规模效益不变与拐点的辨析

摘 要:本文对容易混淆的规模效益不变与拐点进行辨析,讨论了生产函数规模效应及边际生产报酬的直观、简单的图解判别方法,将切线截距与规模效应联立,生产函数的凹凸性与边际生产报酬对应,并给出严格证明,并用例题解释了规模效益不变点与函数凹凸拐点的区别。

关键词:规模效益;截距;边际报酬;拐点

一、问题产生背景

生产函数规模效应是微观经济学理论中一个经典论题。关于规模效益概念有描述性定义[1]～[5]、利用极限的概念做出的定义[6]或利用规模弹性参数定义[7]。大多数教材用简洁的公式或文字语言进行描述性定义,并用图示举例的方法加以说明,但未给出判断理论依据,这使得许多学生甚至一部分老师对该概念的理解比较模糊,经常会有本科生、研究生甚至有些教师也会把规模效益不变点与函数凹凸性的拐点等同起来。马占新[8]给出一个利用生产函数图像判断生产规模效益的例子,该例题的生产函数图像如图1所示。

图1 单生产函数与生产规模效益

书中解释如下:“当x＜x1时,Y″=y″(x)＞0,y为凸函数,表示当投入值小于x1时,厂商有投资的积极性(边际函数y′为增函数),此时称为规模收益递增;当x＞x1时,Y″=y″(x)＜0(y为凹函数),表示当投入值增加时,收入增加的效率已不高了,厂商没有再继续增加投资的积极性(边际函数y′为减函数),此时称为规模收益递减”。

书中关于A、B、C不同生产状态的规模效益的判断是正确的,但是在解释判断规模效益递增和递减时分别注明了函数的凹凸性,给读者的错觉是规模效益递增和递减与函数凹凸性有关,从而推导出函数的拐点应该是生产效益不变点。实际上,从图1我们可以看到,生产函数在A点与B点均为凹函数,函数图像为上凸,即A、B两点凹凸性相同,但规模效益不同,因此可以直观地判断生产函数的凹凸性与规模效益是两个不同的概念。本文以单生产函数为研究对象,研究规模效应与函数拐点之间的区别与联系,并用实例加以说明。

众多文献和教材中关于规模效益的定义尽管表达方式不同,但本质是一样的,本文不再一一列出,只给出下文将要用到的利用规模弹性的定义。

定义1[8]:规模弹性E等于产量y的变化率除以规模参数s的变化率:

规模弹性E衡量的是产出y对于所有投入发生同比变化的敏感程度。当E＞1时,产出对于规模变化的敏感程度较高;当E＜1时,产出对于规模的变

化敏感程度较低,因此称E＞1、E＜1和E=1分别为规模效益递增、规模效益递减和规模效益不变。

二、规模效应的判断依据

命题1 假设生产函数在定义域内单增、连续且可导,则对单输入生产问题,生产函数的切线交y轴的截距符号是判断规模效应的依据:生产函数在该点的切线截距的正负号分别对应于规模效益递减与递增,当截距等于零,即切线过原点时,该生产规模效益不变。

证明:设过生产函数(x,y)的点切线为y=kx+μ,其中且生产集(x0,y0)在该切线上,即y0=kx0+μ。不失一般性,设x0＞0,y0＞0。

(1)如果(x0,y0)点为规模效益不变,即因此生产函数在该点的切线截距为:

即μ=0。

反过来,若生产函数上点(x0,y0)的切线过原点,截距为零,即μ=y0-kx0=0,则

这说明(x0,y0)点为规模效益不变点。

(2)如果该(x0,y0)点为规模效益递增,因此生产函数在该点的切线截距为:

即μ＜0。

反过来,如果在生产函数上的点(x0,y0)的切线截距小于零,即μ=y0-kx0＜0,则

这说明(x0,y0)点为规模效益递增点。

命题得证。

例1 分析马占新[6]给出的生产函数,图像如图2所示。显然,A、B和C三点分别在生产函数图像上,即三点均为技术有效的。

图2 单生产函数曲线

由命题1可以直接判断:

(1)该生产函数在A点的切线截距小于零,因此该点的生产为规模效益递增。

(2)在B点的切线过原点,截距等于零,因此该点的生产为规模效益不变。

(3)在C点的切线截距大于零,因此该点的生产为规模效益递减。

三、生产函数凹凸性[3]分析

西方经济学中有一个理论为边际报酬递减规律,指的是在技术水平不变的条件下,在连续等量地把某一种可变生产要素增加到其他不变要素中的过程中,当这种可变生产要素的投入量小于某一特定值时,增加该要素投入所带来的边际产量是递增的;当这种可变要素的投入连续增加并超过这个特定值时,增加该要素的边际产量是递减的。实际上这个特定值就是生产函数的拐点,即生产函数在该点的二阶导数等于零。

命题2[5]假设生产函数在定义域内单增、连续且二阶导数存在,则对单输入生产问题,生产函数的凹凸性是判断边际报酬增减的依据:凸生产函数对应于边际报酬递增,凹生产函数对应于边际报酬递减,在生产函数的拐点,即二阶导数等于零时,该生产边际报酬不变。

证明:利用边际产量的定义[1]:

因此,如果边际产量递增,利用单增函数性质可知再结合公式(6)可得:

即生产函数是凸函数。

同理可得,如果边际产量递减,则生产函数为凹函数。相应地,当边际报酬不变时,生产函数的二阶导数等于零,对应于生产函数的拐点。

命题得证。

在例1中,由命题2可以直接判断:

(1)该生产函数A点为拐点,因此该点的生产边际报酬不变。

(2)该生产函数B、C两点在A点右边,即生产投入量大于A点的投入,函数均为凹函数,因此两点的生产边际报酬递减。

(3)在生产函数A点左边,即生产投入量小于A点的投入时,函数为凸函数,生产边际报酬递增。

四、规模效益与生产函数凹凸性的区别

例2 为了更清楚地说明规模效益与凹凸性的区别,我们将例题1中的生产函数向右进行平移h单位,得到一个新的生产函数g(x),见图3。

由生产函数g(x)的构造过程可知,生产函数f(x)上的点A、B、C分别与生产函数g(x)中的A′、B′、C′对应,h的选取使得生产函数g(x)在C′的切线过原点,且

即g(x)在A′、B′、C′这些点的切线斜率及函数的凹凸性分别与f(x)在A、B、C这些点的相同,因此由命题2可以直接判断:

(1)A点、A′点分别为生产函数f(x)、g(x)的拐点,因此两点生产边际报酬均不变。

(2)两个生产函数分别在B、C及B′、C′点为凹函数,因此这些点的生产边际报酬递减。

但是对于生产函数f(x)而言,B点为规模效益不变点,对生产函数g(x)而言,C′点为规模效益不变点,因此可以看出,规模效益并不等同于函数的凹凸性,两者之间没有直接的联系。

图3 单生产要素的两条不同的生产函数曲线

五、结论

本文讨论了生产函数规模效应及边际生产报酬的直观、简单的图解判别方法,将切线截距与规模效应联立,将生产函数的凹凸性与边际生产报酬对应,得到的判别方法简单易懂,并给出严格证明,并用例题解释了规模效益不变点与函数凹凸拐点的区别,加深读者对经济基本理论的认知。

参考文献

[1]高鸿业.西方经济学(微观部分)[M].北京:中国人民大学出版社,2011.

[2]侯锡林.微观经济学原理[M].北京:中国经济出版社,2011.

[3]祖晓青.微观经济学[M].成都:西南财经大学出版社,2012.

[4]杰弗里·M.保罗夫.中级微观经济学[M].北京:机械工业出版社,2009.

[5]达格拉斯·波恩海姆,迈克尔·惠思顿.微观经济学[M].项婷婷,译.北京:北京大学出版社,2010.

[6]易荣华.基于DEA的证券市场问题研究[M].上海:上海财经大学出版社,2008.

[7]马占新.数据包络分析模型与应用案例[M].北京:科学出版社,2013.

[8]休·格拉韦尔,雷·里斯.微观经济学[M].秦向东等,译.上海:上海财经大学出版社,2009.

[9]同济大学数学系.高等数学(第六版)[M].北京:高等教育出版社,2007.

[10]华东师范大学数学系.数学分析(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2011.

Difference Constant-Returns-to-Scalefrom Inflection Point

Bai Yunfen

Abstract:This article discusses how to determine return to scale and marginal return from production function and gives an intuitive and simple method.It concludes that the intercept sign of tangent line is the key to discriminate return to scale and the concavity or convexity of the production function corresponds to marginal returns.The strict proofs are given in the paper and an example is given to explain the difference of scale invariant inflection point and convex function.

Key Words:Return to Scale;Intercept;Marginal Return;Inflection Point

[1] 上海市教委重点课题(12ZS125);上海师范大学自科学基金(SK201314);上海师范大学社社基金(A-3131-12-004018)。

[2] 白云芬(1973—),女,河北石家庄人,上海师范大学商学院副教授,理学博士、硕士生导师,研究领域为金融数学。

[3] 严格地,凸函数的定义是f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2),0≤λ≤1如果该函数二阶可导,则二阶导数大于零。从函数图像上说,如果将该函数图像任意点连线,则该线段在函数图像上方;许多非数学专业的师生在教学过程中误把该类函数定义为凸函数,实际上相关文献指出满足该性质的函数图像是凹的,并没有明确指出该函数为凹函数,两者并不矛盾,希望引起读者注意。类似地,将凹函数图像任意点连线,得到的线段在函数图像下方,如果该函数二阶可导,则二阶导数小于零;如果将函数图像某点附近的左右任意两点连线,得到的线段一部分在函数图像下方,一部分在函数图形上方,则该点为函数的拐点,如果该函数二阶可导,则二阶导数等于零。