质量互变数学描

人类所赖以生存的自然界，可以说是五彩缤纷、变化无穷的。然而这千姿百态的大千世界又可以划分为必然现象、随机现象、模糊现象和突变现象等四大类型。

我们知道，客观事物都是质与量的统一体。对客观事物做抽象的描述，是数学的根本任务。人们对四大类自然现象进行数学描述，便产生了经典数学、随机数学、模糊数学和突变理论。

突变理论是20世纪60年代以来发展起来的一门新的数学分支，它是法国数学家托姆创立的。“突变”一词，法文是“Catatrophe”，原意是指灾难性的突然变化，强调变化过程的灾难性。突变理论就是从量的角度研究客观事物突变现象，即不连续变化的数学理论。

那么，什么是突变现象？托姆又是怎样建立突变的数学模型从而创立了突变理论的呢？

在“二战”期间，美国大约有5000艘“自由轮”货船，其船体钢板靠焊接新工艺装配而成，可谓异常坚固。可是它们在使用过程中竟突然莫名其妙地发生了1000多次脆断破坏，其中有2800艘完全报废。

1938—1942年期间，世界上有40多座焊接铁桥突然间折断坍塌了。

在很多工厂里，也多次发生高压锅炉爆炸、石油管道爆炸、化工压力容器爆炸等破坏性事故。

1959年，美国F-111型飞机，在俯冲拉起时左翼突然间折断脱落，机毁人亡。

在力学工程中，像上面所说的断裂事故屡屡发生，不胜枚举。各种形态、各种结构的不连续的突然变化，决不仅仅局限在力学工程一个领域。这种变化过程的不连续性或间断性，在生物学和社会科学领域中更是俯拾皆是，到处可见，比如，胚胎变异、神经错乱、经济危机、战争爆发等突变现象不可胜数。

早在17世纪，经典数学中就创立了微积分理论。牛顿和莱布尼茨两位大师创立微积分理论的目的，就是描述和处理自然界中必然现象的连续的和平滑的变化过程。300多年的实践证明，微积分理论在解决连续变化方面的问题时，是一种强有力的数学工具。但它对于突变现象却一筹莫展，无能为力。那么，能否建立一种关于突变现象的数学模型来描述自然界中各类突变和飞跃造成的间断性自然过程呢？

恩格斯曾经说过：“社会上一旦有技术上的需要，这种需要就会比十所大学更能把科学推向前进。”正是由于社会实践的需要，这种描述突变现象的数学模型便应运而生了。1972年，法国数学家托姆出版了《结构稳定性态发生学》，宣布了突变理论这门新学科的诞生。突变理论的问世，在数学界引起了强烈反响，有人甚至把它誉为“数学界的一次智力革命——微积分以后最重要的发现”。国际科学界把它和另外两种近20年创立的新理论，即比利时科学家普利高津创立的“耗散结构论”和德国物理学家哈肯创立的“协同论”，称为“新三论”。

突变理论的现实原形正是客观世界的大量存在的突变现象，不同的突变现象都具有共同的特征。托姆正是从现实中抽象出这些共同特征进行数学描述，从而创立了突变理论。

当水温不断升高时，水的密度就会缓慢地变小，如果水温达到100℃，在标准大气压下水的密度就会突然变小，于是，蒸汽便会立即出现。

当天空中两块乌云的电荷不断地积累到一定的数量界限时，就会击穿在中间的空气，于是，闪电雷鸣就会立即发生。

当地球内部的应力不断增加到一定的数量界限时，就会突然山摇地动，爆发地震。

自然界中发生的各种突变现象都具有共同的特征：各种自然过程的量度达到一定节点时，便突然发生飞跃，从而从量变转化为质变。托姆抓住了自然界存在的这个渐变与突变的辩证关系，找到了建立突变理论的先决条件，对自然界中存在的质量互变规律进行数学描述。这是自黑格尔第一次提出质量互变规律以来的一次重大突破，因为在托姆之前，从未有人想过用数学方法描述质量互变规律。科学研究就是要探索未知，在科学的广阔领域里耕耘。托姆正是在无人问津的领域里播下了数学化的种子，结出了“突变理论”之花。

英国著名科学家贝弗里奇在《科学研究的艺术》里，谈到科学研究的艺术时指出：“最有希望取得进展的方法是：把兵力集中在敌军最薄弱的有限地区。”托姆正是如此。

以水的汽化和液化互相转化为例，我们看到托姆是如何运用数学方法建立水的气液相变数学模型的。水的气态和液态的区别实质上是水的密度变化的区别。温度和压力变化到一定程度，水的密度便一下子改变了，这就是一种突变现象。水的沸点是100 ℃，在从100 ℃的液体水变化成为100 ℃的蒸汽时，就是一种突变过程。如果把水的密度看作温度和压力的函数，那么，测量在不同温度和压力下水的密度数值，并将其结果用一个三维坐标表示出来，就可以得到一个很有意思的几何图形。

该几何图形由压力、温度两个坐标轴组成一个“控制平面”，而密度作为“反应轴”则垂直于该控制平面。由于受压力和温度这两个因素的控制，因此，密度的变化所形成的曲面被称为“反应曲面”。从气态到液态，恰好对应于该曲面的折叠区，其相应的反应曲面是不连续的。这种几何图形，就是水的汽液相变的数学模型，它是突变理论的一种模型，又叫“尖角型突变（见图1）”。

图1　尖点型模型

尖角型突变是目前应用得最广泛的一种突变模型。比如，工程技术中经常用弹性梁弯曲现象就是一种尖角型突变。它由压力和载荷两个因素组成一个控制平面，梁的弯曲度则是垂直于该控制平面的反应轴。由它们构成的反应曲面图形在结构上与水的汽液相变的几何图形完全相同。

更为有趣的是，狗的情绪变化也可以用尖角型突变来描述。狗的行为受两个相互矛盾的倾向所制约，即发怒和恐惧。发怒程度用张嘴、露齿程度表示，恐惧程度用它的耳朵向后平拉的程度表示。这两种倾向便决定了狗的行为。它的几何图形恰好是尖角型突变模型。这时，穿过折叠区的反应曲线的不连续性表示狗的情绪的突变。比如，一只狂怒的狗可能突然停止进攻而掉头逃走，一只逃跑的狗可能突然掉头发动进攻。

属于尖角型突变的离子还有很多。比如，地质学上的地表的三角形断层，医学上人的神经在各种刺激下正常和错乱状态的交替出现等。除了尖角型突变外，还有诸如折叠型突变、蝴蝶型突变、双曲脐点型突变、椭圆型突变和抛物脐点型突变等。

突变理论出现后，逐渐被应用到各个领域中去，尤其是进入到生物学、医学和社会科学领域，引起人们的极大兴趣。拥护这个理论的给予高度评价。1977年《大英百科年鉴》写道：“突变理论使人类有了战胜愚昧无知的珍贵武器，获得了一种观察宇宙万物的深刻见解。”由于它尚待完善和成熟，难免出现一些漏洞，因此，反对者们把它说成一无是处。在素以严谨著称的数学界也对它产生了激烈的争论。任何一种科学理论的形成、诞生、发展、建立和实际应用，无一不是经历这样一个曲折的过程，即使是在建立和完善之后，也需要客观实际的严格检验。有生命的符合客观世界规律的科学理论，是会在激烈的争论中愈发显示它的顽强和正确，而不符合客观规律的谬误迟早会被淘汰。突变理论也是这样，它绝不会因争论而瓦解。正常的学术争论，只会进一步促进科学理论本身的不断完善和成熟。