平行公理有微瑕

自从公元前古希腊数学家欧几里得创立了欧氏几何学，两千多年来，人们把它看作金科玉律，丝毫没有怀疑过它的正确性。的确，欧氏几何学被历代数学家们认为是唯一正确的几何体系。但它并非完美无缺，主要是人们对其中的第三公设即平行公理有些怀疑。平行公理是：过已知直线外一点可以而且只能做一条和它平行的直线。数学家们觉得这不像一个公理，倒像一个定理，因为它含义不明确。所以数学家们把这个平行公理看作白璧中的微瑕，并采用许多方法试图证明平行公理确实是正确无误的。可在求证平行公理时，要引用新公理，而新公理又要用平行公理来证明，无论是直接证明还是间接证明，都不能成功。到19世纪以前，无数数学家都为证明平行公理耗尽了大量的心血乃至毕生的精力。

19世纪初，3位不同国籍的数学家在前辈数学家大量研究的基础上，分别独立地发现了非欧几何。第一位是德国“数学王子”高斯。但他生前未发表过一篇有关非欧几何的著作和论文，人们只是在他去世之后才在他的遗稿和信件中发现他在1817年左右就推导出了新的几何。但他担心一些因循守旧者会大喊大叫反对他，因而生前未曾发表。第二位是俄国伟大的数学家罗巴切夫斯基。他在创立和宣传新的几何体系方面表现得异常勇敢坚定，记述最完整，发表时间也最早，所以人们以他的名字命名非欧几何为罗氏几何。第三位是几乎和罗巴切夫斯基同时期的匈牙利年轻的数学家亚诺什·波里亚（Janos Bolyai，1802—1860年）。他是从军事工程学院毕业的军官，只能利用业余时间来研究数学。他的父亲法尔卡什·波里亚是一位有名的数学家，为了证明平行公理耗尽了毕生精力和才华。他培养的儿子热爱数学，但当听到儿子也醉心于研究平行公理时，他吓坏了。老波里亚生怕他的儿子重蹈覆辙，虽然父子俩天天生活在一起，他还是郑重其事地给儿子写了一封信进行劝告。他在信中悲哀地说：“希望你再不要做克服平行线理论的尝试，我深知一切方法都到了尽头。在这里面，我埋没了人生的一切光辉和欢乐。这是一个毫无希望的黑夜，它能使上千座牛顿那样的灯塔沉没，任何时候都不可能使大地见到光明。”

父亲的劝阻并没有使波里亚知难而退，他以一个青年军人勇敢冲锋陷阵的精神，大胆地点燃了照亮这“毫无希望的黑暗夜空”的火炬。同时，他也吸取了父亲的经验教训，很快就发现要证明平行公理是根本不可能的，难怪父亲和其他许多前辈数学家尽皆沉没毫无结果。于是，亚诺什·波里亚毅然转向摒弃欧几里得平行公理、创立新的平行线理论的道路。他很快就发现，只要改变第五公设，就可以创造出一门新的几何学来，于是提出了一个新的平行公理：

“在平面内，过已知直线外的一个点，至少可以做两条直线与已知直线平行。”

这个新公理，否定了平行线的唯一性。以它为基础，再加上原来的九个公理，就组成了一门新的几何学，叫作双曲面几何学。凡是与旧的平行公理有关的定理，在双曲面几何学中都变得面目全非，产生出许多闻所未闻的新结论。1825年，年仅23岁的波里亚基本上完成了他的双曲面几何体系。老波里亚已经理解了儿子的伟大创造，拒绝了帮助儿子发表的请求。直到1832年，经过儿子的再三请求，老波里亚才勉强同意把儿子的创造作为一个附录，与自己的著作一起出版。亚诺什·波里亚勇敢地宣称，这个附录是“绝对真实的空间科学”。

老波里亚把“附录”的清样寄给了大学时代的同学、“数学王子”高斯。高斯在回信中热情地称赞小波里亚“有极高的天才”，但同时又说，他不便公开赞许，因为高斯早在16年前就已经做出了同样伟大的发现。高斯的这种暧昧态度给波里亚浇了一头冷水，他的性格从此变得非常孤僻，加上接连染病和车祸，他的健康受到严重的损害。他多次请求当局允许他摆脱军队的繁忙事物，以便集中精力研究数学，均遭到严词拒绝，这使波里亚变得心灰意冷。这位年轻的数学天才没有沉没在平行公理的黑夜里，却沉没在社会的黑暗当中。

罗巴切夫斯基孤军奋战，他顶住了来自各方面的压力和冷嘲热讽，为新的几何体系奔走呼告，所有的攻击和谩骂都没有动摇他对科学真理的坚定信念，他为捍卫新的几何体系战斗了一生。波里亚和罗巴切夫斯基把一种全新的革命思想带进了几何学领域，突破了人类关于空间概念的传统框架，必然要像原子裂变一样引起一连串的连锁反应。就在数学界普遍不能承认非欧几何的时候，德国数学家黎曼于1854年创立了更广泛的一类非欧几何——黎曼几何，它干脆否定了平行线的存在性，规定：在同一平面内，任何两条直线都有唯一的交点。随着科学的进步，19世纪下半叶，数学家们先后设计出了许多几何模型，对非欧几何做出了合理的数学解释。波里亚的伟大功绩终于得到了世人的承认。

和其他任何一门科学的创立一样，波里亚的成功是相当艰苦的，他的成功更具有代表性。每当社会给科学家以更多的良好的创造环境时，科学就能更快地前进，否则就要倒退。不管多么伟大的科学家，都不可能轻而易举地扭转不良的社会环境，罗巴切夫斯基算瞎了双眼，还是没有人支持和承认非欧几何。只有在时代和社会的进步需要这门科学的时候，真理才像金子一样重新放射出夺目的光彩。科学是不断发展的，人们的认识也不会停止在一个水平上，这就要求人们不断地探索和追求，推动人类历史不断前进。