两类错误异值与受限多数规则

三、两类错误异值与受限多数规则

由于决策者理性的有限性：集体决策始终面临两类错误的威胁。对于这两类错误，前面的分析假设它们对集体的危害程度是完全等价的，此时合理规则的标准是基于正确决策概率来表示的。但实际上，就某些特殊的集体决策类型而言，两类错误对于集体可能具有不同的价值和含义。比如陪审团判决的问题，一般的，人们会倾向于认为：在个体无罪的情况下判其有罪相比将有罪者无罪释放要严重得多。公共决策中的其他问题也可能如此。既然这样，我们就有必要放开两类错误等价的假设而进一步考虑两类错误异值时集体决策的合理规则。当然，为了分析简化起见，我们重新假设个体正确进行决策的先验概率pi相同并保持其他设定不变。

关于两类错误异值时的规则选择问题，首先需要注意的是合理规则的标准：在何种含义上我们可以说规则是最好的？从理论上讲，既然此时两类错误的严重程度是不同的，而规则所做的选择其实是在两类错误之间的选择，因此，此时规则的合理性不仅要考虑决策错误的概率，而且应该考虑决策错误的成本。综合考虑就是应使得决策错误的预期损失最小化（或预期收益的最大化）。至于规则如何设定能保证预期损失最小化，Nitzan和Paroush（1984）所给出的分析逻辑表明：集体决策采用受限多数规则（qualified majority rule）就能做到这一点。关于受限多数规则的具体形式，就陪审团的例子来说，假设两类错误的成本分别为θ1和θ2，其中，θ1＞θ2。令β0=ln（θ1/θ2）以及β=ln（p/1-p）。受限多数规则fk由下式给出：

fk（x）={r，—z≥kn

s，—否则（8）

其中，

k=（1+β0/nβ）/2（9）

即如果陪审团要判A有罪，那么认为A有罪的陪审团成员比例至少要达到由（9）所定义的k这一水平。对于一个由7人组成的陪审团来说，如果个体做出正确选择的概率为0.7，假设两类错误的成本分别为20和1，那么，此时的决策规则就是：如果要判某A有罪，需要有75.3%或更大比例的陪审团成员认为其有罪才行，即需要采用近似3/4的规则而不是简单多数规则形式。这也就意味着，此时的决策规则给予碰巧认为A无罪的个体以特殊的决策权力。因为3/4的受限多数规则其实允许1/3的个体压倒作为多数的2/3的个体的决议，如果这1/3的个体认为A无罪的话。

至于采用受限多数规则的理由，我们可以给出一个简要的说明。任意考虑一个决策组合{xi}。不失一般性，假设该组合中认为A有罪和无罪的个体数分别为z和n-z。基于上述设定，我们分别可以得到此时决策规则判A有罪和无罪为错误决策的概率并得出相应的决策失误成本：

Cr=pn-z（1-p）zθ1；Cs=pz（1-p）n-zθ2（10）

与前面的论证存在相似性，如果存在一种决策规则具有如下性质：对于任意给定的可能决策组合类型，规则均能够保证预期成本要小的判决方式得到选择，那该规则必然是一个最优的规则。可以证明：这里的加权多数规则完全满足这一条件。首先，考虑Cr≤Cs的情况，由（10）可以得到：

z≥（n+β0/β）/2（11）

此时认为A有罪的个体比例不小于k，规则会判A有罪。反之，对于Cr＞Cs的情形，我们可以得到此时的根据规则会判嫌疑人无罪。综而论之，对于任何可能的投票组合类型，该决策规则都会选择预期成本最低的判决方式，因而规则是合理的决策规则。