千载苦琢白玉璧

人类从事数学公理化工作，经历的年代最久，花费的精力最多，取得的成就也最具有典型性。数学是其他任何自然科学的基础和工具，因此，把任何一门自然科学的结论用数学公理化来表示，也推动整个自然科学的传播和发展。《几何原本》的问世标志着数学领域中公理化方法的诞生，它的贡献不仅在于发现了几条新定理，而主要在于把几何学知识按公理系统的方式妥切安排，使得反映各项几何事实的公理和定理都能用论证串联起来，组成了一个井然有序的有机整体。但是，欧氏几何学的公理系统是不够完善的。尤其是第五公设（即平行线公理）在陈述与内容上的复杂和累赘，古代数学家们早就提出过疑问，第五公设是不是多余的，它能否从其他公设、公理中逻辑地推导出来呢？而且欧几里得未能给出这一定理的证明。后世的数学家们纷纷致力于第五公设的证明，2000多年来未取得成功，它耗费了多少思想家的聪明智慧，有人甚至怀疑这个平行公理是否成立。

到了19世纪20年代，俄国出现了一位伟大的数学家——罗巴诺夫斯基。他以年轻人敢想敢干敢于创新的精神，采取了与前人完全不同的做法。首先他认为，第五公设不能以其余的几何公理作为定理来证明；其次，除掉第五公设成立的欧氏几何之外，还可以有第五公设不成立的新几何系统存在。于是，罗巴诺夫斯基在剔除第五公设而保留欧氏几何其余公理的前提下引进了一个与第五公设相反的新公理：“过平行线一已知直线外的一点至少可以引两条直线，与该已知直线平行。”这个新公理否定了平行线的唯一性。以它为基础，罗巴诺夫斯基加上原来9个公理，在与前人完全不同的思想方法基础上构造了一个新几何系统，叫作“双曲几何学”或“非欧几何学”及“罗氏几何学”，它与欧几里得几何学并列。后来人们又证明了这两个部分地互相矛盾的几何学系统竟是相对相容的。

与此同时，独立地发现这一新几何的还有瑞士伟大的数学家高斯和匈牙利数学家波利亚。他们用创造性的工作，动摇了“只有一种可能的几何”的传统观念，为创造不同体系的几何学开辟了道路。由于非欧几何学中的一系列命题都和人们朴素的直觉不相符合，因此，它在开创形成阶段遭到了人们的冷嘲热讽。但是，这种背离直观的几何学在逻辑系统内没有矛盾，演绎论证的严格性也是无懈可击的。事实上，非欧几何学给我们开拓了空间概念，在以后创立的黎曼几何，在爱因斯坦的广义相对论之后已得到了充分的证实和应用。

非欧几何学的创立，不仅为公理化方法进一步奠定了基础，而且为公理化方法可以推广和建立新的数学理论提供了依据，也极大地提高了公理化方法的信誉和地位。接着便有许多数学家致力于公理化方法的研究，并且起到了一大批高水平的成就。如1871—1872年间德国数学家康托与戴德金不约而同地拟成了连续性公理；德国数学家巴许在1882年发表了《几何学基础》一书，最后解决了欧氏几何的欠缺问题，完善了几何学公理化方法。

回顾非欧几何学的创立过程，我们可以得到以下几点启示。

1.众多科学家同时发现。在一门学科的研究发展到将要实现突破的时候，众多科学家在相通或不相通的条件下，很可能各自完成突破。这是因为他们的研究代表了当时科学发展的最新水平，因而取得成功乃是当时时代的必然产物。可以说，罗巴诺夫斯基、高斯和波利亚如果未发现这一新的几何系统，也将会有其他数学家去发现。这在科学发展的历史上有过许多例证。如卡诺、焦耳、赫姆霍兹等，他们从不同角度、以不同方式发现和描述了能量守恒和转化定律，亚当斯和勒维耶分别发现了海王星等。

2.当众多科学家都走到了真理大门前时，谁能抢先一步跨进真理的大门，抓住成功之果，谁掌握的科学方法就高人一筹。非欧几何学的成就在取得之前，波利亚的父亲也是一位数学家，但他极力反对和阻止波利亚去证明第五公设。当波利亚取得成功后，他又极力宣扬。高斯也是欧洲最有名的数学家，他独立地取得了这一成就，但摄于当时传统势力，却迟迟不肯拿出来公之于世，致使失去了首先发现这一科学理论的机会。只有罗巴诺夫斯基独辟蹊径，排除干扰、讽刺和攻击，不畏世俗，连续发表论文，终于摘取了成功的果实。这充分告诉我们在真理面前需要有敢于发现和前进的勇气，当你迈开这关键性的一步时，胜利之花就向你开放，成功女神就向你招手。