走向后实证主义的数学发展观

走向后实证主义的数学发展观

□［荷兰］E.格拉斯　□陈祖亮　译

导言

仿照拉卡托斯关于数学的拟科学性和方法的准经验特征的研究，1980年代产生了多种多样新后实证主义数学发展模型。这里，后实证主义是一个总称，它指那些断言全部知识具有社会和历史性的现代理论。在后实证主义那里，辩护的逻辑与发现的范围(社会的、历史的)的严格区分被拒斥，知识的获得和合理性评价被看作依赖于构造假说的概念框架。理论决定人类看待世界的方式，但理论框架并非是确定不变的，而是随时间、地点、历史和文化的变化而改变，只是就它们达到预定的认识目的而言，当时无庸置疑地被接受了。但是，由于新问题、新情况的出现而导致的内部和外部新要求，这些理论也许不得不进行相应的变革与调整，以便能适应新的实践领域和文化环境。

既然科学理论从来就不可能与所有的证据材料一致(它们生来就是被证伪的)，那么仅仅经验或证据与理论不一致不可能是抛弃或替换理论的充分理由;除非有一个能够一贯地替换某一理论的理论，它是不会被抛弃的。然而，替换必然有得有失，而且二者不可能均衡，因此，衡量一组新的基本假设是否成功，一般不能够使用适合于旧理论的标准，因为认识的前提(priorites)往往由于同样的原因根本改变了。这样，在科学知识发展的后实证主义说明中，“不可通约”作为一个主要范畴出现了。在这种说明中，科学(包括数学)理论的变化发展已不是符合合理性方法论规则，而是由于理论在新的历史环境中出现了疑难问题，为了解决新的疑难问题而对概念的结构和论证的方式进行根本性变革。对科学变革的合理评价，包括新、旧纲领的合理比较，逻辑的方法已不适用，迫使我们超越纯逻辑的辩护。

就数学而言，大多数后实证主义哲学家认为与自然科学的情况截然不同。确实，数学命题或理论不依赖于观察和实验，而依赖于逻辑论证。但是，说数学陈述是逻辑的，以区别于经验陈述是一回事，在数学和自然科学之间进行严格区分是另外一回事，科学和数学都不只是由逻辑论证构成。

从逻辑的观点看，经验科学远非“经验”的。较成熟的自然科学极其类似于数学，它的概念体系和结构在很大程度上是非观察的和自给的(self-supporting)，要获得可以检验的结果需要复杂的理论推导，并且它们的经验陈述依赖于其自己的关于名词意义的假定:对观察、实验条件和过程、理想化条件的解释。简言之，依赖于更加基本的观察理论。因此，检验一个科学理论，最终意味着看它是否与和它有关的更低层次理论具有一致性(很类似于数学);而且，不通过检验理论而解决“经验”的困难总是可能的(但并非总是合理的)。

相反，数学在很多方面却非常像科学。实际上，如果数学仅是逻辑真(分析的、重言式的)的陈述构成的语言系统，那么它必然没有任何经验内容，它的历史发展也必然由连续的逻辑增生构成，而不会存在不可通约性。然而实际情况是，在数学的发展过程中，不可通约性虽然不明显但却较普遍，非常类似于我们在自然科学中所见到的。当数学被假定“无经验内容”(means nothing)，它怎么能够在自然科学、技术科学和实践中产生重要作用呢?确实，一旦数学用形式的语言来表达，它在经验上就不可反驳，但理论科学何尝不是如此呢?无论科学还是数学，形式化理论总是能够免于非形式的经验证据的反驳，无论这种证据的反驳多么顽强——这方面的做法，数学和科学一样。

探究数学后实证主义解释可能性的一个明显方法是，转换后实证主义科学观，把科学和数学同样看待。为此，我们从拉卡托斯的准经验数学哲学开始谈起。

拉卡托斯准经验的数学哲学

根据实证主义观点，数学理论是依靠逻辑证明为真的，这种逻辑证明完全独立于数学发展的过程，因而数学发展就是真命题的不断累积。然而，拉卡托斯等人的研究表明，确立数学知识“合适基础”(或者是逻辑，或者是语言约定，或者是直觉)的企图要么会导致恶性循环或无穷回归，要么就要求助于教条主义信条。为跳出教条主义的窠臼，拉卡托斯在反教条主义(因而他也是可误论者)基础上恢复了数学发现逻辑的基本要素——批判性争论和讨论——的重要地位。

在《证明与反驳》中，他表明了数学发展如何能被看成一个“借助证明与反驳而改进”的辩证过程，以及准实验(以思想实验的形式)是如何推动数学发展的。也就是说，数学的发展就是在已接受的背景知识中提出猜测，然后构造启发性反例(思想实验)，这样不断地猜测与反驳而不断改进的过程。传统的旨在建立数学知识真理性的方法论让位于这样一种方法论，它否认数学追求真理性，主张数学是尽力去把基本原理阐明得清楚明白;数学理论不追求绝对的真，而追求越来越好，进步而非真理成为数学知识的典范。

拉卡托斯把数学看成准经验科学意味着，在准经验的理论系统中，原初(initial)真值不在“顶部”(at the top)(欧几里得几何系统便是如此)，而是在“底部”(at the bottom)。主要的逻辑流向是证伪的不断传递，它从非形式化层次关于实在知识的基本陈述向更高级的被认为准确、清晰表达了这些非形式内容的公理传递。对非形式内容进行形式化的形式理论，从它们必须能够一贯地加以说明的前形式知识的内容中获得意义。与在科学中一样，形式化提供了一个更加准确、融贯的对基于直觉知识的说明，而不是先验的“基础”。形式理论的非形式模型是“潜在证伪”的源泉:通过改进公理的“错”的推论，数学理论的内容变得越来越丰富。

逻辑主义、直觉主义和形式主义的基本纲领已过时，它们已退化为彼此不相干的信念系统。进步的纲领是批判的纲领，把数学看作准经验科学，它的“逻辑”不是第一原理真理性从“上”向“下”的传递，而是在关于实在知识的非形式层次上，以启发性反例形式“向上”证伪第一原理的不断传递。

我认为，拉卡托斯关于数学性质准经验的说明显然是现存最有希望的哲学纲领。但是，他用来说明数学知识增长的方式受到他的方法论所固有的“相对性”的妨碍，这使得理解他所主张的数学发展是由合理性方法论指导的过程成了问题，像我在别处已表明的那样，数学历史发展的最重要关头，蔑视逻辑(方法论)术语的重构。在下文中我将表明，拉卡托斯的方法论仅仅是事后说明，甚至是事后的，也不能说明科学知识的增长。

历史证伪拉卡托斯的元方法论

既然数学理论是不能绝对证实的(否则也许意味着要求助于教条主义的“第一原理”)，我们只能相对于在它之前的理论和与它相竞争的理论来评价它，被评价的是“纲领”——由“硬核”(基本假定)和“保护带”(可修正的理论系列)构成。就一个纲领被接受而言，其硬核是不可反驳的。对纲领的评价是看理论系列的变化是进化还是退化，即得到还是失去知识内容。就同一纲领而言，能够根据内容的增减进行评价;不同的纲领，内容本身不能直接比较。因此，一个退化纲领的内容也许比正在快速成长的竞争者要“多”。我们也无法知道一个非进步纲领何时复活(历史上多次出现这种情况)。正如拉卡托斯所指出:“坚持一个退化纲领直到它被竞争对手取代，甚至在取代之后仍坚持它，并非是不合理的。”所以，进步的“相对性”使方法论评价必然是模糊的。

事实上，如果合理选择能够预先得到辩护，那么理性的科学家就能够无歧义地同时达成共识，也就没有公开的理性竞争者了。但是，拉卡托斯的方法论使合理选择完全依赖于竞争纲领间进步的相对评价，他的方法论自身消灭了预先性(forwards-directedness)，只能是事后说明(backwards-directed)。

尽管拉卡托斯的方法论是事后说明，但很明显它不是要说明数学理论实际上产生、调整、改正等的曲折过程，而是重构在“世界3”(third-world)层次数学发展的过程。“世界3”是客观知识(定理、证据、理论)层次，这种客观知识是从伴有人的因素的变化不定的“实际历史”(real history)中“提炼”来的。所以，拉卡托斯方法论的目的不是普通意义上说明数学实际发展的历史，而是重构被认为是它的“世界3”的等价物——只有他的方法论标准适用于它。这个方法论模型显然必须依赖这些条件:(a)数学总体上必然是进步的，否则，把数学发展的历史作为检验其方法论的一个例子是毫无意义的;且(b)它的进步证明了一种方法论排除所有历史和文化因素是合理的。这些条件不仅和数学实际发展的历史不一致，而且它们对于说明数学知识增长也非常不必要。

拉卡托斯的历史重建预先假定科学的合理性方面是完全能够由发现的逻辑所说明的。在这个意义上，内部史被认为对于合理说明客观知识的增长是自足的;而外部史是无关紧要的，它仅被用来说明在实际的历史和它的合理重构的知识之间极少量不一致的非合理性。拉卡托斯的元方法论纲领有意义仅仅基于这个假定，就客观知识(objectively articulated products)而言，科学进步必然完全能被方法论所说明。依这种观点，这些知识产品与它们的生产者分开了，并且有“它们自己的增长原则，它们自己的辩证法”，这样“在实际历史中所呈现的数学家的活动只是对数学知识笨拙地探索”。

我认为这种假定是不正确的，而且对于合理解释数学的发展也是多余的。为什么非方法论的因素，比如说“先验的”，对于理解数学知识增长就是不合理的和无关的呢?数学中一些重大的变革事件实际上已表明，拉卡托斯的辩证法不适用。因为按照拉卡托斯的方法论，这些重大变革事件必然要归入“非合理的”、“外部的”和“对于我们理解数学发展是无关的”这一类。拉卡托斯也许不得不这么做，但是，这是非常奇怪、有悖常理的!也许真正的进步恰好依赖于非方法论的因素!这并非表明我们要放弃“合理性”的追求，因为放弃追求客观标准将使我们陷入相对主义。然则，必然的挑战是放弃“内部(方法论的)逻辑的”考虑之后，如何来说明“合理性”。在我看来，关于数学发展的合理性说明不应被限制在两个连续理论间的“形式”(formal)关系;也包括“功能”(functional)方式，在其中，概念结构和推理方式能够越来越好地解决它们打算解决的新问题。

库恩的观点

科学知识的变化是广泛而深刻的。数学的发展也具有库恩所描述的常规和非常规两个方面。这两个方面研究的方式和重点是非常不同的。一方面，常规研究方面，学科研究使用既定的方法或技术，研究细节问题，在不断优化研究方法以尽量准确、全面地解决因严格划分而导致的特定领域的全部问题时，形成自己特殊领域的专家集团。另一方面，非常规研究，即革命研究，很少执着地专注于某一学科的特殊领域，主要专注于如何改进概念的结构和推理方法，以及利用有限的资源去尽力解决跨领域的问题。

概念的更新意味着设定的专业和学科间的界限被打破，并因此引进了与要解决的新问题有关的方法和理论。这促使我们在两个“纯”学科专业间的灰色区域进行研究探索，在那里，原先专业领域公认的标准方法不再适用。这种情况下，在数学领域(formal areas)研究的合理性在于恰当解决具体问题的方法而不是好的形式化规则，形式化的一般规则只能使数学家免于不连贯和不一致。逻辑证明方法不仅不可能完全实现自证(self-justifying)，而且还要借助对逻辑证明方法的说明和解决问题的结果而证明自己的恰当性。为了解决因情况变化而改变了的疑难问题，标准、论证方法和合理性探究方法的不断改进都是实用性的(functional)，而不是形式化的。

因此，过于狭窄的关于合理性发展的逻辑或形式概念和分析的内涵必须扩大，以便包括功用的方法，来说明数学概念和方法要解决的问题的社会文化性。在显著进步的重要案例中，事后呈现出的具有根本变革的特征是，在新的认知结构中引入了看问题的新方式和解决问题的新方法。

通常，新理论显示先前被当作不相干的问题却是紧密相联的，并促使数学家在一个新的、更加统一和综合的概念和推理系统下把数学问题分为不同的类，并且通过抽象和理想化来说明这些问题而不必求助于原先的教条。新理论的变革导致的显著变化是数学理论对象内容和意义的改变，进而改变了数学领域亚学科间的关系和界限，以及数学和其他知识活动(如科学和技术)间的关系和界限，而且数学家也更深刻地理解了他们自身的工作。

数学家审视他们自己的工作，往往强烈地受他们所遵从范式(normative framework)的影响，并且反过来，范式又受数学家在竞争时为自己辩护不得不依赖的关于范式的成就、竞争力和成熟度的影响。由于范式的“思想体系的封闭性”(ideological closure)，范式彻底的变革就是数学总体形象(image)变得与旧范式不可通约，它的对象、目的和标准也完全改变，新旧观点是如此的不同，以至于它们根本不可能达成一致，并对对方作出合理的判断与评价。数学研究实践是首要的，当实践研究得到完全不同的新的数学范式，并且新旧范式间完全没有逻辑联系，这样便没有什么理由要求这部分数学家团体不去坚持他们自己认为成就最高和最有希望的理论。

根据我的研究，处于竞争的旧范式阵营的数学家群体往往求助于可靠的技术和流行的观念形态去证明他们的观点和支持他们进行数学研究的方式。他们选择的主要方法是比新范式阵营有效地控制吸收新成员的稳固不变的机会，尤其是对学生的培训，这些学生很可能仍持有以往传授给他们的常规观点。由于学生在概念框架形成过程中会获得各种技术，这种培训和前辈数学家的专业经验会继续影响他们的专业评价。从社会选择的观点看，概念框架的不同表现在，在竞争的环境中，共同体对在知识和专业两方面都熟练而又有竞争力的潜在新成员吸引方式的差异。

这些关于数学发展的观点可以说反映了库恩划时代思想的主要特征，尤其是反映了作为范式的数学形象(image)的意义。范式塑造我们的世界观，并且通常在逻辑上是不可比较的，它对社会和历史过程具有决定作用。然而，我除了在基本方面和库恩一致外，在两个密切相关的问题方面存在明显分歧。在我看来，心理学层次实际上应该更少被考虑，重心应该是在研究群体的“外部”社会关系上，而不是共同体的“内部”社会过程。两个不同方面似乎与被库恩看成是格式塔转换的范式转换的理论密切相关，因为它们需要心理分析去说明因信念危机导致的向新世界观转变的科学革命。

库恩认为，常规科学研究为革命提供了条件和具体材料(内部因素)，革命的产生是由心理上不能忍受的反常积累所导致，也就是在现有范式下尽管持续不断地进行最大的专业努力，疑难问题仍旧不能解决。碰巧也会有这样的情况发生，出现的危机并没有解决，但难以对付的问题却被忽略或忘记。然而，危机也许是革命的序幕，革命中证据被重新看待，世界以一个新的方式呈现于我们面前，先前范式中的反常由于基础理论的根本改变而解决，并且产生出一个全新的范式。

数学中没有一种案例适合于我上文描述的“革命”，尤其值得注意的是，不可通约的革命完全不是由“库恩危机”引起，而是由使认识实践符合急切的内部和外部新要求所导致，这些新要求产生于认识实践与社会文化环境的相互作用。如同我们前面已提到的，新旧纲领的比较评价仅仅考虑内部(方法论)逻辑是不够的，外部关系和共同体的改变也对革命有重要影响，甚至起决定作用。由于观念体系的封闭性，已确立的“范式”受到挑战，甚至令人信服地被推翻，原因在于(a)与新范式(framework)密切相关的理论(intellectual)和技术的目标是完全值得追求的，并且(b)这个新范式在实现新的认识和实践的近期和远期目标方面远远胜过已确立的教条。

库恩现在应该接受了数学中会发生“革命”并无需革命前存在“危机”的说明。不过，他可能指出他的“危机模型”适用于科学而不是数学来为自己辩护。但是，我在以前的著作中关于“革命”的论述也已表明:“不可通约”的革命在早期生物学中同样可以由无“危机”的模型来加以说明。

我认为危机的观点在库恩的思想中是必不可少的，因为他把科学发展首先看成是竞争的科学家共同体内部的事情。据此确实很难想象科学家有什么理由去打破其传统，除非未解决的疑难问题与学科太相关并且太重要以至不能忽视。但是，一旦我们意识到科学也有社会功能，并依赖于公众和纳税人的支持，我们就能发现一系列其他非常好的理由，它们与“人类共同的观念和思想方法就是有解决问题的根本需求”有关。这样，由信念危机而导致产生一个新的信念系统的观点变得无意义了。

库恩在对他的理论进行辩护时，如果限制在只适用于自然科学，并把数学作为根本不同的知识形式而排除在外。我认为一样是无的放矢，也已被最近数学哲学的研究发展所否弃，而且也部分减弱了他的理论的力量。库恩之前的哲学家无一例外地把科学知识的逻辑结构作为中心问题，而不是科学发展的历史和社会功用。这导源于他们关于数学知识的模型，并将这种模型推广到所有知识，使他们的理论名副其实。现在该是强调恢复欧几里得科学理想的时候了，也就是，方法论不仅适用于科学也适用于数学。

模型和数学知识的结构

如同我们所看到的，数学的变革是广泛而深刻的，通过概念变革逐步深入到更加普遍、抽象的更深层次。这样形成的数学的梯次概念结构不是逻辑发展的必然结果，而是建构数学知识的历史过程偶然产物。因而，对数学发展的逻辑重建要消除某些不连贯和不一致的地方，以便适用或覆盖更大的范围。但是，这却无法说明数学自身发展的结构以及它的起源、性质和理论基础(rationale)。

“模型”(非形式的)这个概念曾经表达了一系列不同层次的概念与相应数学结构准经验性间逻辑联系的不完全性。比如“数”这个概念，尽管并非每个人都有不同的数的概念，但它的客观性也不是超历史、超文化而不变的，关于数的公理和逻辑证明甚至在今天也远未达成一致。把数学对象看作“数”或“模型”解释了数学概念变化的某些事实，但它们不是“指称”而是“代表”了经验对象的特征，以一种“更简单但相似”的形式表达了经验对象的特征。

模型总是模仿别的东西，或者其他“事物”，或者其他模型(或者两者)。从起源上讲，一个“数”是“许多”(a number of)，并且早期的数学家，诸如毕达格拉斯主义者，通过把一些点(代表一个数可能有的任何东西)放在几何图形中来研究它们的性质。他们研究了矩形的(可除尽的)、直线的(质数)、平方、立方和其他种类的数。模型仅表达所代表事物的某些特征，也即与模型的“功用”有关的那些特征，如解决问题、说明和预测等功用。所有对问题的解决、说明和预测等都是暂时的，还会产生新的问题和挑战，并需要对模型进一步修改、调整和改进。毕达格拉斯主义者用数的概念解释全部宇宙的基本结构，把事物间的所有关系解释为数的比例(ratios)，并认为是无处不在的宇宙和谐的表征。发现在一些严格定义的几何量间不存在比例这种现象(如正方形的对角线和边的比或者规则五边形的对角线和边的比)，以一种神秘但严肃的形式削弱了他们关于数的观念。最终，面对“不可通约的困境”(在字面意义上)，为了重建关于数的模型，在古希腊出现了数与形的分离。欧几里得的比率(proportion)理论恰好完全满足这一需求。从这种新的观点看，毕达格拉斯理论应被重新解释，并归入一个特例。但是，从“前瞻”的观点看，这种改变简直可以说预示着整个宇宙学的变革。从“天体和谐”的教条(解释为自然界“数”的和谐)到世界是由安排好比率的几何量构成，可以看成是构成“可见”的实在世界“元素”(elements)的根本变革。

模型必须通过某种媒介来表达，语言，即非形式概念或者严格的形式逻辑，是数学模型通常被铸成的媒介。正如上例中所表明的，旧模型中被保留下来的语言和逻辑被重新构造以适应新的模型，因而新旧模型中会有同样的符号或概念。事实上，尽管代表概念的名词或术语是同样的，但在新、旧模型中，有不同的功能和意义，因此逻辑联系是不完全的且仅仅是部分传递(翻译)，模型的变化因而从语言上讲是不连续过程，包含了数学形象和性质的非连续的、质的变革。

甚至最抽象的数学结构在最终意义上讲都是模型，也就是说，有一个渐趋于具体经验的模型链，在最低层次，图像或数的模型挑选(“抽象”)事物的某个方面，以更加简单但相似的形式代表它们，即它比经验原型能够更容易处理和计算，而且保留了与要解决问题相关的经验特征。这种“抽象”的过程不断继续、不断深入，问题和解决问题的模型就会进入到越来越抽象的层次。也就是说，数学的概念等级是通过这个过程形成的，在其中，每一高层次的概念都是从其前面更低层次抽象出，之所以如此，是因为低层次概念结构的内部压力和数学实践的外部要求产生了新的问题，需要进一步的“抽象”。

数学是“在实践中”学习的社会认识过程。从这个观点看，即使最抽象的数学在人类世界中具有奇迹般的效用也并非不合理的。构建新模型的理由(reasons)非常不同于后来被重构作为在“逻辑上”证明是正确的理由。因此，对数学合适的哲学理解要求我们追溯数学发展的一系列历史变革，这些变革最终导致形成现在种种数学形象并使它们的理由(reasons)变得清晰。

(此文为荷兰德尔弗特理工大学(DelftUniversity of Technology)数学系教授格拉斯(Eduard G las)参加“1993年武汉科学哲学与逻辑国际会议”所提交的英文会议论文。当时我作为硕士研究生，受命将该文译为汉语，供参加会议的中国专家学者参考。此译文在原来译文的基础上，对照英文原文进行了认真修改。)