数值分析塑性理论的增量形式

11.1.1　数值分析塑性理论的增量形式

破坏准则

该屈服函数f是一个已知函数，明确了产生塑性流动的应力上限组合。这个函数由一个主应力空间中的面表示，所有的应力点低于这个面就表示材料处于弹性状态。

将一个应变增量Δ∈i分解成弹性部分Δ∈e_i和塑性部分Δ∈p_i的关系式为

弹性应变增量和应力增量之间的弹性表达式为

这里S_i为弹性应变增量Δ∈e_n的线性函数，n为应变向量维数。

通过流动法则确定塑性应变增量张量的方向，该方向垂直于势函数面g（σ_n）＝C（常数），即

式中，λ为一个常数，当g与f相同时叫作相关流动，否则为不相关流动。

新的应力向量分量需要满足屈服函数

这个函数提供了一种评估塑性应变增量向量大小的关系。

将式（11－2）中的弹性应变增量代入弹性本构关系式（11－3）中，并考虑到函数S_i的线性关系，有

采用塑性流动法则，式（11－4）进一步表示为

这里使用了函数S_i的线性特征。

在特殊的情况下，当f（σ_n）是σ_i（i＝1，2，…n，n为应力向量维数）的线性函数时，等式（11－5）可以表示为

这里作为一种符号约定，f＊表示函数f减去它的常数项，即

对于一个在屈服面上的应力点，f（σ_n）＝0，在将式（11－7）的应力增量项带入后，并进一步利用式f＊线性特征，式（11－8）变为

现在定义如下新的应力分量σ^N和弹性估计项σ^I为

_ii

在式（11－12）中的S_i（Δ∈n）项是在没有塑性变形的情况下，由于总的应变增量Δ∈n引起的弹性增量项分量。这就是将叫作弹性估计项的原因。

根据式（11－12）的定义，由前面的讨论，有

这样，根据式（11－9）、式（11－10）和式（11－13）可以得到λ的表达式为

利用式（11－12）弹性估计项的定义及式（11－7）的应力增量形式的定义，根据式（11－11）可将新的应力项表示为

在最后两个表达式中，S_i（ag／aσ_n）为从弹性法则增量原理得到的应力增量，这里ag／aσ_n代表Δ∈i（i＝1，2，3，…，n）。