养老债务精算

一、成本与债务估计的基本问题

(一)成本与债务估计的意义

给付确定养老金计划,预先承诺养老金水平。养老金水平通常以一定的养老金替代率规定,养老金替代率是退休时每年得到的养老金替代在职期间工资的比率,一般用退休当年得到的退休金与退休前一年工资或退休前几年平均工资的比值表示。在基金积累模式下,需要估计为实现对未来的承诺每年的缴费水平,年成本就是把承诺的未来给付责任分摊于缴费年的数额。它取决于承诺的给付种类、给付水平、养老金计划参加人员的死亡率和利息率等风险因素,以及所选择的成本估计方法。

养老金计划的实际成本,在计划承诺的给付全部付清之前是未知的,计划的最终成本等于所有给付支出加上计划管理费用减去投资收益。年成本的估计需要在合理的精算假设下进行,精算假设是对未来风险因素发生规律的假设,它与未来实际情况有一定的差异,有时计划承诺的养老金水平也可能随经济情况的变动而调整,这使得依据精算法估计的养老金成本,可能不足以应付未来的承诺,使计划积累的基金不能完全抵偿积累的债务,从而存在着某些净债务,表明计划处于收不抵支的状态。为了监测计划的财务状况,需要定期测算该计划的成本和债务状况。

缴费确定计划预先确定缴费水平,给付状况由缴费额度及其投资收益确定,在实账积累的缴费确定计划中,计划债务就是积累的缴费和积累利息,如果缴费和累积利息以个人账户的方式记录,计划债务就是个人账户的累积额。因此,债务水平在任何时点都等于积累的资产,也就是说,计划的给付现值在任何时点都等于已积累的基金现值,计划不存在未备基金债务。缴费确定计划精算的主要方面是在计划建立前,根据养老金计划的给付目标和预计的未来投资收益,估计合适的缴费水平。但缴费水平并不追随给付目标和计划债务状况而调整。

因此,对于给付确定计划,成本债务的估计是建立和维持计划良好财务状况的前提,对于缴费确定计划,精算的任务主要是根据预计的给付和利率估计缴费水平,以及对投资利率进行预测,不存在对计划债务的定期监测问题。但是,给付确定计划成本与债务的估计、缴费确定计划缴费水平的估计,都是建立在给付现值与缴费现值平衡的关系上的,因此,两种计划的精算方法原理一致,只是实际测算的重点不同。本节主要研究给付确定计划的成本债务估计方法。

(二)养老金计划的人口理论

养老金计划人口包括参加计划的在职人口,退休前退出计划但已经积累了一定养老金权利的人口,退休人口和死亡人口等。计划人口的数量、性别和年龄分布、已工作年数分布、开始参加计划的年龄分布等方面,构成了计划人口的重要特征,养老金给付和缴费一般以工资的一定比例规定,因此工资的分布也是养老金计划人口的重要特征。

养老金计划人口数量因参加计划人口的死亡、退休、调离、伤残等因素而减少,因不断的新加入职工而增加。当引起人口增减的因素在长期内保持恒定不变时,也就是新增人口的数量和年龄结构不变,且减因概率不变。理论上说,经过长期发展,计划人口将成为年龄结构和工作年数稳定的静止人口。当人口到达静止状态时,计划给付不变,其他影响成本的因素也保持稳定时,计划的正常成本和债务将稳定不变。与静止人口对应的是稳定人口,当计划人口的年龄和工作年数分布稳定不变,总人口稳定增加的人口称为稳定人口。静止人口和稳定人口是两种理论人口模型,实际养老金计划人口在每年新加入人口数量和结构、死亡率等原因概率变动的影响下表现出各种类型的波动。

成本与债务的精算估计是在封闭人口下进行的,封闭人口指现有人口数量和结构不变,并没有人口的增减变动。在长期估计中,需要每年或每隔两三年重新估计,构成一系列封闭人口下的估计。在长期预测中,需要考虑每年增加的职工、他们的年龄和工资分布,这时的估计成为开放人口估计。

(三)养老金计划的精算假设

1.减因概率

养老金计划精算的目的,是在预定的缴费水平下估计养老金给付水平,或在预先承诺的养老金水平下计算缴费水平。这需要对缴费和给付的条件及其规律进行研究。养老金计划主要提供退休年金,以保障职工退休后的老年生活。退休年金以职工参加养老金计划,并且在退休后生存为给付条件。此外,因发生死亡、残病、提前退休、调出等原因退出养老金计划也应该有一定的给付。养老费的缴付以职工在职存活为条件,职工死亡、残病、调离后不再缴费。如果不考虑残病和提前退休风险、并正常退休规定为某一固定年龄时,分年龄死亡率和调离率,构成职工养老金计划的两个减因。在进行养老金计划的精算估计时,需要根据过去的实践和对未来的预测对死亡率和调高率作出假设。

计算养老金成本和债务的基本假设,包括计划参加人口的各种减因率,未来工资的变动率和利息率等。参加计划人员的风险因素有死亡、伤残、因变换工作调出、退休等。职工退休后只受死亡因素的影响。风险因素的发生规律用各因素发生的概率表示,在多个因素共同作用下,职工退出在职状态成为非在职人员,以表示x岁的职工在t年后仍在职的概率,分别以表示x岁的职工在t年内死亡、调出、伤残和退休的概率,在退休前有:

如果不考虑伤残因素,并退休规定在某法定年龄r上,则上式成为:

如果不考虑退出因素,或者说假设退出概率为0,上式可以简单地表示为:

tpx=1-tqx

其中,tpx为x岁的人在t年内死亡的概率。

2.工资增长率

养老金计划的缴费和给付,通常与职工在职期间的工资水平相联系。退休给付目标一般规定为一定的退休金替代率,退休金替代率是退休金替代退休前工资收入的比例。养老金计划缴费一般也以工资的一定比例缴付。因此,职工工资的变动规律成为养老金计划成本和债务估计的基本假设之一。职工工资随工龄、工作业绩、劳动生产率和通货膨胀率而变动。根据工资随工龄的变动规律,再加上通货膨胀率和劳动生产率使职工工资的增长率,可以估计职工工资的变动规律。设职工在x岁的业绩工资为(SS)x,x岁职工的当年工资Sx,职工在y岁加入计划的工资为Sy,有)。其中,I为通货膨胀率使职工工资提高的比率,P为劳动生产率使职工工资的增长率,是工作业绩提高使工资的增长比例。从加入年龄y岁起到x岁的累积工资额以Sx表示,

3.利息率

利息率是计算养老金缴费现值和终值的重要因素。设i是t年利率,则n年后一元的现值为。当i1=i2=…=in,上式为。vn是以利率i计算的一元n年现值。

(四)养老金计划的长期精算

给付确定养老金的计划,在预先规定给付水平时,需要对年成本与精算债务进行估计。缴费确定养老金计划,在预先规定缴费水平时,需要估计退休后的待遇水平。

给付确定计划的正常成本是计划未来承诺的所有给付现值在成本分摊年的分配额,其年末的精算债务是过去累积的成本终值。成本与债务的估计方法分为两大类,一类是给付分配精算成本方法,一类是成本分配精算成本方法。给付分配精算成本法预先把承诺的退休后年给付水平分摊到各个成本分摊年份,形成在各个成本分摊年内得到的给付承诺,或是说每年得到的给付增加额,各年得到的给付承诺在分摊年的现值就是年成本,精算债务是累积得到退休金的权利现值。给付分配精算成本法中,根据给付分配的方法分为水平分配和比例分配。

缴费确定计划给付水平精算中,根据基金的平衡模式分为代内平衡和个人账户模式,代内平衡的精算模型与待遇预定计划相同,以工资比例缴费时,退休时年给付水平可由其推导公式得到。个人账户平衡公式在已知个人生命周期时,缴费和退休后的年金给付均是确定年金。在个人账户下,人均退休后给付额的计算公式与代内平衡公式相同。

养老金计划的长期精算估计对平滑长期内的缴费率,测算满足一定基金目标下长期内收支平衡,估计计划的长期精算平衡状态等,有重要意义。长期精算估计的主要内容,是长期内综合收入率、成本率和长期精算平衡估计,以及长期内计划精算债务、净债务和计划基金状态的估计。长期综合收入率是预测期内每年总收入现值与时期内缴费工资现值的比例,长期综合成本率是预测期内每年支出现值与时期内缴费工资现值的比例。长期综合收入率与长期综合成本率之差,是长期精算平衡值,当长期精算平衡值为正值时,表明计划在长期内收支有结余,计划处于精算盈余状态,否则处于精算赤字状态。

(五)退休给付的方式

1.退休给付公式

养老金计划退休给付通常与职工的工资、工作年数有关。在职期间的工资越高,工作年数越多,得到的退休给付越多,有时退休给付只与工作年数有关。在美国,企业养老金计划给付通常有平均工资方式和最后平均工资方式两种。前者以在职期间平均工资的一定比例乘以工作年数规定给付水平;后者以退休前一年或几年平均工资的一定比例,乘以工作年数规定给付。由几个企业联合设立的养老金计划,养老金一般规定为固定数额与工作年数的乘积。

(1)水平给付。水平给付的给付公式为每参加养老金计划一年得到固定数额的给付。比如,计划规定每年得到固定数额k元,职工的工作年数为N年,退休给付Br为k N。如果从y岁开始加入计划,在x～x+1岁当年得到的养老金权利以bx表示,到x岁累积得到退休金的权利以Bx表示,,在水平给付下:

Bx=(x-y)bx

(2)平均工资给付。平均工资给付以职工加入计划到退休前平均工资的一定比例乘以工作年数规定标准。

退休给付=参加养老金计划期间个人平均工资×规定每年得到的比例系数×工作年数

　　　　=参加养老金计划期间个人工资总额×规定的每年得到的比例系数

以平均工资的一定比例规定给付时,每年得到养老金权利,实际上是当年工资的固定比例,设固定比例为g,则每年得到的给付权利为bx=g Sx,累积得到的给付权利为:

Bx=g Sx

(3)最后平均工资给付。在最后平均工资给付规定下,退休给付规定为每工作一年可以得到退休前一年或几年平均工资的某一比例。

退休给付=退休前最后几年的平均工资×规定的比例×工作年数

在最后平均工资给付规定下:

其中,n为规定的计算最后平均工资的年数,k为规定的每年比例,r为退休年龄,y为加入计划的年龄。简化上式,可以得出:

2.给付方式

退休给付通常有以下几种给付方式:(1)生存年金。在退休职工生存期内给付年金,死亡后没有给付。(2)在退休后给付一定时期的确定年金,之后给付生存年金。如分期返还年金和全额返还年金等。(3)联合生存年金,提供两个人中任一人以存活为条件的生存年金,如夫妇老年收入保障,当其中一人死亡后,给付减少一半或更多。(4)退休时的现金选择,即一次性取出所有未来给付。

(六)基本成本概念

1.未来给付精算现值

未来给付精算现值是养老金计划承诺的所有未来给付在计算时点的现值,它是养老金计划承诺的总债务。养老金计划的未来给付主要是退休给付,在规定条件下,当职工死亡、伤残、中途离职调离时也有给付。x岁的未来给付精算现值(Present Value of Future Benefits)以PVFBx表示。如果只考虑退休给付,并退休金不随生活水平和通货膨胀而调整,年退休金规定为Br,

其中,是x岁的人在r岁退休前仍在养老金计划中的概率,vr-x是利率在r-x年前的折现值,是从x岁起每年初一元生存年金的现值。当未来给付是每月给付一次时,设每月给付额为Br/12,未来给付精算的公式为:

其中,-11/24。假设给付Br不变,来来给付精算现值决定于存活概率、利率折现系数和年金系数。在工作期间,由于在年龄趋于退休年龄r时趋于1,那么,PVFB随着年龄的增长而提高,在退休后,由于年金因素αx是x的减函数,PVFB随着年龄提高而降低。在某一年龄上,未来给付精算现值与退休时的给付额成正比,与利息率和减因概率成反比。

2.计划中止债务

计划中止债务(Termination of Plan Liability)是养老金计划中止执行时,过去已经积累的养老金债务。它是养老金计划参加者已经得到的养老金权利的现值,或者说是计划已经承诺的养老金现值,不考虑将来可能产生的养老金权利。计划中止债务的计算公式为:

其中,TPLx为x岁职工的计划中止债务,Bx为y岁进入计划在计划中止时的年龄x岁上已经累积得到的退休给付权利(y<x),为在单减因下,从x岁存活到r岁的概率。

与未来给付精算现值的计算公式比较时,可以发现,对于已退休的职工,未来给付精算现值与计划中止债务相等。两者对在职参加者的区别是:

(1)计划中止债务是到x岁累积得到的养老金权利Bx的现值,而未来给付精算现值是退休时将得到的年给付Br的现值。因为若计划中止执行,计划参加者将不可能得到计划原来承诺的所有退休后给付,只能得到过去参加计划期间已经得到的部分。

(2)在计划中止债务中,存活概率是只包括死亡一个减因的概率,而不是包括死亡、伤残、退出等多减因的概率。因为若计划停止执行,职工在退休前伤残或退出计划仍然有权利得到过去已积累的养老金权利,但在退休前死亡,将不会得到这一权利。

养老金计划的中止债务是每个参加者中止债务的总和。计划中止债务通常用于衡量计划的资产状况,如果计划的累积资产与计划中止债务相等,这个计划在财务上能够保证在计划中止时债务的兑现。

3.计划继续债务

计划继续债务(Continuation of Plan Liability)是假设计划一直持续下去(不考虑新加入职工),对目前的职工和养老金领取人承诺的给付现值,或者说他们已得到的养老金权利现值。已得到的给付权利等于已经加入计划年数在预计加入计划总年数中的比例乘以退休给Br。对y岁加入计划,现在x岁人的计划继续债务CPLx 为:

与计划中止债务不同的是,计划继续债务包含了未来给付变动的影响。同时,减因概率是包括死亡、伤残和调离等所有减因的概率。

值得注意的是在未来给付精算现值、计划中止债务、计划继续债务等的估计中,年金系数直接采用了定额年金,这实际上假设退休给付不作调整,如果退休给付随着社会平均工资或物价变动而调整,退休后的给付便成为一种变额年金,此时的年金系数成为以退休金增长率增长的资料,退休年龄上的一元生存年金系数αx,用退休时以平均余寿为时期长度的确定年金系数αer代替,精算上确定年金系数。如以确定年金系数代替生存年金系数,会高估年金系数。

4.正常成本

养老金计划的正常成本是分摊未来给付精算现值于某年的值,或者说是某年得到的养老金权利的现值。计划正常成本的数值在不同的计划方法下是不同的,不同的精算成本方法在分摊未来给付精算现值的模式上存在差异。x岁职工的正常成本(Normal Cost)以NCx表示,未来给付精算现值是过去正常成本的累积值与未来正常成本现值之和。

PVFBx=AVPNCx+PVFNCx

AVPNCx(Accumulated Value of Past Normal Cost)是x岁过去正常成本的累积值,PVFNCx(Present Value of Future Normal Cost)是x岁未来正常成本的现值。其中:

在加入年龄上,由于没有过去成本,正常成本的现值等于未来给付精算现值。

5.精算债务

养老金计划的精算债务,是过去累积的获得养老金权利的价值,或者说是计划未来给付的净责任。从未来看,它是未来给付精算现值与未来正常成本之差。从过去看,它是过去积累的正常成本。在建立计划时,对具有一定工龄的职工在过去工作期间的贡献,有时也承诺了养老金,但不会有过去成本分摊,此时计划存在初始精算债务。初始精算债务以计划补充成本债务的形式存在,它是没有用计划正常成本分摊的部分。因此,在计划建立之初,计划的精算债务、补充精算债务和初始精算债务是相等的,计划执行第一年末,精算债务由第一年发生的成本、过去已有的补充债务的利息而增加,由给付的支出而减少。有时,当计划重新调整给付额时,也会产生补充精算债务。此外,精算假设的变动以及计算成本时的精算假设,与实际的差异等产生的精算债务,通常也以补充债务的形式存在。

补充债务是未来给付责任没有被正常成本分摊的部分,它等于未来给付精算现值与未来正常成本现值、过去正常成本累积终值之差,加入补充成本债务的概念,养老金计划的精算债务,是正常成本债务和补充成本债务之和。从过去看,正常成本债务是过去正常成本的累积额;从未来看,是未来给付精算现值与未来年成本现值之差。精算债务是过去正常成本的累积额与补充成本债务之和,也是未来给付精算现值与未来正常成本之差。x岁的精算债务(Actuarial Liability)以ALx表示,x岁的补充成本债务(Supplemental Liability)以SLx表示,x岁的正常成本债务以SLx表示,x岁的正常成本债务以NLx表示:

ALx=PVFBx-PVFNCx(x-r)

ALx=PVFBx(x≥r)

ALx=NLx+SLx

SLx=PVFBx-(PVFBx+ANPNCx)

6.补充成本

补充成本债务的分摊形成补充成本。在某些计划下,初始补充债务不分摊,为了避免补充成本债务的增加,以精算假设的利率使其产生利息,以补充债务的利息作为补充成本。此时,由于初始精算债务的存在养老金计划永远不会是完全基金的。一般情况下,补充债务需要以一定的方式分摊于未来成本中,常用的分摊方法有两种,一种是不考虑死亡率和其他风险因素,将补充债务在规定的分摊期内等额分摊,补充成本就是用n年一元定期确定年金去除初始补充债务的值。一种是以工资的一定比例分摊,以某年工资乘以补充成本债务与未来工资现值的比例计算补充成本。计划正常成本与补充成本之和是年成本。x岁的补充成本(Supplemental Cost)以SCx表示,年成本(Annual Cost)以ACx表示,以AVPSCx表示x岁过去补充成本的累积额,PVFSCx表示x岁未来补充成本现值,有:

SLx=AVPSCx+PVFSCx

ACx=SCx+NCx

补充成本是补充成本债务在分摊期内的等额分摊时,SCx=SLx/αn。

7.未备基金债务

未备基金债务又称净债务,有时也称精算赤字。当计划过去成本累积形成的资产额小于计划的精算债务,此时计划存在未备基金净绩效。T年计划的未备基金债务(Unfunded Liability)以ULt表示,ULt=ALt-1年计划资产。

8.精算收益和损失

养老金计划的成本与债务是根据精算假设在实际成本债务发生之前估计的,精算假设的死亡率和利率等风险因素与实际发生的情况存在差异,当精算假设的情况比实际发生的更有利时,会产生精算收益,反之,会产生精算损失。某一假设可能在某一给付方面产生收益,在另一给付方面产生损失,比如,当年轻的职工死亡率比假设数据更低时,在退休给付方面,会产生精算损失,但在死亡给付方面会产生精算收益。养老金计划在某年的精算收益或损失反映了各方面精算收益和损失的总和。

养老金计划的精算收益和损失有时会自动地分摊在成本中,精算收益被用来冲减计划的未备基金债务在选择的年份内分摊。

(七)成本与债务估计方法的分类

养老金计划的成本,是未来给付精算现值分摊于各年的数额不同的分摊模式,形成了不同的成本分配方法。也就是说,成本与债务的数额在不同的成本债务方法下是不同的。根据成本债务估计方法的不同特征,可以进行不同的分类。常用的精算成本方法有两种:

(1)直接以每年固定数额或工资的一定比例分配未来给付精算的现值,这种方法称为成本分配精算成本方法。

(2)把将来得到的给付总权利分配于各个缴费年度,使年成本成为当年得到的给付权利现值,这种方法称为给付分配精算成本方法。

在给付分配精算成本法中,计划给付首先分配在各年中,然后计算已经得到给付的精算现值。

成本分配精算成本法的大致计算程序是:

(1)计算所有预计给付的精算现值,再分配于各年,而不分配于给付的本身。

(2)根据精算成本方法是否产生补充债务,可以分为有补充债务和没有补充债务两种。当成本方法不产生补充债务时,必须把计划的所有给付现值,包括计划建立时,对过去工作期间的承诺产生的债务,以及其他风险因素变动产生的过去债务的变动等,都以正常成本的形式分摊在一定年份中。如过去债务以补充成本债务的形式独立存在,这时成本方法将产生补充债务。

(3)根据计划成本的分摊年龄起点不同,分为从开始承诺给付的年龄分摊和从计划建立时年龄分摊两种。当计划总成本从开始有给付承诺的年龄起分摊时,在建立计划前分摊的成本形成了计划的补充债务,当计划成本从计划建立起分摊时,所有的计划未来成本等于计划总成本,计划没有补充债务。

二、给付分配精算成本方法

(一)给付分配精算成本方法的一般说明

给付分配精算成本法是将在退休时得到的给付分摊在每个缴费年,参加养老金计划期间每年得到的养老金权利的现值就是每年的成本,在职期间年成本的精算现值等于所有承诺的未来给付精算现值。

理论上,退休给付的分摊方式有无数种,从而可以产生各种不同的给付分配成本。实践中通常分为传统的给付分配成本法和预计给付精算成本法两种。

传统的给付分配成本法,根据规定的每年得到的给付数额,或者说是每参加养老金计划一年得到的在退休后给付增加部分,计算每年得到的给付权利现值,确定年成本。参加养老金计划期间各年得到退休金权利之和等于退休时的年给付额。当x岁当年获得的养老金权利规定为一固定数额时,设bx=k,退休时获得的养老金总权利为Br=k(r-y),当x岁当年获得的养老金权利规定为工资的固定比例g时,bx=g Sx,Br=k Sr,Sr是从加入养老金计划到退休前r-1岁的累积工资。

预计给付精算成本法,根据预先确定的退休后给付额,平均分配在参加养老金计划各年或以工资的恒定比例分摊在各年,当退休后给付一定时,可以预先估计年成本。如果退休金以退休前几年平均工资或退休前一年工资的固定比例规定,设Br=gsr-1。满足这一要求的bx分配模式很多,如果以每年固定数额分配Br时,bx=Br/(r-y),如果以工资的比例分配Br时,bx=gSx,g=Br/Sr。这里将主要介绍预计给付精算成本方法,分给付水平分配和以工资的比例分配两种情况。

(二)正常成本

正常成本是计划参加者在某年获得的养老金权利在计算年的现值,用公式表示为:

其中,r为退休年龄,αx为从退休年龄起每年一元生存年金现值为x岁的参加者在退休年龄上仍存活的概率,vr-x为精算利率在r-x年的折现系数。当退休给付每月给付一次时年金系数需要换成每月支付一次的年金系数。当每年以固定数额分配Br时,以表示每年得到的给付增加部分,此时有:

假设某男性职工25岁参加工作并加入养老金计划,退休给付规定为每年得到退休前一年工资的1%,法定退休年龄为60岁,参加养老金计划当年的工资水平为6000元,职工工资随着工龄增长率为1%,随通货膨胀率和劳动生产率提高的比例为4%,假设职工在职期间没有伤残、中途退出计划等发生,死亡是在职期间唯一的减因,死亡率资料采用中国《1990年城镇从业人口生命表》提供的数据,利率假设为5%。此时,退休给付为11032.03元,根据正常成本的计算公式,可以得出这个职工在不同年龄的正常成本,见表9-2。

表9-2　给付水平分配正常成本举例

当每年以工资的固定比例分配Br时,以表示每年得到的给付增加,有:

正常成本CA NCx为:

比较上述两种方法,在开始参加保险的年龄y上,有:

在退休前一年年龄r-1上,有:

上例中,如果每年得到的给付增加额是当年工资的恒定比例,不同年龄上的成本列于表9-3。

表9-3　bx是工资的恒定比例时的正常成本

(三)精算债务

精算债务是到计算年累积得到的养老金权利的现值。Bx是从计划开始承诺的年龄起到x-1累积得到的养老金权利,,有:

当每年以固定数额分摊退休给付时,到x岁累积得到的给付权利以CA ALx表示,把CABx代入上式,有:

当每年以工资的恒定比例分摊退休给付时,以CSBx表示到x岁累积得到的权利,以CA(AL)x表示x岁的精算债务,

CS(AL)x≤CA(AL)x

上例中,两种给付分配下的精算下的精算债务见表9-4。在开始加入养老金计划的年龄,由于成本积累,精算债务为0,随着年龄的提高,精算债务迅速增加,在退休年龄前,债务积累为当年工资的3倍以上,从两种方法的对比来看,水平分配下的债务在各个年龄段均大于比例分配下的债务。

表9-4　两种给付分配下的精算债务及其与工资的比例

(四)补充债务

在给付分配精算成本法中,实际是从有权利得到养老金的年龄起开始分摊成本,而在建立计划前,并没有实际缴费积累,从而存在初始精算债务。如某人20岁参加工作,30岁时建立了养老金计划,承诺从开始参加工作的年龄起积累养老金权利,这样计划在这个职工30岁时建立,却从职工20岁开始分摊正常成本。在建立计划时,由对过去工作期间正常成本的分摊,或者说对过去工作期间养老金的承诺而积累了债务,这一债务以计划补充债务的形式存在。随着时间的延续,补充债务表现为未来给付精算现值没有被正常成本分摊的部分,就是计划积累的精算债务与过去正常成本分摊的部分,也就是计划积累得精算债务与过去正常成本积累的差额。同时,养老金水平的调高、精算假设的变动以及精算假设与实际的差异产生的债务,也没有反映在正常成本中,只是以补充成本债务的形式存在。因此有:

SLx=PVFBx-(PVFNCx+AVPNCx)=ALx-AVPNCx

补充精算债务的分摊形成补充成本,补充成本债务的不同分摊方式形成不同的补充成本模式和年成本模式。通常只计算计划总体的补充债务,而不分别计算个人在不同年龄上的补充债务。当计划累积的基金与积累的债务相对应,成为完全基金计划时,补充债务的计算和单独记录的意义不大,一般在计划建立时估计由对过去工作期间积累的养老金权利而产生的债务,即初始精算债务,它以补充债务的形式存在。

为了说明补充债务的计算方法和补充成本的分摊方法,这里仍以上面给出的单个人的情况为例,并假设职工在35岁时开始建立养老金,在建立计划时,初始精算债务就是35岁时积累的过去正常成本,也就是35岁时的精算债务,假设每年以固定数额分摊给付,两种计算方法下,在35岁时的补充精算债务为:

如果在30年内平均分摊补充成本债务形成补充成本,假设利率为5%,则补充成本为:

补充成本债务也可以按工资的恒定比例分摊,由于工资通常随年龄的增长而提高,这种分摊方式使补充成本在前面更低,后期更高,从而使未分配补充成本债务在初期积累得更多,增加了未来的财务风险。美国退休收入保障法中对养老金计划最小基金有严格规定,对补充债务不允许采用比例分摊方法。

(五)没有补充债务的给付分配精算成本法

没有补充债务的给付分配精算成本法,实际上是把建立计划时对过去的承诺、给付水平的调整以及精算假设变动等产生的债务,分摊在建立计划后的各个年份,使未来年成本相应增加的方法。设计划从z岁开始,在建立计划后的某年x岁上增加的给付权利为,bx(z≤x<r)。这是从z岁起未来得到养老金权利在z岁前得到养老金权利中的比例与该年龄得到的给付权利之积。x岁的养老金总权利为:

可见,如果把建立计划前累积的债务分摊到建立计划后的各年中,相当于在原来每年得到养老金权利的基础上,增加计划建立前未分摊的养老金权利Bz在未来时期的分配部分。这样,x岁累积得到的养老金权利是从z岁到x岁每年得到的养老金权利之和。

依据和计算的年成本和精算债务将不包括补充成本和补充债务。

如果以均衡分配Br的方式得到bx,此时,

可见,在均衡分配方式下,没有补充债务下的年给付权利,实际上就是从建立计划起到退休为止分摊退休给付权利Br得到的值。到x岁累积得到的给付权利是x岁前每年得到的给付权利的累积,因此有:

当以工资的比例分配Br时,有

三、缴费确定计划给付水平的估计

(一)缴费确定计划的预先缴费水平的确定

缴费确定计划预先缴费确定水平,计划的总成本就是缴费累积总额,计划的给付水平根据缴费多少、缴费的投资收益率的高低确定。在缴费确定计划中,没有成本估计问题,但需要根据缴费水平预先估计给付水平。理论上,缴费确定计划给付与缴费的联系可以采取个人平衡方式,也可以采取同代人平衡方式。个人平衡方式通常采用个人账户的记账和管理方式,个人一生的缴费与其得到的给付数额相等,个人在死亡时个人账户的余额由其预先指定的受益人继承,不存在同代人之间的收入再分配。同代人平衡方式是在同一年龄上职工的缴费和给付之间建立起平衡关系,参加养老金计划的职工缴费计入集体账户,如果职工在缴费期间死亡,其过去缴费额由仍然存活的职工分享,职工在职期间的死亡给付与过去缴费积累没有直接联系,通常规定为某一具体数额,退休后以生存年金的方式发放退休金,职工死亡后,其缴费余额由仍然存活的职工分享,职工的长寿风险由退休后购买生存年金得以分散和避免,可见,采取集体账户的方式存在代内再分配。实践中,缴费确定计划更多地采取个人账户的方式管理,个人账户使个人缴费和享受之间建立起直接的联系,增加了缴费的灵活性。在职工调动工作时,由于个人账户的归属权明确,个人账户累积余额可以随同职工转移,有利于职工的流动,从而在世界范围得到迅速发展。

缴费确定计划缴费与给付的不同平衡关系,分别用不同的精算模型表示。这里分别讨论代内平衡与个人账户两种方式下的精算估计。在个人账户下,如果允许退休时一次性领取账户累积额,此时不需要精算。但一次性领取个人账户的累积额,可能使养老金计划保障老年生活的作用减弱,使长寿者得不到应有的收入保障,或由于健康者不选择购买年金而产生逆向选择。因此,一般认为养老金计划应该采取年金的给付形式。个人账户累积额用于购买年金时,需要运用精算方法估计退休金水平。

(二)代内平衡的精算模型

缴费确定养老金计划以收费水平决定给付水平,但在计划设计时,也是根据目标给付水平,即在一定的精算假设下估计缴费水平的。因此,它与给付确定型计划的精算估计方法类似,根据未来给付精算现值等于未来缴费精算现值的平衡公式进行精算估计。根据前面的分析,在只考虑退休给付时,未来给付精算现值为:

设以工资的k比例缴费,未来缴费用值为:

则退休给付为:

例如,某男性职工在25岁参加工作并加入养老金计划,25岁当年的工资为6000元/年,工资增长率5%,养老金计划的缴费率规定为工资的10%,退休给付规定为退休后每年固定数额的生存年金,退休年龄为60岁,假设利率为5%。在职期间的减因只有死亡,不考虑伤残、中途退出计划等减因,退休后的给付只有退休给付,不考虑其他给付。以我国2003年城镇从业人口生命表提供的死亡率资料,计算25岁未来缴费现值为:0.1×6000×=0.1×6000×33.15=19889.27(元)。

退休后每年一元生存给付在25岁的现值为:0.843247×0.18129×10.54=1.611(元)。

退休后的年给付额为:B60=19889.27/1.611=12345.92(元)。

如果退休给付以某一指数增长,设年增长率为k%,退休当年的退休给付为Br=。其中,kαr为以年增率k增长的递增年金现值。

上例中,如果规定退休给付每年以2%增长,此时从退休起递增的年金系数为12.18,退休给付降低为10681.76元。

(三)个人账户平衡的精算模型

在个人账户平衡中,如果已知个人的生命周期,在这里主要指个人参加工作、退休和死亡等年龄,可以根据在职期间的收入能力、期望一生消费水平、预计个人账户累积利率等设计个人账户的缴费率,从而满足在一生中收入与消费的平衡。这时,个人在职期间缴费是一个确定年金,退休后的年金给付也是确定年金。设职工y岁参加工作并加入养老金计划,r岁退休,d岁死亡,y岁的工资为sy,工资的年增长率为j,个人账户的缴费率为c,利率为i,退休后年退休金Br为退休前一年工资Sr-1的g比例,在y<r<d时,个人账户收支的平衡公式为:

等式左边是个人账户的缴费现值,它是以加入计划当年工资的c比例乘以工资增长率增长的定期递增确定年金现值。等式右边是每年给付退休前一年工资g比例在从退休到死亡的确定年金在y岁的现值。

其中

αr-yi′是以利率计算的r-y年确定年金现值。

利用上面的平衡公式,在规定的退休金替代率下可以采用估计缴费率C,在规定的缴费率下估计出年给付水平。

中国养老金制度改革对基本养老保险实行社会统筹和个人账户相结合的办法,个人账户在退休时的累积额用于退休后平均余寿时期的退休金支付,超过平均余寿期间的退休金由社会统筹基金支付。个人账户在退休后的年支付额,依精算平衡公式计算。

个人账户收支的精算平衡公式,以个人寿命确定为前提,反映了每个参加个人账户保险的职工在缴费与享受之间的平衡关系。实际上职工的生命周期是未知的,人们并不知道他们实际的寿命。对个人养老保险金计划整体来说,每个职工的死亡年龄是个随机变量,可以用分年龄的死亡概率,衡量在各个年龄上的死亡水平,用平均余寿衡量职工在某一年龄上平均还能存活的年数。对计划整体而言,由于职工在退休前死亡、中途因调离或其他原因退出计划使缴费中断,仍然存活并留在计划中的职工才能继续缴费,因此,y岁加入计划的期望缴费现值为:

如果个人账户在退休时的累积额,用于购买从退休起的生存年金,退休金给付在y岁的现值为:

个人账户在退休前的死亡给付,通常规定为退还个人账户累积额中个人缴费部分,如果个人账户缴费率的50%由个人承担,在t年末个人账户累积额中个人缴费部分为:

假设死亡给付在死亡年年末死亡给付现值为:

如调离给付规定为退还个人账户累积额,假设退出给付在退出年的年末,其给付现值为:

t=y

)为在死亡率和退出率两个减因下的x岁的退出概率。因缴费现值=退休给付现值+死亡给付现值+退出给付现值,所以:

在上式中,如果没有在职期间的死亡给付和退出给付,精算平衡公式与代内平衡公式完全一样。根据上述平衡关系,可以估计在一定的缴费率下平均退休给付水平Br。缴费确定养老金计划通过精算设计可以根据目标给付水平和预计的利率水平,在一定的死亡率、退出率等精算假设下估计出所需要的缴费水平,但计划实际的给付水平由实际缴费水平、投资收益和死亡率、退出率等确定。

值得注意的是,从退休年龄r岁起的每年一元生存年金现值αr与在退休年龄上平均余寿时期内的定期年金是不相等的。在精算数学上可以证明,如果以后者代替前者,计算的养老金数额将减少。