概率演算中的分析方法

时间：2023-09-28 百科知识版权反馈

【摘要】：我们刚才在一些概率问题中阐释了原理的应用，这种应用需要一些方法，而对这些方法的研究导致了几种分析方法的产生，尤其是组合理论和有限差分运算的产生。求一次取得s个给定的数的概率。但是，解决概率问题的最一般而直接的方法在于让它们由差分方程所决定。求以任何给定的次数n游戏结束的概率。借助这种方程，可以很容易地求出游戏在给定的次数结束的概率。

我们刚才在一些概率问题中阐释了原理的应用，这种应用需要一些方法，而对这些方法的研究导致了几种分析方法的产生，尤其是组合理论和有限差分运算的产生。

如果这样构造二项式的乘积：1加第一个字母，1加第二个字母，1加第三个字母，重复这样的过程，直到我们得到n个二项式，然后将它们乘在一起^[15]。用这个乘积的展开式减去1，我们得到这样的一个和式，它是由下述的和相加得到的：从这n个字母中任取1个字母得到的所有组合的和，任取2个字母得到的所有组合的和，……，任取n个字母得到的所有组合的和；所有和中的所有项的系数都是1。为了得到从这n个字母中任取s个字母所得到的组合的数目，我们观察到如果我们假设这些字母彼此相同，那么前面所述的乘积就变为1加第一个字母得到的二项式的n次幂；因此，从n个字母中任取s个字母所得到的组合的数目就是这个二项式幂的展开式的第一个字母的s次幂的系数；这个数可以借助著名的二项式公式得到^[16]。

值得注意的是在每个组合中字母的各自的情况，观察到如果将第二个字母和第一个字母组合，则它可以放在第一个位置或第二个位置，这样就得到两种组合。如果我们在这两个组合加入第三个字母，我们可以将其放在第一个，第二个和第三个位置，这样，对这两个组合中的任何一个，都可以得到三个新组合，共计六个组合。由此可以很容易地得出s个字母的排列的个数是从1到s的所有整数的乘积。为了考虑到这些字母各自的位置，有必要将该乘积与从n个字母中取s个字母得到的组合的数目相乘，该数等于略去了相应的二项式系数的分母^[17]。

假设在一个瓮中有a个白球和b个黑球，从中抽取一个球之后再将其放回瓮中，求抽取n次取得m个白球和n-m个黑球的概率是多少。很清楚的是在每次抽取可能发生情况的数目为a＋b。第二次抽取的每种情况可以和第一次的所有情况组合起来，两次抽取的所有可能情况的总数为二项式（a＋b）的平方。在该平方式的展开式中，a的平方表示两次都取到白球的情况的总数，a与b积的两倍表示一次取到白球而一次取到黑球的情况的总数。最后，b的平方表示两次都取到黑球的情况的总数。重复这样的过程，我们看到，在一般情况下，（a＋b）的n次幂表示在n次抽取中所有可能情况的总数；在该次幂的展开式中，a的次数为m的项表示抽取到m个白球和n-m个黑球的情况的总数。用该项除以二项式的n次幂，我们得到抽取到m个白球和n-m个黑球的概率。a与（a＋b）的比是在抽取过程中取到一次白球的概率；b与（a＋b）的比是取到一次黑球的概率；如果我们称这两个概率为p和q，在n次抽取中取到m个白球的概率是（p＋q）n的展开式中p的次数为m的那一项；我们可以看到p＋q等于1。该二项式的这个突出的性质在概率论中是非常有用的。但是，解决概率问题的最一般而直接的方法在于让它们由差分方程所决定。当我们根据他们各自的差异增加变量，对比表示概率的函数的逐个条件，要解决的问题经常提供各个条件之间的一个非常简单的比例。这个比例被称为常微分方程或偏微分方程；只涉及一个变量时称为常微分方程，涉及多个变量时称为偏微分方程。以下我们考察几个这样的例子。

假设三名水平相同的玩家在如下条件下一起玩游戏：前两名玩家中的胜出者同第三名玩家比赛，倘若前者胜出，则游戏结束；但是如果前者失败，则后者同另一位玩家比赛，这个过程一直持续到有一名玩家连续击败另外两人，此时游戏结束。求以任何给定的次数n游戏结束的概率。首先让我们精确地求出游戏结束于第n次比赛的概率。因为在此种情况下，赢得比赛者应该参加第n-1次比赛，并且赢得第n-1次和最后一次比赛。但是如果他没有赢得第n-1次比赛的话，也就是说他被对手击败，而他的对手又在前一次比赛中胜出，则此时游戏就会在这一场结束。因此，其中一位玩家进入第n-1次比赛并且赢得这次比赛的概率等于游戏恰好在这场比赛结束的概率；当这名玩家必须赢得下一场比赛，只有这样游戏才有可能在第n次结束，最后这种情况的概率只能是前述情况的概率的一半。这个概率显然是n的一个函数；那么，这个函数等于关于n-1的同一个函数的一半。这个等式就是被称为有限常微分方程（ordinary finite differential equation）的一种^[19]。

这种通过差分方程获取一个量的相继值的方法是冗长而费力的。几何学家已经找到一些方法可以得到满足这个方程的带下标的一般函数，于是对任意特殊的例子，我们只需要在这个函数中代替对应的下标的值。我们用一般的方法来考虑这个问题。为此我们设想排列在一条水平线上的一系列项，它们中的每一项都可根据某一给定法则从前一项得出。假设这个法则可以由一个关于相继的几项和它们的下标或者说是表示它们在序列中的秩的数的方程给出。我将这个方程称为带一个下标的有限差分方程。该方程的阶（order）或者次数（degree）是这两个项的秩的差。利用这个方程，我们能够逐次地确定这个序列中的几项，并将该过程重复下去；但是，为了做到这一点，必须知道这个序列的几个项，所知项的个数等于方程的次数。这些项是序列的一般项的表达式或者差分方程的积分的表达式的任意常数项。

我们想象一下第二个项序列的图式，其中的每一项都在第一个序列的项的下面，并按水平方向排列。再想象一个位于第二个序列的项下面的第三个水平排列的序列，就这样无限地进行下去；我们假设所有这些序列的项由一个一般的方程联系起来，这是关于几个相继的项，相继的是指在水平方向和垂直方向的意义上，和在两个方向意义上表示其秩的数之间的方程。称这个方程为有两个下标的有限偏差分方程。

我们以同样的方式想象一下位于前述序列的图式之下的相似序列的第二个图式，其中的项都被放置在第一个图式的项的下面；再想象一个位于第二个图式下面的第三个类似序列的图式，就这样无限地进行下去；我们假设这些序列的所有项由一个方程联系起来，这是关于在长度、宽度、深度意义上几个相继的项和在这三种意义上表示它们秩的数之间的方程。称这个方程为有三个下标的有限偏差分方程。

最后以一种抽象的方式且不依赖于空间的维数来考虑这个问题。一般地，让我们想象一个由若干量组成的体系，这些量是确定个数的下标的函数。我们假设关于这些量、这些量与这些下标之间的差、与这些下标本身之间，有着与这些量的个数一样多的方程。将这些方程称为给定下标数的偏有限差分方程^[22]。

利用这些方程，我们能够逐次地确定这些量。但是，就像含有单一下标方程，我们必须知道该序列的若干个项，以同样的方式，因此含两个下标的方程需要我们知道一行或几行序列，这些序列的通项可以由其中之一下标的任意一个函数表达出来。类似地，含三个下标的方程需要我们知道一个或几个序列图式，其中每一个通项都可以由任意一个具有两个下标的函数表达出来，以此类推。在所有这些情况下，通过逐次消去我们能够求出这些序列的某个项。但是，因为如此消去法所用到的所有方程都包含在方程的相同图式中，我们取得相继项的所有表达式应该被包含在一个一般表达式中，这是一个决定该项的位置的下标的函数。这个表达式上述提到的差分方程的积分，积分演算的目的就是求出这个表达式。

泰勒^[23]在其题为《增量法》（Metodus incrementorum）的著作中首先研究了线性有限差分方程组。在这里，他展示了怎样求含有一个系数且最后一项是一个下标的函数的一阶方程的积分。事实上，通常考虑的等差数列和等比数列的项的关系是线性差分方程的最简单的情形；但是人们从未以这种角度去研究它们。正是这些将它们与一般的理论联系起来的研究之一，引发了这些理论的产生，并成为一些名副其实的发现。

大约在同时，德莫弗（de Moivre Abraham）凭借循环级数研究任意阶的常系数有限差分方程。他以一种别出心裁的方法成功地求出了它们的积分。在此追溯一下发明者的足迹是非常有趣的。把德莫弗的方法应用于一个循环级数，其中已给出三个相继项的关系，通过这种方式，我将拓展他的方法。首先，他考虑等比数列的相邻的一些项的关系或者表示其两个项的方程。他将这种关系中的每一项的下标减去1，将之乘以一个常数因子并减去从第一个方程得到的乘积。因此得到关于等比级数连续三项的方程。德莫弗随后考虑第二个数列，其各项之比是他已经用过的相同的因数。类似地，他将这个新的级数方程的项的下标减去1。在这种情况下把它乘以第一个数列的公比，从第二个数列的方程中减去这个积，由此发现这个（第二个）数列的三个相继项的关系完全类似于在第一个数列中发现的。随后他注意到如果将两个级数逐项相加，在这个和（级数）的任意给定的三个相继项之间存在相同的比例关系。为了求出两个等比数列的公比，他将这个比的系数同前述递归级数的那些项的比例关系的系数进行比较，他发现一个二次方程的根就是这些比。由此，德莫弗就将递归级数分解为两个等比数列，每一个都乘以一个任意常数，德莫弗通过递归级数的前两项确定这个常数。实际上，达朗贝尔也用这个匠心独具的过程来求常系数的无穷小线性差分方程的积分，拉格朗日已将之转化为相似的有限差分方程。

最后，我考查了线性偏有限差分方程，首先用的是循环级数（recurrorecurrent series）的名称，然后再用它们各自的名称。对我来说，求所有这种方程积分的最一般、最简单的方法是建立在对生成函数的思考上的，其一般思想如下所述。

如果我们构造一个关于变量t的函数V，并按照该变量的幂而展开，每个幂的系数都是这个幂的指数或者下标（exponent or index）的函数，我将这个指数称为x。我将V称作这个系数或下标的函数的生成函数。

现在，如果将V的展开式的级数乘以一个同样以t为自变量的函数，例如1加上该变量的两倍，这样的乘积则是一个新的生成函数，其中变量t的x次幂的系数等于V中相同次幂的系数加上t的x-1次幂的系数的两倍^[24]。因此，乘积中下标x的函数等于V中下标x的函数加上下标减1的相同函数的两倍。下标x的函数因此是V的展开式中相同下标的函数的导数，这个导数函数我称之为这个下标的原函数。我们通过将字母δ放在原函数之前来表示导函数。由这个字母表示的导函数依赖于V的乘数，我们用T来表示，并假设T和V一样，以变量t的幂而展开。如果我们将T乘以V和T的乘积，这就等于将V乘以T2，我们构造第三个生成函数，其中，t的x次幂的系数是一个类似于前一个乘积的相应系数的导数；也可以通过将同样的字母δ置于前述的导数之前来表示它，这样x的原函数之前要写两次δ。但是为了代替这种两次书写，我们赋予它一个指数2。

继续这样的过程，我们看到，在一般的情形下，如果我们用V乘以T的n次幂，我们通过将字母δ的n次幂放在原函数前面而得到V和T的n次幂的乘积中t的x次幂的系数。

例如，我们假设T是t的倒数；则在V和T的乘积中，t的x次幂的系数等于V中t的x＋1次幂的系数；V和T的n次幂的乘积中的（t的x次幂的）系数就是原函数，其中x增加了n个1。

我们现在考察t的一个新函数Z，与V和T一样，以t的次幂展开它；我们通过将符号Δ放在原函数之前来表示V和Z的乘积中的t的x次幂的系数；x的原函数前加上Δ的n次方表示V和Z的n次幂的乘积中的系数。

现在V和T的n次方的乘积是原函数，其中下标x增加n个1；再经过判别式到它们的系数，我们将使得这个增加的原函数等于二项式Z＋1的n次方的展开式，只要在这个展开式中用原函数相应的差分去替换Z的各次幂，并且将这些次幂的独立的项和原函数相乘。我们将因此得到原函数，其中下标以它的差分为单位增加任意给定的数n。

假设T和Z总有上述的值，并且使Z等于二项式T-1，那么，V和Z的n次幂的乘积等于V和二项式T-1的n次幂的展开式的乘积。如上已实施的，再经过从生成函数到它们的系数，就会得到以二项式T-1的n次幂的展开式的原函数的n阶差分，其中我们以同样的函数替代T的次幂，这个函数的下标要加上幂的指数，我们也以原函数替换独立于t的项——这个项就是1，由此通过这个函数的相邻的项就得到了这个差分。

置于原函数前的δ将那个函数转换为V和T的乘积中的t的x次幂的系数（这个函数的导数）；Δ表示V和Z的乘积中同样的导数，通过前述的讨论，我们导出这样一个一般的结果：无论T和Z所代表的变量t的函数是什么，在利用这些函数能够形成的所有恒等式的展开式中，可以用符号δ和Δ代替T和Z，只要在序列中下标的原函数可以写在幂和这些符号的幂之乘积之后，并且将这些符号的一些独立的项乘以这个函数。

如果将δ置于原函数之前而得到的函数等于0，我们将得到一个有限差分的方程，V是它的积分的生成函数。为了求出这个生成函数，注意在V和T的乘积中，应该消去t的所有次幂，除了那些小于差分方程的阶数的次幂；V等于一个分数，其分母为T，其分子为一个多项式，在这个多项式中t的最高次幂比差分方程的阶小1。T的各个次幂的任意系数，包括常项，由下标的原函数的对应个数的一些值所决定，其中，相继令x等于0，1，2，等等。当给定差分方程时，可以这样求出T：将差分方程的所有项放在最前面，用1替换具有最大下标的原函数，用t取代这个下标减1的原函数，用t2替换这个下标减2的原函数，以此类推^[25]。在V的前面的表达式的展开式中，T的x次幂的系数是x的原函数或者有限差分方程的积分。分析学为此提供了多种方法，在其中我们可以选择最适合研究对象的一种，这是积分方法的先进性。

设想V是关于两个变量t和t′的函数，以这些变量的幂及其乘积的形式而展开；t的x次幂和t′的x′次幂的乘积（txt′x′）的系数是这些幂的指数或下标x和x′的一个函数；我称这个函数为原函数，V是这个函数的生成函数。

我们将V和变量t和t′的函数T相乘，T以这些变量的幂和乘积的形式而展开；乘积是原函数的导函数的生成函数；例如，如果T等于t加上变量t′减2，这个导数将由一个原函数而给出，这个原函数的下标x被替换为x-1，加上这个x′被替换为x′-1的原函数，再减去原来原函数的两倍。对于任意的T，我们用一个置于原函数之前的符号δ表示它，它是一个导函数，那么，V和T的n次方的乘积，是原函数的导函数的生成函数，就是在它前面写出符号δ的n次方。因此这些定理类似于有关一个变量的函数的定理。

假设符号δ所指示的函数为0；那么就可以得到偏差分方程。例如，如果我们像前面一样，令T等于变量t加变量t′-2，那么，这三项的和就等于0：把下标x换为x-1的原函数，把x′换为x′-1的原函数，减去原函数的两倍。那么，原函数或者这个方程的积分的生成函数V必须使它与T的乘积不包括t和t′的所有乘积；但是V可能单独地包括t和t′的次幂，也就是说，t的任意一个函数和t′的任意一个函数；V是一个分数，其分子为这两个任意函数的和，其分母为T。在这个分数的展开式中，t的x次幂和t′的x′次幂的乘积的系数是前述偏差分方程的积分。在我看来，这一类方程的此种积分方法似乎是最简单和最容易的，可以将之应用于有理分数展开的多种分析过程之中。

如果不借助微积分就很难理解这个题材更加丰富的细微之处。

将无穷小偏差分方程看作有限偏差分方程，其中没有忽略任何因素，我们能够阐明其演算的模糊之处，这些模糊之处一直是几何学家们重点讨论的课题。以这种方式，我已经表明将不连续的函数引入它们的积分之中是可能的，只要不连续的情况只出现在与这些方程的阶相同或者更高阶的微分中。像一切思维的抽象一样，微积分的超越之处就是一般的符号，其真实的意义只有通过对导致其基本思想的形而上学进行分析才能被人理解；这一点通常是很困难的，因为相对于故步自封，人类的心智仍然较少尝试使自己探索未来。类似地，无穷小差分和有限差分的比较能够清楚地显示出无穷小微积分的形而上学。

很容易证明，如果一个函数的n阶有限差分是被E的n次方所除，其中E是变量的增量，这个商以E的次幂而展开为一个级数，那么它的第一项是独立于E的。随着E的减少，这个级数也越来越趋近第一项，所以，只是从小于任何指定的数的量这个方面来说，这个级数不同于第一项。这个项（第一项）是级数的极限，在微分学中它表示函数的无穷小n阶差分被无穷小增量的n次方所除。

从这个观点来考虑无穷小差分，我们看到微分学的多种运算接近于分别比较等价的表达式的展开式中的有限项或者独立于变量增量的那些项，这些增量被当作是无穷小的。这个程序是非常精确的，因为这些增量是不确定的。因此微分学具有其他代数运算的所有精确性。

同样的精确性也体现在微分学在几何学和力学的应用之中。如果我们想象一条曲线与一条割线相交于两个相邻的点，将这两个点的纵坐标间的距离称为E，E是第一个交点到第二个交点的横坐标的增量。很容易看到，纵坐标相应的增量是E与第一个纵坐标相乘再除以subsecant^[26]；在这个方程中，若第一个纵坐标增加其增量，相应地就会得到与第二个纵坐标相关的方程。这两个方程的差是第三个方程，以E的次幂展开它并除以E，则得到的第一个项是独立于E的，这一项就是这个展开式的极限^[27]。如果这个项等于0，就会得到次割线的极限，这个极限显然就是次切线。

这种令人赏心悦目、独具匠心的获取次切线的方法归功于费马，他已将这种方法推广到超越曲线。这位伟大的几何学家用字母E表示横坐标的增量，并且只考虑这个增量的一次幂，就像我们借助微分学所做的那样，他精确地求出了曲线的次切线、拐点、纵坐标的极大值和极小值、一般情况下的一些有理函数。我们也借由他在《笛卡尔通信集》中关于光折射问题的漂亮解法了解他是如何将他的方法推广到无理函数的，将它们从根和幂只局限于有理数的状态中解放出来。费马应被视为微分学的真正发现者。此后，牛顿在他的《流数法》中使这种计算更加分析化，并通过优美的二项式定理将这些程序简单化和一般化。几乎与此同时，莱布尼兹的工作最终丰富了微分学：他引入一种能够表述从有限到无穷小的过程的符号，并将此计算的一般结果的表达优势与给出微分和这些量的和的第一个近似值结合起来。这套符号非常适合于偏微分的计算。

我们常常导出一些含有众多的项和因数的表达式，其中数的替换是无法实行的。当我们考虑大量事件时，这种情况会出现在概率问题中。与此同时，当事件变得更加众多时，为了求出结果的概率，就必须掌握公式的数值。特别是必须持有一个定律，根据这个定律概率不断地趋近确定性，如果事件的数量趋向无限，最终将达到这个确定性。为了得到这个定律，通过对包含大量的项和因数的公式进行积分，我考虑了差分的定积分与因数的大数次幂相乘所产生的东西。这一点启发了我的一种想法：将分析复杂的表达式和差分方程的积分转化为简单的积分。通过同时给出在积分符号下的函数以及积分的极限这一方法，我满足了这个条件。值得注意的是函数正是前述方程和表达式两者的生成函数；这使得这个方法与生成函数的理论联系起来，它因此成为生成函数理论的补充。更进一步，这只是个将有限积分化归到一个收敛级数的问题。通过一个程序我已经做到了这一点，凭借这个程序，表示级数的公式越复杂，级数收敛的速度就越快。所以，这个程序越是必需的，就越要精确。经常地这个级数将周长与直径之比的平方根^[28]作为一个因数；有时它也依赖其他的超越数，这些超越数的个数有无限多。

一个重要的论点涉及分析的非凡的一般性，并允许我们将这个方法扩展到频繁地出现于概率论中的公式和差分方程之中，这个论点就是通过假设定积分的上下限是正的实数，但是也会出现由方程解出的那些上下限只有负根和虚数的情况。更进一步，这些从正数到负数、从实数到虚数的变换，也就是我首次用到的变换，使我能够求得许多奇异定积分的值，稍后，我会直截了当地演示这一点。所以，我们可以再考虑作为一种类似于归纳和类比的发现方法，这些方法长期被几何学家们所采用——起先小心谨慎，然后充满信心，因为有大量的实例已经证明了（最初的论点）。与此同时，通常必须直接通过演绎论证来证明这些经过摸索手段而获得的结果。

我已经将前述的方法总体命名为“生成函数的演算”，这种演算可以作为本人已出版的《概率的分析理论》中所述工作的基础。它关系到一个量与自己重复相乘或一个量的正次幂和负次幂的表示法的简单思想，这就是把表示幂的数写在字母的顶部，这些数也代表了这些幂的次数。

笛卡尔在他的《几何学》中已用过这种符号，自从这部重要的著作出版之后，这种符号被广泛采用。不过，与变量函数与曲线的理论相比，符号（的应用）真是小事一桩了，借助于这个理论，伟大的几何学家建立了现代微积分的基础。然而，分析的语言，或许是所有语言中最完美的，本质上是发现的有力工具，尤其当这些符号是必要的和愉快的构造时，它们就成为如此众多的新运算的胚芽，这一点在上述的例子中得到充分的显示。

沃利斯^[29]是对分析学的进展作出过最大贡献的数学家之一，在其题为《无穷小算术》的著作中，他本人的兴趣尤其在于遵循归纳和类比的思想思考下述问题：如果以二、三等等，去除一个字母的指数，当这种相除是可能之时，根据笛卡尔符号法则，商就是以该字母为底被除数为指数的这个幂的二次、三次方根。根据类比法，将这个结果推广到不能相除的情形中，他把一个以指数为分数的量看作某个方根，这个方根的次数为该分数的分母，方根下面的是以该字母为底、以分数的分子为指数的形式^[30]。接着他指出，根据笛卡尔符号法则，以相同字母为底的两个数相乘等于它们的指数相加，以相同字母为底的两个数相除等于被除数的指数减去除数的指数（当被除数的指数大于除数的指数时）。沃利斯将这一结果推广到当被除数的指数等于或小于除数的指数时的情况，这使得指数的差为零或负数。然后，他提出负指数表示同底的指数幂（正的）的倒数^[31]。这些方法使他求出了一般意义上的单项微分的积分，由此，他推出了其指数是正整数的一类特殊的二项式微分的定积分。其后，由于沃利斯注意到表示这些积分的数的规律，这是一系列的插值和美妙的归纳，在其中，可以发现定积分计算的萌芽，定积分的计算给予几何学家们以极大的训练，也是我的“新的概率理论”的基础之一。他发现圆的面积与圆直径的平方之比可以表示为一个无限的乘积。随着越来越多的项被包含在内，这个比也就越来越收敛于一个极限。这是分析学中最奇妙的结果之一。然而，值得注意的是，沃利斯如此细微地思考了根幂的分数指数，他本应该注意到这些幂在他之前就已经有人做过了。牛顿在致奥登柏格^[32]的信中，如果我没有记错的话，最先应用幂的分数指数的符号。沃利斯充分利用了归纳法，他将二项式幂的指数与展开式的项的系数进行比较，在这种情况下，指数是正整数，由此，他得出了这些系数的定律，并用类比法将这个定律推广到分数和负数幂。这些基于笛卡尔符号法则的多种结果展现了他对分析学发展的影响，迄今为止，它（笛卡尔符号法则）在给出最简单、最清晰的对数思想方面仍具有优势，对数实际上只是一个量的指数，随着无穷小次数的增加，其连续的幂能够表示所有的数^[33]。

但是，这个符号法则所取得的最重要的扩展是可变化的指数，构成了指数的演算，这是现代分析中最富有成果的分支之一。莱布尼茨是第一个通过变量指数说明超越数的人，从而他已经完善了组成一个有限的函数的元素体系；对每一个一元有限显函数，都可以划归为对于一些简单的量的最终分析，将它们用加、减、乘、除的方法进行组合，从而得到一些恒定或者变化的幂。这些元素形成的方程的根是变量的隐函数。因此，在一个其双曲对数是1的数幂的数列中，如果一个变量可以表示为等于它的幂的指数的对数，那么，它的一个变量的对数就是一个隐函数。

莱布尼茨想给他的微分符号以同样的指数，就像给予那些量那样；但另一方面，他不是用同样量的重复乘积来表示这些指数，而是用相同函数的重复微分来表示这些指数。这种笛卡尔符号的新的扩展促使莱布尼茨在正幂与微分之间、负幂与积分之间进行类比。拉格朗日在对这个题材的发展中沿用了这种奇异的类比；并通过一系列的归纳，这被认为是归纳法所做的最漂亮的应用之一，他得到了一些一般的公式，在微分和积分的相互转换中，当变量具有多种有限增量，以及当这些增量是无穷小的时候，这些公式的奇特性就像它们的有效性一样。但是他没有给出证明，这对他而言是很困难的。生成函数理论将笛卡尔符号体系拓展到一些字母中；它清楚地演示了幂和由这些符号所表示的运算之间的类比；因此它可以被认为是符号的指数的运算。所有有关级数和差分方程的积分问题都极易将它们的起源追溯于此处。

【注释】

[1]巴黎高等师范学院（cole Normale Suprieure）成立于1794年法国大革命时期，其初始宗旨是：为法兰西共和国培养具有启蒙的世俗价值观和理性批判性精神的、训练有素的专门人才。在办学之初，拉格朗日、拉普拉斯、蒙日等许多在法国和欧洲享有盛誉的科学家和数学家在此执掌过教鞭。在巴黎高师的既往岁月中，诞生了众多的科学和人文艺术领域的人才。

[2]“Chance”一词无论在英语中还是在法语中都是一个含义丰富的词汇，其最常用的意思是（与概率等同的）“几率”、“或然性”、“偶然性”和“偶然事件”等。拉普拉斯在《概率的哲学探究》中更多的是指最后一种含义，即从现象看似“偶然发生的事件”。“随机事件”（随机是指作为一种真正、客观存在的偶然性）的含义在18和19世纪的决定论氛围中还很少被用到。在本书的翻译中，根据上下文，对该词的翻译也略有变化。

[3]充足理由律的提法源于莱布尼茨，他在《单子论》中说：“我们的推理是建立在两个大原则上，即是：（1）矛盾律，……（2）充足理由律，凭着这个原则，我们认为：任何一件事如果是真实的，或实在的，任何一个陈述如果是真的，就必须有一个为什么这样而不那样的充足理由，虽然这些理由常常总是不能为我们所知道的。”

[4]拉普拉斯在这里描绘的这个神通广大的超凡智慧者（an intelligence）有时也被称为拉普拉斯妖（Laplace’s Demon）。

[5]塞涅卡（Lucius Annaeus Seneca，约公元前4年—公元65年），古罗马政治家、斯多葛派哲学家。这一段引文出自塞涅卡的《自然问题》一书中。

[6]克莱罗（Alexis-Clande Clairaut，1713—1765），法国数学家、天文学家。

[8]P（E1∩E2）＝P（E1）P（E2），这个原理对于n个相互独立的事件也成立，如果假设这n个事件发生的概率相同，不妨假设为p，那么n个事件都为真的概率为Pn，因为p小于1，故这个数会随着n的增加而减小。

[9]P（E1∩E2）＝P（E1）P（E2｜E1）。

[10]P（E2｜E1）＝P（E1∩E2）｜P（E1）。

[11]P（Ci｜E）＝P（E｜Ci）｜∑jP（E｜Cj）。

[14]这里讨论的问题是“圣彼得堡悖论”（The St.Petersburg Paradox）。参见本书上篇的第二章2.5节，“概率与道德科学”，第57—62页。

[15]即（1＋a1）（1＋a2）（1＋a3）……（1＋an）。

[22]这里指含n个非独立下标（或者说变量）和任意个独立下标的n阶偏有限差分方程。

[23]泰勒（Brook Taylor，1685—1731），英国数学家。