试图测量一种器械的真正价值。

单一价格定律的用途之一是有名的布莱克—斯科尔斯的选择定价公式，这个公式是由弗金尔·布莱克（Fischer Black）、罗勃特·默顿（Robert Merton）和迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes）推导出来的。它构成现代选择价格理论的基础，面临为金融买卖特权定价的任务。这项任务是拥有复杂现金流动结构的金融器械，通过辨认作为买卖特权的完美替代品的特定的证券与债券组合来解决问题。因为我们知道证券与债券的价格，所以可以很容易地计算出买卖特权的价格。另外一个来自费兰科·莫迪连尼（Franco Modigliani）与默顿·米勒（Merton Miller）的学术著作，他们运用套利原则建立自己的资本结构不相关设想：在完美的资本市场，仅改变公司的资产结构而不会改变公司的价值。

风险套利

如上所述，在完美的资本市场，消除套利机会要求的条件是只有一个投资者追求更多的财富。然而，最近金融经济学家已经开始研究一种不同的概念——风险套利。在绝大多数的金融市场，正如学术人安德烈·什莱弗（Andrei Shleifer）和罗伯特·维尼（Robert Vishny）指出的一样，如果资产定价不合理致使不能按照基本价值进行交易，那么就不会产生纯粹的套利，而是风险套利。

假设一位套利者知道一个特定的资产被定价太高，要利用这个机会，该套利者必须同时售出该资产，买进“准确定价”的完美替代品——更专业地说，该完美替代品是以其基本价值出售的。这个完美替代品必须是能在将来带来完全一样的现金流动的资产或（复制的）组合，以便该套利者能够不亏本。

但是，实际上，这种替代品是很难寻到的，由要模仿的资产决定。例如，寻找美国三个月期限的国库券的替代品要比为Amazon公司的股票寻找替代品来得简单。

当完美替代品不存在时，套利者必须面对与长短席位都有关的特殊风险。这些席位再也不会刚好互相抵消了。套利的概念依赖价格汇聚的理念：贵的资产的价格将最终汇聚到基本价格。基本价格由复制组合决定。当这种情况出现时，套利者就会盈利。如果那个复制组合不是完美替代品。那么，投资策略就不是纯粹的套利机会。这两种价格可能不会汇聚，或者在汇聚之前价格会出现更大偏差而使投资者亏本。

即便有可能找到完美替代品，套利的机会在某些市场可能还是有限的，因为买空卖空是受限制的。即便没有那种限制，短期席位对投资者来说风险更大，因为短期席位承担零头要求，使得他们被迫放下附带的支出。这些支出从市场到市场，这就意味着投资者每天必须填补亏损。如果价格沟扩大，他们将被要求增加零头储蓄。

结果是套利者可能需要资金来为策略投资，否则将被迫清算他们的席位，并亏本。因此，这就是风险套利的例子。投资者不能保证百分百盈利，并且需要大量资本投入以期望价格汇聚最终出现。

技术泡沫

想象一下：1999年4月一位投资者相信纳斯达克被定价过高。纳斯达克100指数的跟踪股票（因其订单符号QQQ而被称为“Qs”）在1999年7月攀升到60美元。投资者决定以买空卖空方式出卖。问题即刻因此而起：纳斯达克的完美替代品是什么？这个席位该怎样保住？一种方式是在美国财政票据中占一席位。如果与政府债券有关的股票被定价过高，或技术股票与其他股票相比被定价过高，投资者应在有价基金中占一席位。有价基金是主要投资在“旧经济股票”的相互基金。

这两种方法都可以带来一些特殊的风险。如果到2001年4月，投资者还将保持其席位，那么他们就可以收到很大收益，因为跟踪股票以35美元左右交易。然而，在这个转变之前，纳斯达克100指数大幅上涨，到2000年3月止达到最高的120美元。在这一点，投资者要面临很多的增收保证金，并将可能被迫清算他的席位，并且遭受更大的亏本。

资料来源：戈梅斯·弗朗西斯科：《不劳而获，坐等钱财》，《金融时报》2001年6月11日。

学习目标

在完成本章的学习后，你应能够：

1．解释因素风险模型和它们使均值—方差分析的计算简单化的原因。

2．解释套利定价理论（APT），其设想和由它引起的线性均衡关系。

3．比较和对照资本资产定价模型（CAPM）和套利定价理论（APT）。

4．总结套利定价理论实地研究的结果。

在第10章，我们讨论了资本资产定价模型的优缺点，在本章，我们将研究另外一种基本的资产定价模式——由罗斯（Ross）于1976年发展的套利定价理论（APT），脱离均值—方差有效组合，罗斯推导出预期收益率的关系，这种关系排除了在运转良好的资本市场中任何投资者的无风险利润。套利定价理论的两个重要的概念是套利（Abitrage）和因素风险模型（Factor Risk Models）。

在投资新闻11中，伦敦商业学校的金融学助教戈梅斯·弗朗西斯科解释了套利概念。从基本上说，套利是对建立能产生利润的零投资组合（Zero-investment Portfolio）的策略的一种隐秘说法。零投资意味着投资者不需要在投资初期投入任何资金。套利定价理论建立在套利机会不会长久存在的理念上，当套利机会确实存在时，一些大的商人可利用此机会直到价格回落到均衡点。

因素风险模型将资产价格的普通变化与一系列普通风险因素联结起来。这些风险因素包括利率、股市指数、汇率和商品价格。这些模型很有用的，因为它们把资产的风险分解为系统风险和非系统风险。同时，因素风险模型降低了与马克维兹（Markowitz）完全均值—方差分析相关的均值—方差分析的数字的复杂性。

本章中，我们讨论单一指数模型（SIM），一种只有单一普通风险因素的模型，和多元指数模型（MIM）。接下来讨论套利定价理论，及其与资本资产定价模型的关系以及关于套利定价理论相对优势的实地证据。

11．1　因素风险模型

11．1．1　单一指数模型

单一指数模型，（SIM，Single Index Model）运用了资产收益（或产生收益的过程）的可能性分配的一些设想。根据单一指数模型，下面两种因素直接影响给定资产的收益率：普通风险因素（Common Risk Factor）的百分比的变化和特定资产事件（Asset-specific Events）相关的变化。普通风险因素可以是与证券收益相关的任何变量，如通货膨胀率、国内生产总值或S&P 500指数。特定资产事件，如Microsoft公司在研制新版WINDOWS软件方面的成功，1998年Pfizer医药公司对新药万可艾的研制，GM公司主席辞职后未上保险的工厂发生火灾等。

单一指数模型认为资产i的收益率是由以下公式推算的：

例如，如果β_i=2，I指国内生产总值，那么单一指数模型的β值告诉我们如果GDP上涨1%，那么R_i平均上涨2%。截断α_i表示β_i=0且I=0时，资产或组合的预期收益。e_i是由R_i=α_i+β_i I计算出的从直线上的任意偏离。它可正可负，主要是看特定资产事件是好是坏。

图11.1的直线有α_i截断和β_i弧线，如果所有的点R_i都落在直线上，那么所有的偏离e_i都为零。然而，一般情况下，根据特定资产因素，有些点会落在直线上方或下方。

理论联系实际11.1

FT

道·琼斯一步步扭亏为盈

星期三华尔街开盘时股票上涨了一些，这是建立在前几次盈利的基础上，因为投资者开始把美元贬值看作是对美国股票有利。

在开盘钟刚敲过不久，道·琼斯工业平均指数上涨0.2%，达9590.85点，而纳斯达克复合与S&P 500指数开始下降。

在未能得到数据前，投资者关注企业事件，特别是全球领先的网络公司Cisco系统公司。该公司表示在星期二收盘后，董事会已经授权该公司在原来130亿美元股票买回方案的基础上再扩大70亿美元。Cisco系统公司在下一次开盘时又涨1%。

图11.1　单一指数模型

资料来源:利维：《投资学入门》第二版。

在欧洲，Vivendi环球公司报道了比预期小的亏损之后，股票依然很坚挺，并且在整年内都很乐观。Franco公司——美国媒体巨头也表示它们将更加迅速地推行与GE公司的全国广播系统的合并计划。Vivendi公司的巴黎上市股票在欧洲早上交易时上涨3%，同时，GE公司股票上涨0.4%。

药物公司也有望成为焦点。因为瑞士生产商Novartis公司表示他将推迟治疗关节炎和镇痛的药物Prexige的发售时间。美国粮食和药物管理部门表示它将需要更多关于药物的信息。Pfizer公司股票下降0.3%，Eli Lilly公司股票下降0.2%。

娱乐集团Viacom公司股票在预期本年度降低利润和收入后下降了3.5%。拥有电视网络CBS和MTV的公司说当地的广告发展缓慢，但是经济复苏已经转化成了强劲的全国广告销售的增长。

资料来源：尼尔·丹尼斯：《道·琼斯一步步扭亏为盈》，FT在线，2003年9月24日。

链接

这篇文章列出了2003年9月24日的好几个企业事件：Cisco系统公司买回方案的扩张；Vivendi公司的乐观前景和兼并计划，Novartis公司药物发放的推迟和Viacom公司减少利润和收入的预测。这些企业事件动摇了公司股票的价格，但却没有动摇整个股市。因此，它们代表特定资产风险，而不是普通风险因素。

练习栏

问题安德鲁飓风袭击佛罗里达和路易斯安那海岸，给许多保险公司带来很大的损失。这是特定资产奇袭还是普通因素奇袭？

解答如果该国只有一家保险公司，就只有那家公司受影响，那么飓风带来的损失就属于特定资产奇袭。然而，因为有很多保险公司存在，这种损失就要考虑产业因素，而产业因素是普通因素而非特定资产因素。

除了方程11.1中的线形因素结构，单一指数模型加入三个关于特定资产因素的统计分配的假想e_i。首先，对于所有的i=1，2，…，n，特定资产因素被认为是0；^[1]根据公式，余下的偏离，那么样本的平均数e_i将为0：

其次，这意味着如果Microsoft公司出现成功或失败，它也不会影响到Pfizer药物公司的成败几率。在统计学上，这种假想意味着：对于所有的i=1，…，n与S=1，…，n：

最后，特定资产与普通因素无关。例如，这意味着经济萧条或股市空荡不会影响由火灾、洪水和飓风等自然灾害引起的损失的可能性。公式：

对于所有的i=1，…，n，其中E（I）代表预期的普通因素百分比变化。

这三个假想简化了与在很多方式上作为资本资产定价模型基础的均值—方差结构相关的收益分配。^[2]

第一，它遵循了资产i的预期收益由以下公式决定：

其中E（R_i）代表资产i的预期收益率。E（I）代表普通风险的预期百分比变化。注意普通因素I和因素敏感系数β_i决定资产i的预期收益。例如，如果一种资产的单一指数模型的β值为正，那么可以预测当普通风险因素I上升时，资产收益一般会上升；当普通风险因素下降时，收益率一般也会跟着下降。注意这里说的是一般情况，不等于说实际上收益情况变化就一定会这样。在具体决定收益率时，必须将特定资产事件e_i考虑在内。普通风险因素上升，但是特定资产事件却使实际收益为负的情况也是可能出现的。

第二，资产i的方差可以由以下公式来决定：

其中是普通风险因素的方差而是特定资产的方差。是由普通因素引起的风险，被称作是系统风险（Systematic Risk）。这种风险不能被多样化，不能简单地通过资产组合来排除，可以通过选择组合权重β_p=0来排除，但却不能通过多样化来排除。比如，如果I是国内生产总值，那么不管有多大的组合，都不能避免由于国内生产总值的可变性引起的组合收益的可变性。所以，因素引起的风险是不可避免的。相反，被称作非系统风险（Unsystematic Risk）（与普通因素不相关的风险），或者说是可多样化的风险。只要投资者持有很大的资产组合，这种风险实际上可以排除。更确切地说，对于组合权重w₁，…，w_n，那么特定资产因素即为∑w_ie_i。由于个人资产的特定资产因素被认为是独立的（方程11.3），可以预见一些e_i为正，一些为负，而且一般会相互抵消。所以，如果许多资产被包括进来（并且个人比重很小），那么∑w_ie_i将为0。

图11.2展示了组合方差和其组成部分，系统性的与非系统性的风险之间的关系。例如，如果在一个组合中就两个资产，系统风险为10，非系统风险为11，那么组合方差为21。通过增加更多的资产到组合中，非系统性组成部分的方差，∑w_ie_i将下降（因为一些资产的e_i与其他资产的e_i相抵消）。比如，在我们的例子中，如果系统风险保持10，那么当n=30时，非系统风险将减为1，组合方差为11。当n很大时，非系统风险将为0。

第三，单一指数模型大大简化了协方差的计算。第8章展示了为了解决均值—方差—有效的集合，必须降低给定平均收益的组合方差。而组合方差是所有可能的资产配对的协方差的函数。^[3]如果我们有n个资产，那么资产配对数量与之相对应的协方差的数量为（n²-n）/2。如果n=100，那么（n²-n）/2=4950，这个数就已经够大了。在单一指数模型设想下，资产j和资产s的协方差被减为：

因此，没有单一指数模型设想，必须估计100 β值来达到4950个协方差。因此，该模型设想大大减少了末梢偏离要做的估计数量。

11．1．2　多元指数模型

到现在，我们认为只有一种因素产生各种资产的收益。然而，有可能好几个普通因素产生资产收益，如期限价差（长期政府债券收益与T券率的不同）、未预见的通货膨胀，信用扩张（企业债券与政府债券收益）和工业产量的增长率。^[4]多元指数模型（MIMs，Multiple Index Models）是捕捉引起证券同时波动的非市场影响的尝试。他们引进额外指数（或外部因素）以期捕捉额外的信息。引进额外指数（或因素）的代价是有时捕捉到的只是随意的风波，而不是真正有影响的。用I_j来代表第j个因素，多元因素风险认为第i个资产的收益率由如下公式产生：

图11.2　作为资产组合中资产数量函数的系统风险和非系统风险

资料来源：利维：《投资学入门》第二版。

其中有K个因素，β_ij是第j个因素引起的第i支股票的收益敏感度。在公式中，这意味着对于所有的j=1，2，…，K。因此，如果第一个因素上升或下降，对第二个因素不会有影响。^[5]E［（I_j-E（I）］｛E［I_k-E（I_k）］｝=0和j≠k。

请注意，多元指数模型认为预期收益与风险的关系是线性的。在有些情况下，我们知道这种设想是不正确的。例如，我们将在本书后面了解到，长期债券的收益与利率之间的关系是非线性的（这就是所谓的凸状效应），买卖特权的收益与其基础资产收益之间关系也是非线性的（所谓的微克效应）。在这些情况下，仍旧可以通过转化风险因素而不是原始价值来运用多元指数模型（比如，风险因素被开平方），也不是两者同时运用。

在一般情况下，每个资产的特定资产因素为零，也就是说对于所有的i=1，…，n，E（e_i）=0；不同资产的特定资产因素相互独立，或者，对于所有的i=1，…，n与s=1，…，n，E（e_ie_s）=0；特定资产的期限与普通因素无关，或者对于所有的i=1，…，n与j=1，…，K，E｛［I_j-E（I_j）］e_i｝=0。运用这些设想，我们可以将其平均数用如下公式表示：^[6]

可以进一步地将方差表示如下：^[7]

最后，把协方差表示为：^[8]

11．1．3　估计多元因素风险模式

实践中，因素负载是未知的，可以通过观察过去资产收益与因素，再运用回归分析来估计其负载（参阅本书附录来了解回归分析）。更确切地说，对于每个资产，可以估计下面的时间序列回归模式：

其中r_i，t是第i个资产在第t期间的收益，α_i是在其他因素为0时，第i个资产的预期收益。β_i，1，…，β_i，K为因素负载，I_i，t，…I_K，t为第t期的因素，ε_i，t为非因素促成的收益。

可以通过回归分析来对这个模式估价。回归产出包括估价系数的标准误差和R开方（由因素解释的百分方差量度方法）。

为了说明这种方法，我们对25支美国股票组合的集合风险负载进行估价。这些组合是建立在市场资本（大小）与股票的市场预订产权率（B/M）的，所谓的法玛和弗伦奇基准组合。这些基准组合也在第10章用来解释资本资产定价模型在实践中的异常现象。我们采用由法玛和弗伦奇研制的，所谓的三因素模型（Three-factor Model）：

r_i，t=α_i+β_i，mr_m，t+β_i，SMBr_SMB，t+β_i，HMLr_HML，t+ε_i，t

它包括如下风险因素：

后两个因素并不直接遵循理论模式，但是它们被与大小及B/M相关的实践异常所激发（见第10章）。目前，对这些因素的经济分析还不完全清楚。

我们运用1963年7月～2002年12月期间的每月收益作为样本并用OLS回归分析来估计这个模型。图11.3显示了结果。在标准误差的范围内，可以看出，除了股票市场组合，大小与B/M保护组合对股票收益有很重要的影响。^[9]显然，小规模资本、大规模资本、保值型股票与增长型股票不仅仅受到市场风险的冲击，还会受到其他一般风险因素的冲击。结合起来看，有三个因素可以解释风险收益的79%～95%（方差范围79%～95%）。注意到小规模资本的组合基准点通常与SMB组合有实际的联系。比如，第一支低（小或低）增长型股票的β基准点范围为1.384这种情况是有道理的，因为SMB组合收益在小规模资本与大规模资本之间是不同的。类似地，增长型股票通常因为资本市场界线因素而出现消极的数字。这也就是保值型股票与成长型股票的不同。

11．2　套利定价理论

与资本资产定价模型相似，套利定价理论（APT）是一种平衡定价模式；它决定了资本资产收益的均衡率。但是，它是建立在不同的假想上。回忆一下，在推导资本资产定价模型过程中，假定所有的投资者按照均值—方差规则来决定投资。在推导该理论风险收益的关系中，罗斯并没有考虑风险憎恶，也没有依照均值—方差规则。相反，他把预期收益和风险之间的线性关系归结为在证券市场没有套利机会（Arbitrage Opportunities）。它是建立在单一价定律（Law of One Price）的规则上的：两个相同的东西不能以不同的价格买卖。在推导资本资产定价模型过程中作出的关于效用理论的强烈设想是没有必要的。同质期望的设想是必要的。实际上，套利定价理论描述的均衡比资本资产定价模型描述的均衡更普遍。因为定价可以超乎均值与方差的因素影响。投资者运用均值—方差的框架的设想被产生证券收益过程的设想代替。套利定价理论要求任何股票的收益与一系列指数呈线性关系。

表11.3　三因素模型的因素负载

套利是不需要预先投资而能带来正收益的策略。例如，套利机会是在一种资产同时在两个或更多的市场上以不同的价格交易时产生的。^[10]零投资产生利润是通过低价购买而同时高价售出资产获得的。所有的投资者都会喜欢这种策略，而不管他们针对风险的态度（憎恶风险、对风险保持中立或寻找风险）而且，他们通过这种方式赚越多的钱，生活也会更好。^[11]有套利机会后，收益可能出现，也可能不出现，只要是零投资，收益将永远不可能为负，而正收益的可能性却总是存在的。

如果投资者可以寻找到不需要任何投资而得到正收益的话，那么所有的投资者将都追求那个策略。结果是，按照均衡规律，资产价格将一直改变直到正收益降为0，套利机会从市场消失。套利定价理论是适用于没有套利机会的均衡状况下研究收益——风险关系的。

11．2．1　套利实例

考虑一种最简单的套利案例：你从A银行中借出100美元，利率5%，而后将其存入上了保险的银行B，利率为6%。这两次交易中的现金流动如表11.4所示。在这个简单的例子中，t₀点上你从口袋里掏出的投资为0，而在t₁年末时就有1美元的利润。如果这种金融状况存在，那它就是套利机会。如果可以以5%的利率借入又以6%的利率借出无限量的钱，那么其潜在的利润就会是无止境的。这种情况就叫做产钱机器；也就是说，人们用生钱机器（Money Machine）。

尽管市场上这种情况一般不会出现，你创造出一个金融交易就会在零投资的情况下得到正收益。如果这种情况存在，套利利润（Arbitrage Profit）就能得到，而产生这些利润的金融交易被称作套利。

表11.4　银行利率套利简例

资料来源：利维：《投资学入门》第二版。

一个更加现实的例子，也是推导APT最基本的，是卖空风险证券。回想一下，当投资者卖空证券时，他们将卖掉本不属于他们的股票。卖空的过程如下：投资者从经纪人那里借出股票，然后在市场上销售这些股票从中得到收益。在接下来的时间，投资者必须在市场上买到股票来代替他借的股票。

为了解释投资者怎样通过卖空交易来创造套利利润，假设你有三股证券：A、B和C，其收益如表11.5所示。为方便计算，假设每股都以100美元来交易，那么以美元计的利润或损失也就是你投资收益的百分比。例如，100美元的投资收益10美元，那么收益率为10%。表11.5中，可以很明显地看出B股并不总是比A股收益多——B股在经济萧条和平稳时产生的利润比A股少。此外，C股也不总是比A股收益多——C股在经济繁荣时产生的利润比A股少。

虽然B股和C股都不总是比A股盈利多，你可以创造B股与C股的组合，从而产生套利机会。假设你卖空2股A股得200美元，收回那200美元的收益，用它各买1股B股和C股。从交易中得到的收益，以美元计算，如表11.6所示。如果遇到经济萧条，A股将下降2美元。然而，你已经转移了2股A股，所以你赢得2×2=4美元，如表11.4的第二栏所示。在经济萧条时买B股与C股各1股将在B股上损失4美元，在C股上无亏盈，如表11.4的第三栏所示。以此类推，在经济平稳时，B股与C股组合会有14美元收益，而在经济繁荣时则有22美元的收益。因此，当经济萧条时，套利的全部净收益为+4-4=0美元。遵循相同的逻辑，当经济稳定或经济繁荣时，你都会得到2美元收益。

表11.5　投资盈亏

资料来源：利维：《投资学入门》第二版。

表11.6　卖空所获的套利利润

资料来源：利维：《投资学入门》第二版。

表11.6描述的交易其预先投资为0（不考虑交易过程的费用），因为投资者卖空两股A股得到200美元收益，然后投资100美元在B股，100美元在C股上。投资者的预期净收益将永远不为负，不管经济发展情况。投资者要么没有收益（经济萧条时）或者要么有2美元（经济稳定或繁荣时）。这是很明显的套利机会。为什么不把交易扩大到2～400美元而得到潜在的利润4美元（或为0），或者甚至投资100万美元而得到套利利润1万美元（或为0）？投资者将卖空A股而买回B股和C股从中获得套利利润。

大量的金额的许多次交易就会促使抛售A股的压力和购买B股与C股的压力很大。因此，A股价格将会下降，B股与C股的价格会上升，直到没有套利机会存在为止。消除套利利润的市场机制如下：假设A股因为销售压力而使得其价格由100美元下降到90美元。同样道理，B股因为购买压力而价格上升到105美元，C股上升到110美元。售出2股A股得到的收益仅为2×90=180美元。这还不够购买1股B股与C股。假设你将180美元的收益在B股与C股间平均分配，那么将买到90/105≈0.875支B股和90/110≈0.818支C股。表11.6所示的是以美元计量的每股收益；假设得到这些收益的一小部分，因为你持有一小部分B股与C股。这个策略不会带来套利利润。例如，在经济繁荣期，你因为买空2股A股而损失20美元，但因为买到一些B股而盈利[16×（90/105）≈13.71美元]，买到C股盈利[6×（90/110）≈4.91美元]。因此，一次交易的净利润为-20+ 13.71+4.91=-1.38美元。注意这里的收益是负的，这次交易不再有套利机会。

投资者将继续寻找可能的套利机会，例如通过将180美元的卖空收益以各种比例分到B股和C股。如果投资者寻找所有可能的金融交易，发现在零投资的条件下，没有一个能够保证在各种经济状态下都能有正收益（在有些经济状态下的收益可为0，但至少在一种经济状态下是正的），那么我们说套利机会不存在。

当股票价格使得没有套利利润存在时，每个资产的平均收益与风险之间的线性关系主要是套利定价理论作用的结果。例如，如果价格出现变化，使得由卖空A资产和持有B股和C股（预先投资为0）形成的股票组合产生在经济萧条时-2美元的收益，在经济平稳时+5美元的收益，和在经济繁荣是+4美元的收益，那么我们说套利交易机会消失了，因为不存在损失的可能。

在实际中，小投资者可能不会利用套利机会而从卖空中获得收益，因为收益会落入经纪人的手中。然而，大投资者，特别是机构投资者，却能够得到卖空的收益。所有的投资者并不一定进行套利；有一个大投资者来创造这个产钱机器把股票移入套利定价理论线就够了——这个特性使得该理论从直觉上比资本资产定价模型更具有吸引力。货币经理人经营大笔货币的能力对小投资者是有益的，因为它保证证券按照接近于均衡价格进行交易。

理论联系实际11.2

FT

Palm公司与3Com公司的典型案例

前任美国财政秘书长劳伦斯·萨默斯（Lawrence Summers）曾经把金融教授描述为番茄酱经济的执行者：“他们已经展示了2夸脱的番茄酱，并一定要按1夸脱番茄酱的价格卖，除非由交易成本造成偏离。实际上，绝大多数的番茄酱经济学家把番茄酱市场的效率看做是实际经济的最确定的事实。”萨默斯是正确的。套利，定义为同种证券同时以两种价格买卖，是现代金融的中心概念。套利的不存在是绝大多数现代金融理论的基础，包括选择定价和企业资本结构。

在资本市场，单一价格定律规定同种证券必须有统一价格，否则投资者就会通过购买低价的和售出高价的来获得无止境利润。它并不需要投资者有理性或者精明，只需他们能够辨认出套利机会。因为套利者能够通过执行这些规律获得利润，那么打断运行良好的资本市场几乎是不可能的。单一价是个基本的常识的状态，所以理论家们把它当做最小状态，是通向其他暗示的起点。

市场混乱

不幸的是，在最近的技术股票狂热中，美国的资本市场发生了混乱现象。单一价定律被违反了。一个突出的例子是与3Com公司相关的Palm公司价格。2000年3月2日，3Com公司卖出一部分股票给手提电脑的生产商Palm公司。在这项被称做开拓产权的交易中，3Com公司在第一次公开提供中卖出大约4%的股份给Palm公司，1%左右给公司联盟。它自己保留95%的股票。Palm公司股票以38美元开盘。在交易的第1天，很快上升到150美元，而后上升到165美元，最后以95.06美元收盘。

建立在Palm公司与3Com公司的股票对比数量上，3Com公司股票的持有者的1股间接地相当于1.5股的Palm公司股票。单单建立在3Com公司对股票所有权的基础上，在第一天交易结束时，3Com公司股票将至少值142.59美元。除了对Palm公司的拥有外，持有每股价格高于10美元的现金和证券，并且经营一个实在的和有利可图的网络生意。因此，人们预测3Com公司股票以高于142.59美元的价格交易。

实际上，3Com公司股票的价值为81.81美元（公司股票价格实际上在当天下降了21%）。“残余价值”，也就是该公司非Palm公司资产和生意的隐性价值是低限度的142.59美元与有效价格81.81美元之间60.78美元的差别。股票市场给了3Com公司其他资产负的隐性价值，这是很令人费解的，因为股票价格不可能为负。

最令人费解的是，3Com公司宣布了将其剩余的股票转让给Palm公司的意向，并将根据美国国内税收服务对其让权易股的税收地位的承认状况最终做决定。让权转股将于本年度末完成，并有很大可能会达成有利控制。要从定错价格中获得利润，套利者需要买1股3Com公司股票，卖空1.5股Palm公司股票并等上将近1年。在本质上，套利者将需要购买至少为0的证券来获得-60.78美元，并且不需要等很长时间来实现利润。

这种策略（如果一个人能够在不花任何交易成本时来实行）将是非常有利可图的。3Com公司的残余价值逐渐上升，直到分配发生。

这种错定价不是在资本市场的不明显的角落里，而是出现在引起狂热注意的IPO上。在开盘后的第二天，许多报纸都讨论错定价。

3Com公司的例子并不少见。例如，1923年，年轻的本杰明·格雷尼姆（Benjamin Graham）成了现在所谓的共同基金的经理，他后来与人合著了关于证券分析的经典著作。格雷尼姆发现Du Pont公司的市场资本化与其在GM公司拥有的股份相当。Du Pont公司虽然是拥有许多贵重资产的大公司，但它只有差不多为0的残余价值。格雷尼姆买回Du Pont公司股票而卖空GM公司股票，在Du Pont公司股票后来价格上涨时获取利润。

这里有很错误的问题。负的隐性“残余价值”不应当发生。经济学家早在许多年前就已经知道了其他明显违反单一价定律的现象。但是这些案例有特殊的特点，它们可以解释价格与价值之间的矛盾。虽然人们可能将这些案例归为极度的异常现象，在纳斯达克交易的大的资本化股票却不能被错误定价。

修正价格

在理解单一价定律时有两个问题要解决：第一，为什么套利者不通过卖出被过高定价的证券而买进被定低价的证券来修正价格呢？第二，即便套利者被阻止修正价格，为什么人们在被定价太低的证券存在时反而买进被定价太高的证券呢？

第一个问题的答案在交易成本中。为了实现套利，人们需要卖空Palm公司股票。交易成本在两种方式中出现：寻求可以卖空的股票和占据短期席位的成本。为了能够卖空股票，人们必须借进股票；由于机构性原因，对于许多持股公司来说，借进股票是很困难或者不可能的，特别是在IPO这一天。即便是在IPO后好几周，卖空也是很困难的。

要借进股票，投资者必须找到愿意出借的人。很多借进都是通过金融机构来完成的，这些机构如共同基金、信托或资产管理者借出他们的证券。在Palm公司案例中，零售投资者而不是机构持有大多数的股票。使得Palm公司很难借得到。对于能够找到借进股票而卖空的人出借者要求很高的收益。这些收益来自每天卖空股票的成本。在Palm公司这个例子中，有很高持股成本，他们追求每年40%的收益。

因此套利Palm公司机会不仅是真实的，而且是明显的，因为卖空Palm公司是很困难，也是很贵的。虽然是不太容易挖掘的套利机会，但却是明目张胆的错误定价。值得注意的是，一些投资者得到了很丰厚的利润，虽然他们没有得到无止境的套利利润，但他们在近似于套利机会的基础上得到了很高的收益。例如，一位年轻的金融教授利用负残余状况得到收益后买了一辆新车。金融教授并不通常因为他们的市场头脑和股票选择胜利而出名，与机构投资者相比，他们当然要花更多的成本在信息收集和交易上。所以教授很明显的赚得丰厚收益的能力给有效市场假设带来很大的麻烦。

从卖空水平得来的证据与Palm公司被定价太高的想法是一致的。水平达到了令人吃惊的浮动股票的148%，意味着超过所有可能的股票都被卖空。如果股票是借的，而后卖空给允许再次借出股票的投资者，那么这种情况是可能的。但是，要供应这种股票需要花时间，因为这种卖空市场运行缓慢。

为什么买Palm公司？

把套利的失败抛于一边，第二个问题是为什么人们在能够花81.81美元买到1股3Com公司股票（相当于1.5股Palm公司股票）的情况下，却花95.06美元买1股Palm公司股票呢？一个明显又诱人的关于错误定价的解释是Palm公司的价格高是因为股票的需求量超过供给。虽然这是毋庸置疑的，但并不是很好的解释。为什么在更便宜的股票存在的情况下（例如3Com公司或Palm公司选择），Palm公司股票持有者愿意多花那么多钱呢？在3Com公司残余价值为负的时候，拥有25亿美元投资的人觉得买Palm公司要比买3Com公司股票好。

可能我们会问这些投资者的脑子在想些什么呢？其实他们这样做还是有道理的。许多媒体报道如果没有Palm公司，那么3Com公司的预期增长会更低。例如，在IPO的后一周，华尔街杂志就有标题为“没有Palm公司，3Com公司未来更加暗淡”的报道。投资者可能就简单地想Palm公司好而3Com公司不好，他们也没更多思考。

更一般地说，2000年早期是技术股特别乐观的时候。在1999年2月和2000年2月，主要是技术股的纳斯达克综合指数不止翻了一番。这种乐观在香港得到最好的体现。2000年2月，群众集中到10家银行造成混乱，警察都出动了。有些分行关门了，其他的延长了营业时间接待这些群众。银行在运行？也许吧。但是与抢着取钱相反，这些人忙着往里存钱。他们申请预订tom.com网络公司的IPO。根据有关人士预测，30万人排队申请，共上交超过45.3万份申请书，也就是几乎7%的人口预订了IPO。

市场暗示

有效市场假设有两个重要的暗示。第一，获得超额的收益是不简单的；第二，从反映基本价值的意义上说，价格是“正确”的。从许多方面说，第二个暗示要比第一个暗示重要。资产市场是否就在那里投资真正资源，并给经济提供合理的信号？如果有些公司的股票价格与其内在的价值偏差太大，那么他们要么吸引太多资本，要么太少资本。

虽然重要，但有效市场假设的这一方面很难验证，因为内在价值是观察不到的，这就是3Com公司和Palm公司的例子是很重要的原因。它告诉我们当交易成本阻止套利者修正市场错误时，市场价格可能是错误的。这个例子使人们对市场仅仅反映理性定价的说法产生疑问，因为这是市场很容易修正的情况，如果市场使得这种验证无效，那么它在什么地方还可以出现错误呢？

股市价格影响现实社会。当价格出现错误时，世界就遭殃。在2000年达到顶峰的技术股票狂热有真实的后果。货币、时间和智慧被大量投入到企业，最终没有任何收益。

金融经济学家把“摩擦”，如交易成本，视为无足轻重的。运用物理学的推导，扔在空中的球的运动弧线可通过简单的公式来预测出，不考虑风阻力等因素；我们假设球被抛入真空中。虽然我们都同意就像风的阻力、交易成本是存在的，但是传统的观点认为这些小误差是可以忽略不计的。

这是误导人的推导。3Com公司与Palm公司案例显示了摩擦并不是可以忽略不计的细节，而对于理解市场价格是怎样制定的是很重要的。就像球不是被抛入真空中，而是龙卷风中。虽然人们确信球最终会回到地面，忽略误差不是很好的解决方法。

资料来源：欧文·拉蒙特：《Palm公司与3Com公司的典型案例》，《金融时报》2001年6月18日。

进一步阅读

Lamont，O.A.and Thaler，R.H.（2003），‘Can the market add and subtract？Mispricing in tech stock carve-outs’，Journal of Political Economy，111（2），227-268.

Ross，S.A.（1987），‘The interrelations of finance and economics:theoretical perspectives’，American Economic Review，May，77（2）：29-34.

Summers，L.H.（1985），‘On economics and finance’，Journal of Finance，July，40（3）：633-635.

链接

2000年3月2日，Palm公司股票价值超过3Com公司，但是1股3Com公司股票使其持有者有资格获得1.5股Palm公司股票加上一部分3Com公司的其他资产。很明显，卖空1.5股Palm公司股票而买进1股3Com公司的股票，获得无风险利润是有可能的。作者欧文·拉蒙特是芝加哥大学贸易学研究生院的金融学副教授，他对这种令人费解的现象作了解释。

11．2．2　套利定价理论：设想与风险—收益关系

回想一下，根据套利机会定义，在零投资的情况下，组合的预期收益一定是非负的。罗斯运用这个论点来推导该理论。更准确地说，他探讨了为了消除套利机会，资产该如何定价的问题，因为当套利存在时，价格会变动。每个资产的平均收益和风险也会改变直到套利机会消失。总而言之，当套利存在时，经济就不会处于平衡状态。这就是它是平衡定价模式的原因。因此，套利定价理论探讨在套利消除的情况下的市场均衡价格。这一节我们研究该理论设想和由其产生的模式。

套利定价理论设想

其基本设想可以归纳如下：

■资本市场的特点是完美竞争。投资者的数量很多，每个投资者都有些财富，与所有资本资产的整个市场价值相比，他们的财富还是很少的。因此，单个投资者的组合选择对证券价格影响都是不显著的；投资者接受给定价格，同时，诸如交易成本和税收的资本市场不完美并不发生。

■所有的投资者对将来的均值、方差和协方差都有相同的期望（同质期望）。期望由被因素风险模型（单一指数模型或多元指数模型）描述的收益分配体现的；收益率由一些普通风险因素和特定资产因素决定。特定资产因素平均为0，它与其他资产无关，也与普通因素无关。

■投资者不断追求财富。注意不考虑风险态度，投资者可能害怕风险，可能对风险保持中立态度，也可能寻找风险。

■卖空是允许的。卖空的人可以获得收益。

有趣的是，这些设想暗示了预期收益与风险敏感性或β值之间的线性均衡关系。为检验这种风险—收益关系，我们先考虑收益遵循单一指数模型，再移动到普通的多元指数模型的情况。

套利投资组合

推导套利定价模型最基本的是零β值而由于卖空不需要任何投资的多样化的组合。这种组合叫做套利投资组合（Arbitrage Portfolio）。一般地说，当运用单一指数模型时，组合收益由以下等式推导出：

其中是由特定资产因素引起的组合的特定风险。对于由许多证券组成的很大的组合（也就是n很大），影响因素（e）_i往往互相抵消，所以我们可以认为。因此，对于很大的组合，等式11.6b可以重写如下：

现在假设你可以创造零投资和零风险的组合，也就是Σw_i=0和Σw_iβ_i=0。由等式11.6c，如果β值为0，组合被很好地多样化了，那么组合的风险为0，也就是σ2 _p=0。由于按照假设，这是零投资的组合，预期收益一定为0，否则将有套利机会。例如，如果零β值，零投资组合可以带来正收益，那么这将成为生钱的机器。另一种情况，如果组合有负收益，那么投资者能够以刚好相反的权重建构另一个组合来寻到正的美元收益。

总之，套利组合有三个重要特点：^[12]他们不要求净投资；②他们的β值为0或者没有系统风险；③被很好地多样化，或者没有非系统风险。由于这些特点，套利的预期收益必须为0，否则套利的可能性就会出现。

线性的风险—收益关系

运用零β值与零投资组合，罗斯展示了为了排除套利机会，第i个资产的平均收益E（R_i），与B_i呈线形关系如下等式：^①

因此，在套利定价理论平衡式中，当所有的套利可能性都消失时，那么预期收益E（R_i）与对普通风险因素β_i之间就存在线性关系。截距E（R_Z）是组合在β值为0时的预期收益，或零β率。如在第10章讨论的，如果无风险的资产是可得的（如T券），那么零β率（Zero-beta Rate）必须等于无风险率（E（R_Z）=r）。其原因是当β_i=0时，风险就不存在（记住，我们考虑的是被良好多样化而没有非系统风险的组合），为了避免套利，无风险投资的收益必须等于无风险率。斜线E（I）-R_Z，是免除零β率后普通风险因素的预期收益。这就是补偿投资者承受普通风险的风险奖励（普通风险不能被多样化）。

套利定价理论平衡方程背后的基本思想可以用下列三个被良好多样化的组合阐释（为简便起见，假设每个组合都有相同的市场价格）。

我们的目标是选择组合C的平均收益率，以便假设套利机会存在。图11.7标出A与B并把它们用直线连起来。如果C点总是落在这条线上，那么套利定价理论成立。我们将展示要排除套利这是必需的。

假设我们选择投资比例w_A=-1，w_B=2，w_C=0，那么∑w_i=-1+2=1，∑w_iβ_i=（-1×1）+（2×2）=3，因此建立与C组合的β值完全相同的组合。由于所有组合都有零特定风险（= 0）A与B的联合与组合C有相同的风险，因此，那两个组合必须有相同的预期收益，∑w_iE（R）_i=（-1×8）+（2×13）=18。如果组合C的预期收益偏离18%，那么套利机会存在。让我们细细阐述，假设E（R_C）=23%。那么可以选择投资比例w_A=1，w_B=-2，w_C=1，那么∑w_i=1-2+1=0和∑w_iβ_i=（1×1）+（-2×2）+（1×3）=0。因此建立有零β值和零投资的组合，该组合的预期收益为∑w_iE（R）_i=（1×8）+（-2×13）+（1×23）=5%，因此，套利机会存在。持有这样的组合在不投资的情况下也能产生正收益，这在平衡式中是不存在的，因为它构成“生钱机器”。同样地，如果E（R_C）低于18%——比如，13%——投资与风险都为零，我们得到负的收益∑w_iE（R）_i=（1×8）+（-2×13）+（1×13）=-15%，那么，通过卖空这样的没有投资的组合，得到正的收益，这又是生钱机器了。^[13]

现在，还需要展示的是E（R_C）=18%与β_C=3的那一点，它代表了在没有套利时的C组合。据套利定价理论，它落在A组合与B组合的直线上。图11.7展示了连接A组合与B组合的直线，相关的参数来自前面例子。直线的斜率，或（E（I）-R_Z））是[（13%-8%）/（2-1）]=5%，它是KB（垂线）为KA（水平线）所分。E（R_Z）线的截距可以通过插入A点（或B点）参数并运用斜率5%直线分式得到：

E（R_i）=E（R_Z）+（5%×β_i）

由于对于A组合，有E（R_A）=8%和β_A=1，得到8%=E（R_Z）+（5%×1）；因此E（R_Z）= 3%。连接组合A与组合B的直线由式子E（R_i）=3%+（5%×β_i）得出，其中E（R_Z）=3%，E（I）-R_Z=5%。

如果E（R_C）大于18%（如23%），那么点位于线的上方（如图11.7中的C₁）。如果E（R_C）小于18%（如13%），那么点在直线下方（如图11.7的C₂）。由于C组合平均收益刚好为18%时可以消除套利可能性，所有3支股票落在同一条直线上，结论是当套利被消除时，得到预期收益与β之间的线性关系（方程11.9）。

套利定价理论线性关系由三个组合解释，但是同样的原则对任何数量的资产和资产组合都成立。只要有1支股票不落在直线上，套利利润就会产生。为消除套利利润，所有[E（R_i），β_i]点必须落在直线上。

图11.7　在套利定价理论下不存在套利的示例

资料来源:利维：《投资学入门》第二版。

练习栏

问题假设在套利定价理论直线上有三个组合，其参数如下：

1．零β率E（R_Z）是多少？风险奖励（E（R₁）-E（R_Z））为多少？

2．试证明三个组合的任意联合都在直线上。

解答1.套利定价理论直线可表现为：

E（R_i）=E（R_Z）+（E（R_I）-E（R_Z））β_i

直线的斜率由任意两个资产之间的交换率给出：

，或者0.05那么，截距为：

E（R_Z）=E（R_i）-（E（R_I）-E（R_Z））β_i=E（R_i）-0.05β_i

如果取A组合，得到：

E（R_Z）=0.05-（0.05×1）=0.0

如果取B组合，得到：

E（R_Z）=0.1-（0.05×2）=0.0

如果取C组合，得到：

E（R_Z）=0.15-（0.05×3）=0.0

因此，带这些数字的套利定价理论线为：

E（R_i）=0+0.05 β_i

多因素的套利定价理论模型

到此为止，我们都假定只有一个因素I，给多种资产带来收益。然而，事实上有很多因素给资产以收益，如通货膨胀率、失业率和利率。在这些情况下，多元指数模型（方程11.1a）而不是单一指数模型起作用。相同的无套利机会方法可以在上述因素为零投资（Σw_i=0）和零β值时运用，因此Σw_iβ_i1=0，Σw_iβ_i2=0，等等，套利机会存在。根据这个程序得到类似单一因素套利定价理论的线性关系，形式如下：

它是对当有K个因素时，而非单一因素产生收益的套利定价理论的总结。截距是所有β值为0（无风险率）时预期的收益率，（E（I_j）-E（R_Z））是每单位与j因素相关的风险的市场价格，β_ij是i证券对j因素的灵敏度。本章末的附录11形式上推导了该理论的平衡关系。

11．3　套利定价理论与资本资产定价模型

方程11.9a中套利定价理论平衡关系与第10章的方程10.9中资本资产定价模型的证券市场界线存在很强的类推。在这两个情况中，资产预期收益是衡量风险的一个或多个敏感系数的线性函数。实际上，当资产收益遵循单一指数模型时，市场组合（m）是普通风险因素，无风险的资产也是可得的，那么该理论的平衡关系就简化为：

这与证券市场界线是一致的。然而，强调资本资产定价模型不是套利定价理论的特殊情况，套利定价理论也不是对资本资产定价模型的扩展，是很重要的。两个模型都建立在完全不同的设想上。在一些情况下，两个模型仍然预测相同的风险收益关系，这时我们不能区分这两个模型。

回顾一下在第10章辨别的资本资产定价模型的主要设想。最重要的一点是，该模型是建立在投资者对风险厌恶，从相同的均值—方差—有效的前沿选择一个该组合的设想上的。而正如第8章讨论的，均值—方差规则要求关于投资者偏好（投资者效用呈二次方程形式）或收益分配（收益遵循联合的正常分配）的设想。套价定价理论不需要这些设想。因此，它被认为没那么受限制。也就是说，可以运用到投资者对风险不厌恶，以及不仅组合的均值与方差关系重大的市场。与此相关，资本资产定价模型预示所有的投资者将持有市场组合，市场β值充分解释不同资产之间预期收益的不同；套利定价理论则没有预示这些。另外，套利定价理论设想有可能在没有额外成本的情况下卖空有风险的资产，而资本资产定价模型却不要求这种设想；在该模型中，所有的投资者持有市场组合，它只包括长期席位。同时，说明多元风险因素的灵活性有其不重要的方面；资本资产定价模型预测相关的风险因素是市场组合，而套利定价理论却未能够告诉我们普通因素到底指什么，再有，它也未说明风险奖励的大小与标志。

两个模型仍然不是互不相干的。例如，资本资产定价模型针对收益由带有多元风险因素的多元指数模型产生的设想前后并不一致。资本资产定价模型只是说明对单一风险因素（市场组合）的敏感度决定平衡的预期收益率。该陈述也允许多元风险因素，条件是它们没有被定价，也就是说，这些因素的作用不会影响均衡预期收益率。因此，认为该模型设想回报由单一指数模型产生，而市场组合的收益是其唯一的普通风险因素是不对的。实践者们和实证研究者们在试图估计β值的时候确实做过这样的设想，然而，这不是资本资产定价模型的设想，也不是它的暗示。^[14]

结果是，11.13节中关于美国股票除了受市场因素的影响外，还受其自身大小和B/M因素影响的发现并没有违反资本资产定价模型。

结果显示，甚至多元风险因素被定价也不一定违反该模型。例如，如果风险因素I₁，I₂，…，I_k遵循该模型的话，那么方程11.9a中普通的套利定价理论平衡关系与方程11.9a中的资本资产定价模型/证券市场界线是一致的。也就是

［E（I_j）-r］=［E（R_m）-r］β_Ijm

其中β_Ijm是第j风险因素的市场β值。把这个表达式代入方程11.9a，运用E（R_Z）=r，得出：

E（R_i）=r+［E（R_m）-r］β_i1β_I1m+…+［E（R_m）-r］β_iKβ_IKm

=r+［E（R_m）-r］（β_i1β_I1m+…+β_iKβ_IKm）=r+［E（R_m）-r］β_im

或证券市场界线（方程11.9b）^[15]检验资本资产定价模型的相关的问题不是多元风险因素是否被定价，也不是市场组合是否被定价，而是风险因素是否被定价。

11．4套利定价理论的实证检验

与资本资产定价模型相同，套利定价理论建立在一些被简化的设想上（参见11.2节），许多方面，套利定价理论的设想所受的限制要少于资本资产定价模型。例如，套利定价理论并不设想投资者厌恶风险和他们遵循均值—方差分析的规则。许多剩余的设想（如，无交易成本与税收、类似的期望等）在现实中仍然被违反。然而，正如第10章所述的，一种理论必须从复杂的现实中抽象出来，在描述上不现实，才能体现其有用性。同时有用性还必须通过检验理论在多大程度上提供有效和有意义的解释和预示来判断。实证的套利定价理论测验通常集中于检验方程11.9a中预期的均衡风险收益关系。设想无风险资产的存在［E（R_Z）=r］，这个关系由以下方程式决定：

在这里，不可能综述所有的实证研究。^[16]因为研究在数据集和研究方法方面有很大的不同，这些不同反映了实证研究者们需要作的很多选择，包括如下：

■分析中包含的资产（例如，列于纽约证券交易所上的美国所有普通股票）；

■将资产归类为组合的方法（例如，通过账面市场资产净值比率分类）；

■普通风险因素相关的集合（例如，默认的风险因素和普通的股票市场风险因素）；

■用于代理相关风险因素的因素组合（例如，B类企业债券与A类债券之间的波及作用做为默认风险因素的代理）；

■收益频率（例如，月平均收益）；

■样本周期（例如，1926～2003年）；

■统计方法（例如，运用下面即将讨论的双传递回归方法）。

注意测试资本资产定价模型必须做相似的选择。与之相关，套利定价理论的实证测验遇到与测验该模型相似的问题，包括收益分配的时间变化、恰当的统计方法的选择和诸如数据筛选，数据窥探和样本选择偏好等数据问题（参见10.2.3节）。最重要的区别是辨别相关的普通风险因素的集合。资本资产定价模型预测市场组合是唯一被定价的风险因素（虽然我们可以运用多元风险因素来代理市场组合；见11.3节），与之相比，套利定价理论没有就风险的合适的数量和风险的特性提供任何线索。在这方面，它的任何测试是它是正确的均衡模型的假设与风险因素的集合是正确的假设的联合测验。换句话说，如果一些相关的风险因素被排除在测验之外或者运用劣质的代理，就可能错误地拒绝它。如果把无关的风险因素包括到测验中，更可能错误地接受这个模型。

11．4．1　双传递回归方法

用于检验套利定价理论的一种流行的方法与用于检验资本资产定价模型的双传递回归方法相似。用于该理论时，这种方法包括四个步骤：

第1步：建立样本数据

第1步是收集过去收益的数据集作为一列基准组合来代理投资世界，一系列因素组合来代理普通风险因素（例如，S&P 500指数代理股市风险因素，信用价差代理信用风险因素）和无风险率的代理（例如，国库券利率）。数据以特定收益频率来收集（例如，每天、每月或每年的频率），收集时间为一段样本周期。这样，其结果就是T时间序列对n基准组合、K因素组合和无风险率的观察。

正如上文讨论的，选择风险因素在检验套利定价理论时是最重要的问题。粗略地说，有三种方法可以解决这个问题，各有利弊。第一种方法运用经济知识来预先指定相关的风险因素。不巧的是，经济理论产生很少关于资产的收益分布的预测。相反，金融经济学家一般处理给定了收益分配的投资者的行为。但我们仍明白一种资产的内在价值由预期未来流到投资者手中的现金的目前价值决定，这里预期现金流动通过包括合适的风险奖励的折扣率换算到现在的（更多讨论见第13～18章）。因此，预测未来现金流动和折扣率的变量很可能是风险因素的“经济候补”。第二种方法应用计量经济分类检查来选出能最好区分一个给定的数据集和一列预先区分的因素（这种方法有效地把第一步与第二步结合起来）。这种方法的最主要的局限性是由于在不同的模式规格中搜索，需要大量搜索，很可能找到假的类型。最后，可以运用称为因素分析的统计方法联合辨别相关的风险因素（这些因素是有利的基准组合平均数）并估计基准组合的因素负载。^[17]这种方法的最主要缺点是因素的经济分析不存在，这些因素仅仅是个人资产的有利平均数。同时，风险因素的标志和幅度并不是特殊规定的，因此因素负载和风险奖励的标志与幅度也变得无规律。

第2步：估计多元指数模型

对于每个单独的基准组合，第2步运用方程11.8（参见11.2.3节）的时间序列回归模式来估计多元指数模型（方程11.1a），用于估计它的时间序列回归有时被称作第一传递回归，因为他们的产出（因素负载或β值的回归估计）被运用在第二传递回归（见下文）。

第3步：预计风险—收益关系

第3步转向实地测验方程11.9a中平衡风险—收益关系。特别地，它预计了已被估计的因素负载（从上述时间序列回归得出）与被视为事前预期收益的评价物的实得平均收益之间的跨部门关系。为此目的，下面的跨部门的回归模型被使用（对于n次观察，每个基准组合都有一次观察）：

其中是第i个基准组合过去的平均收益，γ₀是过去的截距，是过去第i个基准组合在第j个风险因素下的敏感度的预计。γ_j是第j个β值的斜线系数，u_i是对直线的偏离。回归模型的产出将包括系数估计γ，…，，标准差和R开方。

第4步：套利定价理论的测验暗含

最后一步是决定被预计的风险—收益关系的特性是否与套利定价理论的暗含相一致。如果理论为真，那么会发现资本市场界线的截距等于无风险率，也就是γ₀=r；同时风险奖励等于债权奖励，γ_j=[E（I_j）-r]，j=1，…，K。求β值是解释预期收益的唯一的变量，即，均值与β值之间必须能够吻合。^[18]如果所有的预期收益率与β值联合都落在均衡线上，那么市场处于平衡状态。然而，当过去数据被用来估计预期的收益率和β值时，一般来说，一些资产落在线上方，一些资产落在线下方，表明不平衡或统计上细微的偏离（由于抽样误差）。测验风险—收益关系的R开方是否不会明显地低于统一状态。

11．4．2　应用

为了展示双传递回归过程，我们将之运用于11.1.3节中25个基准组合样本中。那部分估计与法玛—弗伦奇三因素模型（市场组合、SMB与HML对冲组合），相关的这些组合的因素负载。这就有效地完成了第2步。运用第2步的结果作为第3步的起点。

要检测套利定价理论，有三因素模型，用回归分析来估计下面的关系。^[19]

估计的结果如下（标准误差在括号里），好几个结果必须注意。首先，与资本资产定价模型的预测相反，市场β值有负奖励（-0.831），这是不重要的，大小与B/M因素有非常重要正的风险奖金（0.165与0.465）；第二，与资本资产定价模型相反，三因素模型给出很好的配对（R平方为76%）。

11．4．3　寻求平衡

建立在套利定价理论的经验测试上，有很强的迹象表明风险因素而非市场组合影响预期收益。例如，上部分出现的大小、B/M因素也出现在多种多样的资产、周期和国家的数据集中。这个结果理论上与实践上都很重要。大小和B/M奖励使人怀疑资本资产定价模型理论的有效性，及它在金融管理中的运用（如资本预算和表现评价）。我们仍然强调套利定价理论的测验，就像资本资产定价模型的测验一样，是均衡理论、研究方法和数据质量（包括基准组合和因素组合的选择）的联合测验。出于这个原因，可能永远也找不到支持或反对套利定价理论的明确的实证，也不能与资本资产定价模型相联系体现它的价值。例如，如果风险因素只是（真实但未被发现的）市场组合的代理，或风险因素抓住了（真实但未被发现的）债权奖励的时间变化和（真实但未被发现的）基准组合的市场β值，那么套利定价理论似乎胜于资本资产定价模型，但这是错的。该理论仍旧是有用的，因为它在不要求关于投资者对风险的态度和资产的收益分配的强设想的情况下，展示了套利的理论个中隐喻。这种洞察力大大提高了我们对资本市场运行的理解。

总结

解释因素风险模型和简化均值—方差分析要求计算的原因

单一指数模型（SIM）和套利定价理论（APT）最初是因为不同的目的被提出来的，但它们很相似。单一指数模型的提出是为了在有效前沿时减少计算问题，而套利定价理论作为资本资产定价模型的对应物提出。

单一指数模型大幅降低了在有效前沿解决最佳组合需要的输入。因为协方差可以通过下面的等式计算：

因此，投资者只需要估计每只股票的β值，而不是所有可能的协方差。这种减少是关于收益由单一的因素（如I）和公司特定的因素产生的设想的结果。更确切地说，是单一指数模型设想：

E（R_i）=α_i+β_iE（I）+e_i

其中Cov（I，e_i）=0，并且任何两支股票的Cov（e_i，e_j）=0.

对于单一指数模型，风险可以被很容易地分解为系统的和非系统的部分。系统风险不能被多样化，非系统风险则可以。对于组合中大数量的资产，非系统风险实际上可以被消除。

解释套利定价理论，它的设想和引起的线性均衡关系

套利定价理论的最重要的设想是证券收益由线性因素模型产生，它建立在非套利条件下。也就是说，投资者不应当能够建立零风险，零投资而又带来正收益的组合。然而，该理论假设经济中有很多资产，也有具体的收益产生过程。总的说来，该理论条件，在多元因素作用下，证券的预期收益由下式决定：

E（R_i）=a₀+a₁β₁+a₂β₂+…+a_kβ_k

其中a₀为无风险利率，β_i为证券对每个因素的敏感度，a_i是每单位敏感度的市场价格。

比较和对照资本资产定价模型与套利定价理论

套利定价理论是建立在与资本资产定价模型不同的设想上的另一种平衡定价模型。更确切地说，套利定价理论并不认为投资者们根据均值—方差规则来做决定；同时，投资者并不一定厌恶风险。

总结套利定价理论的实证研究结果

测验套利定价理论的最重要的因素是辨认普通风险因素的相关集合。资本资产定价模型预测市场组合是唯一定价的风险因素，而套利定价理论没有就因素的合适数量和因素的特性提供任何线索。它的任何测验是对其为正确的均衡模型与风险因素集合是正确的假设的综合测验。由于这个问题，以及其他与数据和方法相关的问题，我们可能怀疑是否能够寻到支持或反对该理论的明确的实证。但它仍旧非常有用，因为它展示了套利的理论暗含，而不要求关于投资者对风险的态度和资产的收益分布的设想。

关键词

套利341

普通风险因素342

单一指数模型（SIM）342

套利机会348

因素负载342

系统风险345

套利投资组合356

因素投资组合356

三因素模型348

套利定价理论348

因素风险模型341

非系统风险345

套利利润350

单一价定律349

零β率357

生钱机器350

零投资组合341

特定资产事件342

多元指数模型（MIM）345

练习题

1．为什么单一指数模型（SIM）降低了在有效前沿解决优化组合需要的投入？

2．假设单一指数模型是真的，普通风险因素为国内生产总值：下表包括股票F的年收益和国内生产总值的年百分比（I）。

假设第6年E（I）为4%，根据过去的收益估计同年的E（R_F）。

3．a.解释套利定价理论，其设想有哪些？

b．套利定价理论与资本资产定价模型有什么不同？

4．假设套利定价理论直线上有三个组合，其参数如下：

零β率E（R_Z）为多少？风险奖励（E（R_I）-E（R_Z））为多少？

5．当实际测验资本资产定价模型与套利定价理论的有效性时，相似性与差别有哪些？

若想获得练习题的参考答案，请访问Levy-Post投资网站，网址为：http://www.booksites.net/levy

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附录套利定价理论的公式证明

在套利定价理论设想下，我们可以用下列特点来形成一个套利组合：

第一种情况是（方程11A.1）组合不要求投资：组合权重总数为0。从数学角度说，这种情况表明权重矢量（w₁，…，w_n）与统一矢量（1，…，1）呈垂直关系。接下来的K状态（从11A. 2a到11A.2K）表明组合没有系统风险：组合的β值都等于0。从数学上说，这些状态表明权重矢量与β矢量（B_1j，…，B_nj），j=1，…，K呈垂直关系。最后，组合实际没有包括非系统性的风险（11A.3）。

由于套利组合不包含净投资和风险，它必然产生零预期收益：

如果预期收益是正的，那么套利者可以通过购买这个组合得到无风险利润；如果预期收益是负的，那么套利者可以卖空这个组合得到无风险收益。从数学上说，11A.4的状态表明权重矢量（w₁，…，w_n）与预期收益矢量（E（R₁），…，E（R_n））呈垂直关系。

线性代数中一个著名的定理规定如果一列矢量与另一列矢量呈垂直关系就意味着该矢量与其他矢量也呈垂直关系，那么这后边的两个矢量呈平行关系。在这里，11A.1和11A.2a与11A.2K的（K+1）垂直状态意味着11A.4（K+2）的垂直状态。因此，定理意味着我们可以用敏感率的线性函数表达预期收益：

在这个表达式中，a₀是零β率组合的预期收益，或是E（R_Z）。可以通过形成拥有对第j个风险因素都有统一的敏感度和剩余风险因素的β率为零（或对于所有的s≠j，β_pj=1和β_ps=0）的被良好多样化的组合来得到每一个风险奖励a_j，j=1，…，K。这种组合有效地复制第j个风险因素，因为风险一样大（记住被良好多样化的组合没有非系统风险）。因此，组合的预期收益必须等于风险因素的预期收益E（I_j）。在公式11A.5中代入对于所有s≠j，E（R_p）=E（I_j），β_pj=1和β_ps=0得到：

E（I_j）=E（R_Z）+a_j

为得到aj风险奖励，给出a_j=（E（I_j）-E（R_Z））得出：

【注释】

[1]If E（e_i）is not zero，we can always add E（e_i）to α_i；then the mean of the deviations left is，by construction，zero. Also，when we run a regression to estimate β_i，the sample mean e_i will be zero.

[2]Section 11.1.2 generalises the analysis to the general multiple index model（MIM）with multiple common risk factors. In that section，footnotes formally derive the means，variances and covariances of the assets from the assumptions about the return generating process.This analysis also applies for the SIM discussed in this section；the appropriate results are obtained by setting the number of common factors（K）equal to 1.

[3]We use the‘indirect method’for computing portfolio variance rather than the‘direct method’（see Chapter 8）.In contrast to the indirect method，the direct method does not require information on the variances and the covariances of the assets.However，the direct method requires even more information，as it requires the returns of all individual assets in all possible states of the world（the number of states can be infinitely large）.

[4]Chen et al.（1986）identified these four common risk factors for the US stock market.However，there currently is no consensus on the relevant set of risk factors.

[5]In practice，factors such as GDP，inflation，interest rates and exchange rates are correlated.However，we can always convert a set of correlated factors into a set of uncorrelated factors using a statistical technique called orthogonalisation.Independent factors are convenient，because it simplifies the expressions for variance and covariance.Specifically.if E（（I_j-E（I））（E（I_k-E（I_k））））=0 for all j≠k,thenand Both equalities are needed to derive Equations 11.6a and 11.7a.

[7]Using Equation 11.5a,we findHence,we can rewrite variance as follows.Since，E（（I_j-E（I_j））e）_i=0,and，we find.

[8]Using Equation 11.5a,we find（R_i-E（R）_i）=（I_j-E（I_j））+e_i and R_s-E（R）_s=（I_j-E（I_j））+e_s.Hence, using some algebra,we find σ_i,s=E（（R_i-E（R）_i）（R_s-E（R）_s））=Eβ_ijβ_sjE（I_j-E（I_j））²+E（（I-E（I）e）_s+E（（I-E（I））e）_i+E（e_ie）_s=.The ultimate equality follows directly from the fact that the last three terms in the penultimate equation are assumed to be zero,i.e.β_ijE（（I_j-E（I_j））e）_s=0,β_sE（（I_j-E（I_j））e）_i=0，and E（e_ie）_s=0，for all i=1,…,n,s=1,…,n,and j=1,…,K.

[9]As a rule of thumb，a variable has a significant effect at a level of significance of 95%if the magnitude of the standard error is smaller than one-half of the magnitude of the coefficient estimate；in this case，the t-statistic（or the absolute value of the ratio of the coefficient estimate to the standard error）is larger than two.For example，for the first benchmark portfolio，the SMB beta is 1.384，with a standard error of 0.034，giving a t-statistic of 1.384/0.034=40.71，which is highly significant.For more details about hypothesis testing，refer to Section A.5 of Appendix A at the end of this book.

[10]The‘law of one price’states that two items that are the same should sell at the same price.Violations of the law of one price create opportunities for arbitrage if short-selling is possible.

[11]We need only to assume that investors prefer a higher return to a lower return.But differently，the utility of return must be increasing（see Chapter 7）.

[12]Appendix 11 formally derives the APT equilibrium relationship from the maintained assumptions.The proof focuses on the general MIM with K risk factors.The proof for the single-factor APT is obtained simply by setting K=1.

[13]This boils down to using the weights w_A=1，w_B=-2 and w_C=1.In other words，we need to short-sell two times portfolio B and use the proceeds to buy portfolio A and portfolio C.

[14]Note that the equation R_i=α_i+β_iI+e_i is always true as long as we do not specify the statistical distribution of the errors.To repeat，the SIM assumes that the errors have a zero mean and that they are uncorrelated with each other and with the common risk factor.These assumptions are violated in case of multiple common risk factors.The CAPM does not assume R_i=α_i+β_iR_m+e_i with the above conditions for the error terms.By contrast，practitioners and empirical researchers sometimes do make this assumption，which is needed to justify the use of OLS regression analysis（see Appendix A at the end of this book）.

[15]The final equation follows from the fact that β_im=（β_i1β_I1m+...+β_iKβ_IKm）.

[16]The references at the end of this chapter include an extensive list of empirical studies of the APT.

[17]See，for instance，Lawley and Maxwell（1936）for a detailed treatment of factor analysis.Roughly speaking，the technique determines a set of common risk factors and factor loadings such that the covariance between the residual returns（the returns after correcting for the risk factors，e_i）is minimal.The number of factors is determined by a predetermined probability（say，5%or 10%）that including additional factors will further improve the explanatory power of the model.Until Chen et al.（1986），empirical applications of APT were based on this technique.Roll and Ross（1980）is among the many studies that use factor analysis.Chen et al.（1986）tested the APT using a set of prespecified macroeconomic factors（term spread），credit spread，unexpected inflation and growth rate of industrial production.

[18]For this purpose，we can use the t-test and F-test discussed in Appendix A at the end of this book.

[19]Note that the Fama and French three-factor model is not an APT model.In fact，the model is not derived from any economic model.Rather，the model is motivated by the empirically observed size and B/M anomalies.Currently，the economic interpreting of the three-factor model is unclear.Apart from interpeting the model as an APT model，some think it is a conditional version of the CAPM that corrects for the variation of market betas during the business cycle（see Chapters 10 and 17）；others think it is an intertemporal CAPM（see Chapter 10）.