孔多塞陪审团定理与简单多数规则

一、孔多塞陪审团定理与简单多数规则

为了就问题做出探讨，作为分析的前提基础，我们首先基于陪审团审判犯罪嫌疑人的例子就问题做出一般的理论描述。考虑一个由n人组成的陪审团，该陪审团需要就某犯罪嫌疑人A是否有罪作出判决。判决有两种可能的方式：判嫌疑人A有罪或无罪。在判决过程中，由于个体认知的差异，各陪审团成员在A是否有罪的问题上可能存在观点的分歧。这样，为了能够做出决策，陪审团就需要在布坎南—图洛克（2000）意义上的“立宪”阶段去确定一套解决冲突的集体决策规则（令它为f）。于是，就产生了一个问题：集体决策的合理规则是什么？比如说，为了最大限度地保证集体能够正确地进行决策，我们需要采用什么样的方式来汇总个体的决策信息以形成整体的决策？

当然，为了就合理规则的选择问题展开分析，在问题描述的基础上，我们还需要就与问题有关的几个关键性参数做出设定：其一，关于陪审团成员能做出正确判决的能力。我们暂且假设各成员能正确进行判决的先验概率pi相同，均为p；当然，作为有点乐观但又不失其合理性的假设，我们始终假设p大于0.5（因为个体即便采取掷骰子的方式来决策，其正确决策的概率也是0.5）。正如后面的分析所表明的，假设个体正确决策概率大于0.5对于合理规则的制定具有重要的含义。其二，关于两类错误决策的危害程度。在判决过程中，集体始终面临两类决策错误的威胁：嫌疑人无罪情况下判其有罪的第一类错误以及有罪情况下判其无罪的第二类错误。就这两类错误而言，不管是哪一种都会对集体决策产生危害性。至于何种危害性的程度更大，我们暂且假设它们的出现对集体的危害程度是完全一样的。实际上，也正是因为等危害程度假设，此时集体决策规则的合理性我们可以以集体决策的正确性来加以度量和表示：合理的规则就是能够使得决策尽可能正确的规则！

在就问题做出描述并就相关因素做出设定之后，我们可以就集体决策的合理规则做出探讨。很显然，在这里所设定的环境中，由于规则f唯一可综合和利用的信息就是选择过程中支持各判决方式的人数，因此，合理的规则必然是有关备选对象得以通过所需要的支持人数比例的规则，即当有多少人认为嫌疑人有罪（或无罪）时我们就判其有罪（或无罪）的规则。与此同时，由于我们假设两类错误对于集体的危害程度完全等价，规则合理的标准应该以集体决策正确率最大或错误率最小来衡量。这也就意味着，这里所讨论的问题其实就是：认定嫌疑人有罪的人数比例如何设定才能保证陪审团正确决策的概率实现最大化？关于这一问题，早在1785年，孔多塞利用当时新兴的概率论知识对此做出了回答。在他看来，以多数人的选择为集体决策结果的简单多数规则是所有可能决策规则中最能做出正确决策的规则。或者换句话说，就综合个体有关事实问题的判断而言，简单多数规则是统计上最优的方法。至于为何如此，我们可以假设集体选择的规则为fk：即当有k人认定A有罪时陪审团就判定其有罪，然后通过在k与规则fk的正确决策率之间建立函数关系而对简单多数规则的合理性做出验证。

关于规则fk下集体能正确进行决策的概率问题，我们知道：从可能性上讲，集体的正确决策有且仅有两种可能类型：其一，在A有罪的情况下判其有罪；其二，在A无罪时判其无罪。因此，如果要确定给定规则下集体能正确进行决策的概率，我们需要计算给定规则下上述两类判决事件得以发生的概率。一般的，由于个体有罪无罪的先验概率是一样的，一旦这两类概率得以确定，规则在整体上能正确决策的概率就是它们的数学平均。那给定的规则fk下上述两类事件得以发生的概率具体为多少呢？作为分析的基础，我们令陪审团成员的判决组合是：认为A有罪和无罪的人数分别为z和n-z。那么，对于正确决策的第一种类型，给定规则下集体能正确选择的条件是z≥k，进而规则fk在个体有罪情况下能正确进行选择的概率就是所有满足条件z≥k的集体决策组合得以出现的概率和。至于这一概率和如何表示，由于单个满足条件z≥k的决策组合Dz得以出现的概率为（n！/z！（n-z）！）pz（1-p）n-z，因此，在个体有罪情况下规则fk判其有罪的总概率为所有满足条件z≥k的决策组合得以出现的概率的加总。至于正确决策的第二种类型，则为所有满足条件z＜k的决策组合得以出现的概率和。相应的，规则fk能正确判决的总概率P可以表示为：

P=1—2nz=k（n！z！（n-z）！）pz（1-p）n-z

+1—2k-1z=0（n！z！（n-z）！）pn-z（1-p）z（1）

由（1）式所表示的函数关系而言，孔多塞的陪审团定理以及后来Rae（1969）和Taylor（1969）就其他集体决策类型所做的分析表明：如果令n等于2m+1，不管p及n的取值大小如何，当k等于m+1时，P取值最大，即简单多数规则是最优的决策规则。至于其直观的理由，我们可以从规则在此类型集体决策中所起作用的角度来理解。首先，我们应该知道：对于任何类型的决策组合，规则在集体选择层面就备选对象所做的选择其实只是在两类正确概率（或两类错误概率）之间进行抉择，规则并不影响两类概率本身的大小。因此，对于任何可能的决策组合，如果给定的规则总能使得正确概率相对大的判决方式得以选择，那该规则必然是最优的。实际上，简单多数规则就是能够满足上述条件的决策规则，因为在p大于1/2的假设前提下，多数人的判断为正确的概率相比少数人的判断为正确的概率要高。关于这一点，孔多塞曾用统计学中的最大似然估计方法做出了论证。所谓最大似然估计方法，基本思想就是：估计所观察到的现象（在这里是我们所看到的陪审团成员的决策组合）在各种不可观察的各种可能状态（对应的是A事实上有罪和事实上无罪这两种情形）下发生的可能性，最有可能的情况就是产生观察结果概率最大的情形（Young，1995）。对此我们可以考虑一个由17人组成的大陪审团。假设：①陪审团成员判决的情况是9人认为A有罪，8人认为无罪；②p为0.8。那么，根据最大似然估计方法，其一，若A是有罪的，我们所观察到的决策组合（9人判定有罪，8人判无罪）得以出现的概率是（17！/9！8！）0.890.28；其二，如果A是无罪的，那么出现上述判决结果的概率则是（17！/9！8！）0.290.88。决策组合在前一种假设情形下出现的概率在数学上是后者的4倍，根据最大似然估计原理，嫌疑人有罪相比无罪的可能性要大。由于认为A有罪是多数人的判断，这意味着多数人的判断为正确判断的概率相对要高，进而以多数人的判断为依据，即采用多数规则作为集体决策规则就有其合理性了。