基于超阈值理论的流动性风险动态

7.3.1 基于EVT-POT的Va R测度方法

1)超阈值(Peaks Over Threshold，POT)模型

前面介绍的分块样本极大值模型与分块期间的大小有关，往往造成大量数据的浪费，不能满足估计的大样本条件，增加了其参数估计的不确定性。超阈值(POT)模型是对样本中超过某一充分大的阈值的所有观察值进行建模，该方法还为在险价值(Va R)的计算提供便利，被认为是极端值建模实践中最有用的模型之一。POT方法的思路是在总体分布未知的情况下，可用超过某一阈值u的样本作为极端事件，对极端事件建模重在估计超过某一阈值u的超额数(Y=X-u)的分布，并在此基础上估计总体分布函数。POT方法利用Frechet分布类型中的广义帕雷托分布(Generalized Pareto Distribution，GPD)来拟合超额数分布，由超额数分布间接得到最后的实际样本极端值分布(在风险价值计算中，通常是左尾的极端值分布)，然后根据这一分布直接求出风险价值。当然，POT模型的使用必须满足一些前提假设:

(1)超额值彼此相互独立且均服从GPD分布。

(2)超额值发生的时间服从泊松分布。

(3)超额值与超额值的产生时间相互独立。

假定X1，X2，…，Xn是独立同分布(i.i.d)随机变量，其分布函数记为F(x)， x0表示F(x)的右端点，即x0=sup{x0∈R:F(x)＜1}，用u表示一充分大的阈值，设超过u的样本个数为Nu，分别记为X1，X2，…，XNu，则样本超额数y=Xi-u，其中i=1，2，…，Nu，其分布函数为:Fu(y)=Pr(Y≤y｜X＞u)，其中0≤y≤x0-u。

整理得:

当X＞u时，x=y+u，于是上式可变为:F(x)=[1-F(u)]Fu(y)+F(u)。

Balkema和De Haan(1974)和Pickands(1975)的研究表明，若F属于广义极值分布Hξ的最大吸引场，则超额数分布的极限分布是广义帕累托分布(GPD)。GPD的分布函数表示如下:

式中，ξ是广义帕累托(GPD)分布的形状参数，δ是分布的尺度参数。给定阈值u后，广义帕累托分布的参数ξ和δ是可以确定的。当形状参数ξ＞0时，Gξ，δ是重新参数化的普通帕累托分布，其形状参数为α=1/ξ，此时广义帕累托分布是厚尾的，对于k≥1/ξ的各阶矩都不存在，即E(Xk)=∞，这类分布广泛的运用于金融时间序列的厚尾分布建模，通常ξ≤0.5，这意味着时间序列的方差是有限的。当ξ=0时，GPD对应的是指数分布，即分布函数F处于Gumbel分布族中；当ξ＜0时，GPD是帕累托II型分布，即分布函数F处于Weibull分布族。

2)GPD的参数估计——最大似然法

假设极值渐进服从广义帕累托分布的极大似然估计法是完全参数方法，要得到分布函数的估计分布，需要由两步实现:

步骤1 由式(7-26)可知，当ξ≠0时，GPD的密度函数为:

其对数似然函数为:

当ξ=0时，对数似然函数为:

由似然函数可推导出似然方程，求解可得到β和ξ的最大似然估计。

步骤2 极值理论表明，对于充分高的阈值u，阈值为u的超额数分布函数可用帕累托分布近似，即Fu(y)≈Gξ，δ(u)(y)。通过条件分布变换可得到超过阈值的金融资产回报尾部的分布，令x=u+y，当x＞u时，损失分布的尾部F(x)=(1-F(u))Gξ，δ(u)(y)+F(u)。对于F(u)的估计，通过采用历史模拟方法，即用(n-Nu)/n作为F(u)的经验估计(Nu为大于u的x的个数)，用ξ，δ(u)(x-u)估计Gξ，δ(u)(x-u)得到F(x)的估计值为:

3)GPD的参数估计——Hill估计法

Gnedenko(1943)曾证明当变量分布F(x)的尾部像幂指数一样衰减，则F(x)处于Frechet的最大吸引场中。极限条件下，“厚尾”分布变量的尾部分布都可以用幂函数近似，即当n→∞时，(x)=1-F(x)=Pr(X＞x)≈L(x)· x-α。根据幂指规则，Hill提出了具有厚尾特征的金融资产回报的尾部分布可写作如下一阶帕累托幂函数形式:(x)=Pr(X＞x)≈α·x-α，(α＞0，x→∞)。考虑样本次序统计量X(1)≥X(2)≥…≥X(T)对于正整数k，ξ，Hill给出了分布尾指数α＞0的一阶矩估计形式又称为Hill估计量:

若F处于广义极值分布分布GEV的吸引场中，那么当时，以概率收敛到ξ，且服从渐进正态分布，渐进方差为

4)基于EVT-POT的风险测度Va R与ES

我们由Pareto分布的尾部估计公式求反函数，再把Va R=F-1(p)代入，就很容易地得出:

超过Va Rq的期望损失为:

ESq=E[XX＞Va Rq]=Va Rq+E[X-Va RqX＞Va Rq](733)

其中，E[X-Va RqX＞Va Rq]是阈值Va Rq的剩余分布FVa Rq(y)的均值，用GPD近似估计FVa Rq(y)有形状参数ξ和尺度参数β(u)+ξ(Va Rq-u)，因此，E[X-Va RqX＞Va Rq]=要求ξ＜1。因此，期望损失估计值为:

7.3.2 基于EVT-POT的参数估计[1]

金融时间序列分布分位数的估计和风险的度量关键在于阈值u的选取，以及超额数广义帕累托分布的参数估计，在此之前需要做数据服从广义帕累托分布的可接受性QQ图检验。

1)QQ图

QQ图(分位点对分位点图)通过不同置信水平下的假设分布的分位数和经验分布的分位数对比组成，该方法是用来检验样本是否来自于特殊分布的可视化方法，如果样本确实来自假设分布则QQ图会近似于直线。若离差曲线是凹的则表明，实际分布相对假设分布厚尾。图7-1给出了上证指数、中金岭南与浦发银行流动性变化率的正态分布QQ图，研究表明他们的真实分布都比正态分布有更厚的尾部，因此，我们可以用极值理论——广义帕累托分布的方法对序列进行拟合。

图7-1 研究样本的正态分布QQ图

2)阈值u的选取

利用POT法计算Va R值的时候，我们需要确定阈值的选取，及参数u，σ，ξ的估计。太高的阈值会导致太少的超额数，使得参数估计的方差太大，而太小阈值u又可能引入过多的中心数据，产生有偏估计。实际应用中，对u的选取时根据广义Pareto分布的超额均值函数e(u)的线性性质得到的。

若随机变量X服从Gξ，σ(x)，则其超额均值函数为:

其中:当ξ≥0时，ξ＜1；当ξ＜0时，0≤x≤-σ/ξ。所以可以看出e(u)是u的线性函数。对于给定的样本X1，…，Xn时，e(u)可以由样本超额函数来估计:eu(u)=，k=min{ixi＞u}，即e(u)为超过阈值u的超额数Xi-u之和除以超过阈值u的样本个数，可以通过样本超额均值函数图形选取适当的阈值u。

我们按照上述方法画出了样本超额均值函数关于阈值u的图形，(e(u)， u)，如图7-2所示:

图7-2(a) 上证指数的样本超额均值函数图

图7-2(b) 中金岭南的样本超额均值函数图

图7-2(c) 浦发银行的样本超额均值函数图

样本超额均值函数图表明了样本超额均值随阈值u的变化而变化的情况，如图7-2所示。从中可直观地看出，点(u，e(u))处以上部分有明显的正斜率直线趋势。上证指数阈值u=0.43时，右边部分由明显的正斜率直线趋势，共有185个数据用于极值分布的参数估计，占样本总数的10.93%，阈值左边样本数的比率为89.07%；类似地，可以判断出，中金岭南的阈值u=0.54，阈值u的右边共有205个数据可用于极值分布的参数估计，占样本总数的12.09%。浦发银行的阈值u=0.61，阈值u的右边共有146个数据，占样本总数的8.63%，以上数据都在所预计的合理范围内。

3)基于POT方法的广义帕累托参数估计

在确定了阈值u的情况下，采用最大似然函数法，对参数进行估计，估计结果如表7-12所示。

表7-12 基于超阈值(POT)法的广义帕累托参数估计

为了检验参数估计的结果是否合理，我们对用超阈值(POT)法对时间序列进行拟合后的残差进行诊断，图7-3给出了残差的超额分布函数和拟合残差的指数分布QQ图。当ξ=0时，GPD对应的是指数分布，即分布函数F处于Gumbel分布族中，这里残差的QQ图表明，残差值几乎与指数分布在同一条直线上，可以认为上述运用POT方法进行的参数估计过程是合理的。

图7-3(a) 上证指数拟合残差的剩余分布图

图7-3(b) 上证指数拟合残差的指数分布QQ图

图7-3(c) 中金岭南拟合残差的剩余分布图

图7-3(d) 中金岭南拟合残差的指数分布QQ图

图7-3(e) 浦发银行拟合残差的剩余分布图

图7-3(f) 浦发银行拟合残差的指数分布QQ图

7.3.3 基于EVT-POT的流动性风险测度[2]

1)基于POT方法的流动性风险Va R值与ES值计算

表7-12给出了基于超阈值法(POT)的广义帕累托分布的参数估计结果，在阈值参数u，形状参数ξ和尺度参数δ的估计值^ξ和^δ已知的情况下，我们可以计算置信水平p下的Va R值:

表7-13 不同置信水平下流动性风险Va R值及ES值

2)有效性检验

由二项式过程可得在T个样本中发生N次失败的频率为:(1-p)T-Np N。Kupiec提出了对零假设p=p*最适合的检验，即似然比率检验，也称为LR检验，表示为:

LR=-2ln[(1-p*)T-Np*N]+2ln[(1-N/T)T-N(N/T)N](737)

在零假设下，统计量LR服从自由度为1的χ2分布，它的95%置信水区临界值为3.84，如果LR＞3.84，则拒绝原模型。表7-14给出了90%、95%和99%置信水平下，采用EVT-POT方法计算的各个样本流动性风险Va R值的Kupiec失败率检验结果。

表7-14 基于EVT-POT的流动性风险Va R值有效性检验

7.3.4 采用BMM方法与POT方法计算流动性风险Va R的结果比较

在给定的置信水平下，无论是采用分块样本最大法(BMM)还是采用超阈值法(POT)极值方法估计出的Va R值始终比方差——协方差法估计出的要大，这是因为对数收益率的厚尾现象，用传统的正态分布假设会严重低估风险价值，而且极值方法能够有效地捕捉极端事件，所以使用极值方法所得到的风险值比使用传统Va R模型得到的风险值更符合风险的实际大小，且使用极值方法一般均会略高估实际风险，极值方法是一种较为保守的有效的风险度量方法。由表7-11和表7-14可知，在给定的显著性水平下Va R值的失败率均低于显著性水平，这说明用极值理论的分块样本最大法或用超阈值方法估计得出的Va R结果比较保守，这并不利于风险控制。相比较而言，基于POT方法得到的Va R值比基于BMM方法得到的Va R值有较高的合理性，这主要是因为BMM方法仅利用了分块组中的最大值，造成大量有用信息的浪费，而POT方法是基于全部数据估计得到的。

[1] 这部分内容摘自国家自然科学基金项目“证券市场流动性价值理论与实证分析技术”(编号:70773075)的研究成果。

[2] 这部分内容摘自国家自然科学基金项目“证券市场流动性价值理论与实证分析技术”(编号:70773075)的研究成果。