在假设的等可能性中可能存在未知的不均等

这种不均等对于计算的结果具有显著的影响，这种影响应引起人们给予特别的关注。让我们考虑一下“猜正-反面”的赌博游戏，假设非常容易均等地掷出硬币的一面或者另一面。那么，第一次投掷正面朝上的概率为1/2，相继两次抛掷得到正面的概率就是1/4。但是，如果硬币是不均等的，这种不均等会导致其中一面比另一面易于出现，但是，如果我们并不知晓由这种不均衡（偏向性）所导致的哪一面更易于出现，第一次投掷得到正面的概率仍然是1/2，由于我们对于这种不均衡所倾向的那一面一无所知，如果这种不均衡倾向于它，简单事件的概率就会随之增加，同样，如果这种不均衡与之相反，（简单事件的概率）就会随之减小。但是，即使处于这样的无知状态中，相继两次得到正面的概率也是增加的。的确，这个概率等于第一次投掷得到正面的概率乘以在第一次投掷得到正面的情况下第二次投掷仍然得到正面的概率，然而，第一次投掷所发生的（正面结果）有理由使人们相信硬币的不均衡倾向于它，那么，未知的不均衡性增加了第二次投掷得到正面的概率，相应地，也就使这两个概率的乘积增加了。为了将这种状况化为演算，让我们假设这种不均衡性使得它所倾向的简单事件的概率增加了二十分之一。如果这个事件为正面朝上，那么，它的概率就是1/2加1/20，或者说11/20，相继两次投掷得到正面的概率为11/20的平方，即121/400。如果它所倾向的是反面朝上，那么出现正面的概率就是1/2减1/20，即9/20，那么连续两次投掷得到正面的概率为81/400。由于我们并没有理由预先确信这种不等性倾向于事件中的一个而非其他，显然，就必须将前述的两个概率相加，再取这个和的一半，就得到复合事件（正面，正面）的概率，这个概率为101/400，它比1/4大1/400，即增量1/20的平方，这是不均衡性使得其有利于其发生的事件的可能性增加的量。相似地，得到（反面，反面）的概率是101/400，而得到（正面，反面）或者（反面，正面）的概率各为99/400，这四个概率的和应该等于确定性或者1。一般来说，由此我们发现有利于一些简单事件的恒定且未知的原因通常会使同一简单事件重复发生的概率增大，这些原因被断定为等可能的。

在偶数次的投掷中，正面反面两者必定都出现，或者出现偶数次或者出现奇数次，如果出现两个面的可能性是相同的，这些情形中的每一个的概率都是1/2；但是，如果它们之间存在着一个未知的不均衡性，这种不均衡性通常有利于第一种情形。

两个人在如下条件下参加赌博，假设他们的（赌博）技能相同：每次投掷输掉的一人送给对手一个筹码，游戏继续直到其中一位参与者再没有筹码为止。概率的演算向我们表明：由于这个游戏是公平的，参与者的赌注应该与他们的筹码数目成反比，然而，如果在参与者之间存在着一个未被察觉的不均衡，这种不均衡性就会有利于具有最少筹码的那一位赌徒。如果同意将他们的筹码翻倍或者增加三倍，在他们的筹码数趋向无穷的情况下，这个概率会变为1/2，或者说与另一位赌徒的（赢）概率相同，总是保持相等的比例。

可以通过以下方法对这些不为人所察觉的不均衡性的影响进行修正：使它们本身由随机性而产生。如此，在“猜正-反面”的赌博中，如果还有第二枚硬币，每次抛掷第一枚的同时也抛掷第二枚，并且通常人们约定把第二枚向上的一面称为正面。那么，与只抛掷一枚硬币的情况下相比，连续抛掷第一枚与第二枚硬币出现正面的概率是将更加接近于1/4。在前面的情况下，差是未知的不均衡性给予其有利于第一枚硬币的那一面的可能性的微小增量的平方，在其他情况下，这个差是这个平方与和第二枚硬币相应的量的平方之积的四倍^[1]。

假设将数1至100按照它们的自然顺序放置在一个瓮中，摇晃该瓮使它们混合，然后，从中抽取一数，显然如果混合是充分的，那么取到每一个数的概率是相等的，但是，如果基于把这些数放入瓮中的顺序令我们担心它们之间有一些微小的差别，那么可以将这些数字以从第一个瓮中取出，依次有序地放入第二个瓮中，然后摇晃第二个瓮使它们混合，那么这个偏差将会大大地减小。第三个瓮，第四个瓮，等等，如此将会把第二个瓮中的那些差别减小得越来越微不足道。