圆弧形滑动

圆弧形滑动_边坡稳定性分析与

5.3　圆弧形滑动

土坡滑动的滑动面多呈圆弧（圆柱）形，露天矿的废石堆和尾矿坝也多呈圆弧形破坏，在强风化或非常破碎的岩体中，边坡的破坏面近于圆弧状。

圆弧形滑动的分析计算方法在土力学中讨论得比较详尽。岩石边坡的圆弧形滑动，目前同样采用土力学的理论和方法，同时适当考虑岩体的一些特征进行稳定性分析与计算，下面介绍几种分析与计算的方法。

5.3.1　圆弧形条分法

圆弧形条分法是土坡稳定性分析的一种比较简单而实用的方法。此法由瑞典费兰纽斯（W.Fellenius）首创，故也称瑞典法。这种方法认为边坡土（岩）体的滑动属于平面问题，并假定滑面为圆弧形，其位置和安全系数要通过反复试算确定。计算中不考虑条块间的作用力。由于计算比较简便，所以在土体边坡稳定性分析与计算中仍广泛应用。

1）计算方法

计算方法一般按以下步骤进行：

①在已给出的边坡上，任意作一通过坡脚的圆弧面，其半径为R，以此圆弧面作为可能的滑动面，将滑面以上的土体分为几个垂直条块，如图5.17所示。

图5.17　圆弧形条分法

②计算作用在每一条块上的力。将每一条块的自重分解为垂直于滑动面的法向压力N_i和平行于滑动面的切向力T_i，即

N_i＝W_icosα_i

T_i＝W_isinα_i

作用在该条块所对应的长为L_i，滑面上尚有摩擦力N_itanφ与总内聚力CL_i，此二力是抵抗滑动的抗滑力。

式中　α_i——通过条块重心的垂线与底边法线的夹角；

　φ——土（岩）体的内摩擦角；

　C——条块滑面上的内聚力。

在条块分界面上还有垂直与平行条块界面的E₁，E₂，T₁和T₂等作用力，如图5.17（b）所示。为简化计算，假定T₁＝T₂，E₁＝E₂，故在计算中这些力不予考虑。

③计算各条块的下滑力对圆弧圆心O点的力矩M₁

④计算各条块抗滑力对O点的力矩M₂

⑤计算安全系数

式中　L——圆弧的长度。

⑥假设有若干可能滑动面，需重复上述。计算步骤是将每一个可能滑动面的安全系数逐一计算出来。

⑦确定最危险的滑动面。比较计算所得一系列安全系数，其中n值最小的滑动面就是最危险的滑动面。如果此最小值小于1，则说明此边坡不稳定。这里需要说明的是设计边坡的安全系数是大于1的某一数值（其大小根据工程重要性而定），故上述计算所得安全系数的最小值应不小于该值，否则需按设计要求调整坡高或坡面角，再进行重复计算，直至达到设计要求为止。

2）最危险滑动面的确定

从以上分析计算可知，条分法的计算工作量很大，需要计算出很多个圆弧滑动面，以便从中找出最危险的滑动面。为了简化计算，一些学者就如何简便地找出最危险的滑动面的问题进行了研究工作，现介绍以下几种方法：

（1）费兰纽斯建议

费兰纽斯通过研究提出按下列规律简化计算工作：

当土的粘性很大，如高塑性粘土，摩擦角等于零时，滑动弧通过坡脚，其圆心为AO和BO的交点，如图5.18所示。而AO和BO由β₁和β₂确定，因此土坡最危险的滑动面可按表5.3所列数值，直接将此圆弧滑动面的圆心确定，如图5.18中的O点。

表5.3

图5.18　确定最危险滑动面

当粘性土的内摩擦角大于零时，最危险滑动面的圆心在OE线上O点附近（图5.18）。其确切位置可用以下方法找出。

①先在坡脚A点以下H深往坡体方向，水平距离4.5H（H为坡高）处定出E点，连OE并在OE延长线上选取若干点（O₁，O₂，O₃）作为可能滑动面的圆心，并作通过坡脚的圆弧。

②按上述步骤计算各圆弧的安全系数n，并将这些n值在各相应圆心处沿OE方向按比例绘出，连成曲线，找出最低点。

③再沿此最低点作OE的垂线，在此垂线上再选若干点作为圆心，重复上述步骤，将相应各圆心（O′1，O′2，O′3）的安全系数连成曲线，此曲线上最低点所对应的圆弧滑动面的安全系数最小，故为最危险的滑动面。

（2）费申科确定滑动面法

图5.19　圆弧滑动面的组成

俄罗斯学者费申科提出了按松散介质极限平衡理论来确定滑动面位置的方法。这种方法认为危险滑动面由3部分组成，如图5.19所示。

最上部接近地表部分CD为垂直线段，其高为H₉₀；中部DN段为与水平线呈45°＋φ/2的直线，φ为内摩擦角；下部为一段圆弧。

CD段即所谓临界层高度H₉₀，也称为弹性层厚度，通常成为张裂隙深度。在这一深度内，应力状态是非极限平衡的，且σ_x＝0，τ_xy＝0，σ_y＝σ₁＝γH₉₀，即σ_y方向的应力为主应力，所以在弹性层内的σ₁方向完全是铅垂的。

在叙述费申科作图法前，先把滑动面的倾角变化规律及滑动面上主应力随深度变化规律加以分析。根据松散介质极限平衡理论，滑面上某点最大主应力σ₁与过该点的滑面切线的夹角为45°－φ/2。在滑动面过坡脚的情况下，坡脚点处σ₁的方向与坡面方向一致，因此，该点滑面切线与滑面的夹角为45°－φ/2。沿滑面往浅部上升的滑面点的主应力σ₁的值则逐渐变小，应力方向也逐渐变陡，到达斜直线段N点时，σ₁的方向即为铅垂方向。所以，ND段与y轴的夹角为45°－φ/2，与水平x轴的夹角为45°＋φ/2。

图5.20　直线型莫尔强度曲线

弹性层厚度（张裂隙深度）的大小，可用以下方法求出。由图5.20可知，AD线为岩体的强度曲线，τ＝fσ＋C，当滑坡体处于极限平衡状态时，它与应力圆相切于B点，BF与σ轴的夹角为45°－φ/2。过坐标原点O引直线OE与AD线平行，过O′作铅垂线交AD与OE线于G，H点，令GH＝K，O′H＝X，则：

将（b）式代入（a）式得：

将（d）式代入（c）式得：

由于K＝C，C为岩体内聚力（在τ轴上的截距，τ＝σtanφ＋C），所以可写成：

在弹性层内：

σ₁＝γH₉₀

σ₃＝0

费申科圆弧面的具体作图步骤如下：

①如图5.21所示，根据求出边坡滑动面上部直线段的垂高H₉₀，然后作垂直线BB′＝H₉₀，并通过B′点作与坡顶线平行的线B′M′。

图5.21　圆弧滑动面的几何作图

②过B′点作与直线呈45°－夹角的斜线B′C″。

③在B′M′线上取一点M，作与垂线呈45°－夹角斜线MT，与B′C″相交与C′点。

④过A点作与坡面AB呈45°－夹角的斜线AK。

⑤以任意等长a在AK及MT上从A点和C′点开始截取线段AP，PU，C′L，LQ，即AP＝PU＝C′L＝LQ＝a。

⑥过L和Q点作B′C′的平行线，与从P及U点作AB的平行线相交于F和E点，连接EF与AK相交于S点。

⑦过S点作MT的平行线与B′C′相交于N点，与B′M相交于D点，从D点作B′B的平行线与坡顶线相交于C点。

⑧过A点及N点分别作AS及SN的垂线，相交于O点，再以O点为圆心，OA为半径画一圆弧与DS必然相切于N点。

ANDC即为所求的危险滑动面，沿此面即可用条分法进行稳定性计算。这种方法只需确定一个滑动面，因此比较简单。

3）地下水的渗流作用

土坡和破碎岩体有地下水渗流时，在边坡稳定性计算中除有土（岩）体自重作用外，还应考虑水的渗流作用。而渗流水对土体既有浮力作用，又有渗透压力（动水压力）的作用。

用条分法进行边坡稳定性分析时，渗流水的作用可按以下2种途径考虑：一是对土体中固体相研究其力的平衡；另一是将固体相和液体相作为统一体进行力的平衡研究。

（1）对固体相研究其力的平衡

作用于固相的力如图5.22（a）所示，其中：

式中　W_s——条块重量；

　γ——土（岩）体天然容重；

　γ_m——土（岩）体饱和容重；

　γ′——土（岩）体浮容重；

　γ_w——水的容重；

　b——条块宽度；

　J——渗透压力；

　I——水力梯度；

　h_i1——未浸水滑体高度；

　h_i2——浸水滑体高度。

从（5.50）式看出，条块重量由2部分组成，水上为天然重量，水下为浮重。

设N，E_i和E_i＋1为垂直于底边和侧边固体颗粒间的接触压力，T′，X_i和X_i＋1是沿底边和侧边作用的剪切力。

图5.22　对固相研究力的平衡

（a）固相受力；（b）液相受力

条块中液相所受的力如图5.22（b）所示。设W_w是土（岩）体空隙中水的重力和水对固相浮力反作用之和，即

式中　n——土（岩）体的空隙度。

　J^—′是渗透压力的反作用力，；U，P_wi和P_wi＋1为底面和侧面上的水压力，均垂直于界面。

（2）将固体相和液体相作为统一体研究力的平衡

将固体相所受的力和液体相所受的力迭加，其结果如图5.23（a）所示，其中：

图5.23　对固、液统一体研究力的平衡

当考虑地下水渗流作用，应用一般条分法计算边坡稳定性时，可做以下分析。

图5.24　考虑水渗流作用的边坡稳定分析

若边坡几何形状和地下水渗流情况如图5.24所示，从液体中任取一条块i，将固相与液相作为统一体分析，那么条块重力W_i＝γh_i1＋γ_wh_i2，在条块两侧和底面有水压作用，若地下水面与滑面近于平行或条块很薄时，可认为两侧水压近于相等，互相抵消不予考虑。底面水压的大小，可取该面中点由等压线所确定的水压压强p_i（MN点间的铅垂距离）与底面长L_i的乘积确定，即U_i＝p_iL_i。从图5.24可以看出，p_i＝γ_wh_wi，L_i＝，于是该条块的抗滑力为：

该条块的下滑力为：

T_i＝b_i（γh_i1＋γ_wh_i2）sinα_i

将各条块力对O点取力矩，得边坡稳定系数计算公式为：

式中符号意义同前。

工程上常采用以下的简化方法进行分析计算，如图5.25（a）所示。水的浸润线与滑坡体滑动弧线范围内的渗透压力的合力J＝γ_wiA（A为浸润线与滑动弧线间的面积，i为平均水力梯度），其对滑动弧圆心的力矩为Jd。如将该渗透水体取出，并研究该水体所受各力对O点的力矩平衡，那么渗透水体重W_w（W_w＝γ_wA）对O点的力矩为W_wa。滑动弧线下作用于渗透水体的反作用力为∑q，因力的作用点通过滑动弧的圆心，故力矩为零。土粒对渗流的阻力T对O点的力矩为Td，它与Jd大小相等而方向相反。根据渗透水体上作用各力对O点力矩的代数和为零可知，Jd＝W_wa，即渗透压力的合力J对O点的力矩，可用渗透水体重对O点力矩W_wa代替（即等值力矩法）。当采用条分法计算时（如图5.25（b）），该力矩等于各分条水重对O点力矩之和，即W_wa＝∑W_wia_i＝∑bh_i2γ_wRsinα_i，此值应加入下滑力矩中。

图5.25　考虑水渗流作用的简化分析

根据以上所述，可得边坡稳定系数计算公式为：

由于γ′＋γ_w＝γ_m，L_i＝，故上式可写成：

由（5.53）式可知，在土（岩）体中若考虑水的渗透力作用，当计算滑动力矩时，渗流区中的土重以饱和水容重计算。当地下水浸润线与滑动面平行时，（5.52）式与（5.53）式一致，若二者不平行时则会产生一定的误差。其中（5.53）式应用较为方便。

5.3.2　考虑条块间接触力的分析方法——毕晓普（Bishop）法

由于瑞典条分法忽略了土条侧面的作用力，算出的安全系数可能偏低10%～20%，这种误差随着滑弧圆心角孔隙水压力的增大而增大。另外，滑体在滑动过程中也不能完全作为整体的刚体运动，在运动过程中滑体还可能发生破裂，在这种情况下条块间存在着相互作用力，包括水平向压力和竖直剪切力。这些力都是未知的，求解时需做某些简化假设。而毕晓普法是只考虑了条块间水平作用力，不考虑条块间竖向剪切力的分析法。

图5.26　考虑条块接触力的分析方法

在滑体中任取一条块i，并进行受力分析。设该条块所受重力为W_i，水平力为Q′_i^（如地震力），两侧面受水的作用力P_wi，i＋1和P_wi，i－1，底部法向反力N_i和切向反力T′_i，浮托力U_i，条块两侧的水平力E_i，i＋1和E_i，i－1。令Q_i表示Q′i，P_wi，i＋1和P_wi，i－1的合力，ΔE_i表示E_i，i＋1和E_i，i－1的合力。力的作用方向如图5.26所示。

对于条块i，将所有的力都投影在x′轴上，可得：

T′_i＝－ΔE_icosα_i＋Q_icosα_i＋W_isinα_i　　　　　　　（5.54）

当边坡处于稳定状态时，这时边坡的安全系数n＞1，于是条块底滑面上的抗剪强度高于其剪切力。为了使抗剪强度与剪切力平衡，使边坡滑体处于极限平衡状态，需将抗剪强度值除以安全系数n，故有

式中　f_i——滑面的摩擦系数。

如将（5.55）式代入（5.54）式中可得：

将所有条块的ΔE_i迭加，由于边坡处于极限平衡状态，故∑ΔE_i＝0，于是得：

上式中N_i为未知，利用条块上竖向力的平衡条件，得：

将N_i值代入（5.57）式，经整理后得：

通常在条块两侧作用的水平力P_wi，i＋1和P_wi，i－1可视为数值相等的力，为了简化计算，这样（5.59）式中的∑Q_i仅为分条所受的地震力，如果坡顶张裂隙中有水，则水平力仍应保留，在无地震力时，边坡的安全系数为：

式中　Q——张裂隙中的水压；

　Δx_i——条块的宽度，Δx_i＝L_icosα_i。

由（5.59）式和（5.60）式可知，除n值外，其他所有项均为已知，但n出现在等式两边，所以只能用试算或试算迭代法解之。试算可按以下步骤进行：

①根据问题的性质，估计几个n值，如n₁，n₂，n₃，并假设n₁＜n₂＜n₃，然后分别将这3个分次代入（5.59）式的右边，又可算出相应的3个n值，分别以n′₁，n′₂，n′₃表示之。

图5.27　试算法求n

②将（n₁，n′₁），（n₂，n′₂），（n₃，n′₃）3点绘在直角坐标图上（以n为横坐标，n′为纵坐标），并将3点连成光滑曲线，如图5.27所示。

③从坐标原点作一45°的射线与3点连成的曲线交于一点K，K点所对应的n值即为所求的安全系数n。

如果要提高精度，可用该法求出的n值再次代入（5.59）式的右边，求出更精确的安全系数n。

若采用迭代求解安全系数，可按以下步骤进行：

①先根据边坡的条件假设一个n值代入（5.59）式的右边，可求出一个新的n值。如新的n值与假设的n值相差很大，不能满足要求，必须重复迭代。

②将新求出的n值再代入（5.59）式的右边，又求得一个修正的n值。如此反复迭代直至满足精度要求为止。

在多数情况下，收敛是迅速的。

毕晓普法是一种改进了的条分法，它与瑞典法的区别：一是考虑了分条间的水平压力的作用；二是这个方法适用于任何形状的剪切面。由于毕晓普法考虑了分条间的水平压力的影响，在多数情况下，安全系数将有所提高，即毕晓普法给出的n值常较瑞典法给出的n值为大。

5.3.3　条块间不平衡推力迭代法（传递系数法）

天然边坡的失稳一般是沿坡体内的软弱面（或软弱带）滑动，滑动面往往不规则。在这种情况下，常根据地质勘察结果，将滑动面简化为折面或其他形式的面，采用不平衡推力传递法来验算边坡的稳定性。这种方法是根据边坡滑动时滑动条块上力的平衡条件，沿边坡倾斜方向从上往下逐一求出上一条块对下一条块的推力，以最后一个条块的推力来判断边坡的稳定性。

图5.28　不平衡推力传递法

关于上条块对下条块作用力的方向，有的假设为与上条块底面平行，有的假设为与下条块底面平行。这两种近似的简化假设，当滑动面陡，倾角变化大时，两者计算结果会有一定的差异。现分析介绍如下：

1）上条块对下条块作用力的方向平行于上条块底面

如图5.28所示的边坡，其滑动面为一折面，条块i的受力如图5.28（b）所示。条块i中心作用有重力W_i，其底面倾角为α_i，在条块右侧面上作用有一（i－1）条块的不平衡推力F_i－1，（i－1）条块滑面的倾角为α_i－1，在左侧面上作用有一（i＋1）条块对其反作用力F_i（即i条块的不平衡推力），（i＋1）条块滑面的倾角为α_i＋1。底部作用有法向反力N_i和切向反力T′_i，由条块i底面法向和切向力的平衡条件得：

考虑到各条块底面的抗剪强度可能不同，于是用C_i和φ_i分别表示条块i的内聚力和内摩擦角。如边坡的安全系数为n，当边坡处于极限平衡状态时，底面的剪切强度T′_i为：

将（a）与（b）代入（c）整理后得：

式中

通常称ψ_i－1为推力传递系数，因而不平衡推力传递法又称传递系数法。

（5.61）式右端第1项为i条块的下滑力，第2项为i条块的抗滑力，第3项为（i－1）条块传给i条块的不平衡推力。对于第1个条块，最后一项为零。

在具体求解时需要试算，即先假定一安全系数n，从边坡顶部第1块算起，求出它的不平衡推力F₁，作为第1条块给第2条块的推力。再计算第2块在原有荷载和F₁的作用下的不平衡推力F₂。如此计算到最后一块，如果该条块在原有荷载及不平衡推力F_n－1作用下，求得其安全系数为n（即该块的不平衡推力F_n为零），则n即为所求的安全系数。如果不满足，可根据F_n小于零或大于零适当增减原定的n值，重新计算，直至满足条件为止。

上述求解需经多次试算，工作量较大，为了简化计算，可以采用以下较近似而迅速的办法，将条块自重引起的下滑力W_isinα_i应考虑其安全储备，即用安全系数n乘（b）式右端第一项，得：

于是（c）式改写为：

再将（a）式和（d）式代入（e）式得：

式中

用（5.63）式求解n的条件仍是F_n为零，由此可以得到n的一次方程，于是便可直接求出n而不用试算。有时其结果和更合理的做法比较相差不大，但这两种算法求出的n值之间并无一定的规律，在某些问题中，两者仍有很大的差别，使用时应当注意。

这种方法在我国铁道部门采用较多，一般用来核算边坡的稳定，并编有一些数表以供查阅。

例5.4某边坡如图5.29所示，滑动土体根据滑动面形状分为3个条块，各条底面尺寸如图示。已知第1条块W₁＝11000kN，φ₁＝37°，C₁＝0，α₁＝37°；第2条块W₂＝39500kN，φ₂＝7.5°，C₂＝5kPa，α₂＝10°；第3条块W₃＝400kN，φ₃＝7.5°，C₃＝5kPa，α₃＝－5°。采用安全系数n＝1.1，试验算边坡的稳定性。

图5.29　不平衡推力传递法算例

解　按（5.63）式进行验算

①第一条块的不平衡推力F₁

F_i＝nW_isinα_i－C_iL_i－W_icosα_itanφ_i＋F_i－1ψ_i－1

F₁＝1.1×11000kN×sin37°－11000kN×cos37°tan37°＝662.0kN

②第二条块的不平衡推力F₂

ψ₁＝cos（α_i－1－α_i）－tanφ_isin（α_i－1－α_i）

ψ₁＝cos（37°－10°）－tan7.5°sin（37°－10°）＝0.831

F₂＝1.1×39500kN×sin10°－5kPa×87－

39500m×cos10°tan7.5°＋662.0kN×0.837＝2538.9kN

③第三条块的不平衡推力F₃

ψ₂＝cos（10°＋5°）－tan7.5°sin（10°＋5°）＝0.932

F₃＝1.1×4000kN×sin（－5°）－5×17－4000kN×cos（－5°）tan7.5°＋2538.9kN×0.932＝1373.2kN

因最后条块的不平衡推力F₃＞0，故该边坡是不稳定的。

2）上条块对下条块作用力方向平行于下条块的底面

图5.30　条块间作用反力计算法

如图5.30所示，研究第i条块仅有自重作用下力的平衡关系。设第i条块滑面AB的倾角为α_i，相应地第i－1条块滑面的倾角为α_i－1，第i＋1条块滑面的倾角为α_i＋1。在条块重心上作用有条块自重W_i，其右垂直边界CB面上作用有剩余下滑力F_i－1，力的作用方向与第i条块具有α_i角的AB方向一致；在左垂直边界AD面上作用有条块反力F_i（即i条块具有的剩余下滑力），力的作用方向与AB面成δ角，从图中可知δ＝α_i－α_i＋1。

根据AB滑面方向力的平衡关系得：

当δ角很小时，上式分母趋近于1；当δ＝5°，φ＝20°时，该分母等于0.985。若将分母取为1，则求出的下滑力误差不超过1.5%。在该法中，将ψ＝cosδ＋sinδtanφ_i称为力的传递系数。

如果令ψ等于1，则（5.65）式可简化为：

设所有条块的C，φ值相同，采用（5.66）式则可求出所有条块上剩余下滑力，从上到下各条块的下滑力分别为：

式中　L₁，L₂，…，L_n——各条块底部滑动面的长度。

计算时，先算F₁，然后再算F₂，F₃…依此类推一直到F_n。

将（5.67）式等式两边逐个相加得：

表明边坡处于极限平衡状态时，安全系数等于1。如果F_n＞0，则边坡是不稳定的；反之，F_n＜0，则边坡是稳定的。

当考虑条块反力作用的安全系数时，可以逐个条块进行计算。由于需要的是包括全部n个条块的安全系数，并假定F_i－1与条块i滑面方向一致。这样，包括n个条块的安全系数为：

式中

因此，为了求出安全系数，须先用（5.70）式相似关系式逐次计算出F₁，F₂，…，F_n－1，然后再代入（5.69）式，即可求出安全系数的大小。