论证言的概率

人们的大部分观点都是建立在证言（证据）概率的基础之上的，因此，将证据划归于计算就是非常重要的了。时常会出现这种情况，由于很难判断证据的真实性以及伴随着它们要为之作证的事件的大量细节，事情往往变得不可能了。但是，在几种情形下，我们还是可以解决一些类似上述情况的问题，其方法可以被看作是适当的逼近法以指导和保护人们，以免人误入虚假推理的谬误和危险之中。无论何时，只要进行细致的推演，即使这样的一种逼近法也总是优于那些似是而非的推理。下面，我们将尝试给出一些达到这个目标的一般规则。

由证人宣布的这个数字的先验概率是数字1被瓮中所有数字的个数所除，借助于证据可以将它转化为证人的实际的诚实度（或可靠度），那么，这个先验概率会因为证据而降低。例如，假设这个瓮里只有两个数字，那么抽取数字1的先验概率被认为是1/2，假设宣布这个结果的证人的诚实度是4/10，那么这个结果的可能性就比较小了。实际上，因为证人更倾向于谎言而不是说出真相，很显然，他的证言就降低了他每次给予见证的事实的概率，这个概率或者等于或者大于1/2。如果瓮里有三个数字，抽取数字1的先验概率就会因其真实性超过1/3的证人的证实而增加。

现在，假设那个瓮里含有999个黑球和一个白球。有一个球已被取出来，证人宣布抽取的是白球。如同先前提到的问题，在第一种假设下，观察到的事件的先验概率等于9/10 000。但是，在证人说谎的假设下，没有取出白球，这个情形的概率是999/1 000。必须将它乘以说谎的概率1/10，由此得出在第二种假设下所见事件的概率为999/10 000。在先前提到的问题中，这个概率只是1/10 000。这个极大的差异是由以下情况导致的——一个黑球已被取出，想要撒谎的证人，为了宣称取出的是白球，他在未取出的999个黑球中没有一点选择的余地。现在，如果构造两个分数，其分子是每一个假设的相对概率，其公分母是这些概率之和。就会得，如果取出的是白球的，那么第一个假设的概率是9/1 008，如果取出的是黑球的，那么第二个假设的概率是999/1 008。第二个概率非常接近确定性。如果这个壶里有一百万个球，其中只有一个白球，最后的概率将会变成999 999/1 000 008，它更加趋近于1，那么取出白球的概率就变得更加不同寻常地小了。由此可见，说谎的概率是怎样随着事实的反常性而增加的。

到目前为止，我们已经假设证人完全没出错。然而，假如承认他可能出错，反常的意外事件就变得更加不可能。那么，可以用以下四种假设替代两个假设：证人没有撒谎并且证人一点也没有出错；证人绝对没有撒谎但是证人出错；证人撒谎并且证人出错；最后，证人撒谎并且证人没有出错。在每一个假设中，都确定了被观察到的事件的先验概率，根据第六原理，我们发现，要证明的事件是假的概率等于这样一个分数，其分子是瓮中黑球的个数乘以证人没有撒谎但证人出错的概率与证人撒谎但证人没有出错的概率之和，其分母是这个分子加上证人没有撒谎也没有出错与证人即撒谎又出错的概率之和。由此可以看到，如果瓮中的黑球数量非常多，那么，取出白球就是非常渺茫的反常事件，要被证实为假的事件的概率就更加接近于确定性（即1）。

将这个结论应用于由此导致的所有反常事件中，就会发现证人出错或者撒谎的概率会随着要证实的事实更加的反常而变得更大。有些学者已经提出相反的观点，他们基于这样的观点：一个反常的事实非常相似于一个常规的事实，同样的出发点应该让我们给予证人相同的信任，当这位证人为这些或那些事件作证时。简单的常识不会接受一个如此离奇的断言。概率的演算，尽管对一些常识的结论可以确认，但它能够使人认识到关于反常事件的证言的最大不可能性。

那些学者坚持并假设有两个证人都是同等值得信任的，第一个证人声称他看到某人在15天前死了，而第二个证人却声称昨天他还看到同一个人活泼健壮。这些事件中的这个或那个情景不会被当作不可能的。但这些证言并不能直接使我们得到这个结果，对于具体事件的保留意见取决于将它们（的证言）联系起来的结果，尽管这些证言的可信度不应该因其联合结果的反常而被降低。

但是，如果将这些由证言联合在一起而导致的结论是不可能的，其中之一必须是假的；一个不可能的结果是反常结果的极限，正如错误是不可能结果的极限一样。在不可能的结果中，证言的价值变得一文不值，那么在一个反常结果的情形下，证言的价值也就必定被极大地降低了。这一点的的确确为概率的演算所证明。

为了通俗易懂起见，让我们想象有两个瓮，A和B，其中第一个瓮里有一百万个白球，其第二个瓮里有一百万个黑球。从其中一个瓮里抽取一个球，然后把这个球放到另一个瓮里，接着从这个瓮里再取出一个球。有两位证人，一位监视第一次抽取，一位监视第二次抽取。这两个证人都证明说他们看到取出的球是白色的，但没有说明是从那个瓮里取出的。如果单独查看，每一个证言并非是不可能的，也容易看出要证明的事实的概率正是证人的诚实度。但是，如果将这些证言结合起来考虑，它遵从以下的分析：第一次抽取的结果是从A瓮中取出一个白球，然后将它放入B瓮中，它在第二次抽取中又重新出现，这是极其反常的；因为对于第二个瓮，它只是在一百万个黑球中包含一个白球，取到白球的概率是1/1 000 001。为了确定由两个证人宣布的事情的概率上的减少，我们应该注意，观察到的事件在这里就是每一个证人的所作的证言——他已经看到一只白球被取出。令9/10表示他所说是真的概率，这种情况只能在证人不撒谎并且他绝对没有出错，以及他撒谎了但同时他又出错的时候下才能发生。我们可以设想以下四种假设。

第一种，第一位和第二位证人说的都是真话。那么，第一次从A瓮里取出白球，这个事件的概率是1/2。因为，第一次被取出的球既可能从一个瓮里取出也可能从另一个瓮里取出。那么，这个球又被放入B瓮里，在第二次抽取中又被取出来，这个事件的概率是1/1 000 001，所宣布事实的概率是1/2 000 002。用1/2 000 002分别乘以两个证人说真话的概率9/10和9/10，就会得出在第一个假设中，所观察到的事件的概率是81/200 000 200。

第二种，第一位证人说的是真话而第二位证人说的不是真话，或者是因为他撒谎和没有出错，或者是因为他没有撒谎但是出错。第一次抽取从A瓮里取出一只白球，这个事件的概率是1/2，将这个白球被放入B瓮里，然后从B瓮里取出一只黑球：这个事件的概率是1 000 000/1 000 001。那么，这个复合事情的概率是1 000 000/2 000 002。用1 000 000/2 000 002乘以第一个证人说真话的概率9/10和第二位证人不说真话的概率1/10之积，就会得出在第二个假设下所看到的事件的概率是9 000 000/200 000 200。

第三种，第一位证人没有说真话并且第二位证人说真话。第一次从B瓮里取出来的是一个黑球，然后将之放入A瓮，从A瓮中再取出一个白球。第一次取出黑球的概率是1/2，第二次取出白球的概率是1 000 000/1 000 001。因此，复合事件的概率就是1 000 000/2 000 002。用1 000 000/2 000 002乘以第一位证人不说真话的概率1/10和第二位证人说真话的概率9/10之积，就会得出在这个假设下所看到的事件的概率是9 000 000/200 000 200。

第四种，最后一种情况，两位证人都没有说真话。第一次从B瓮里取出一只黑球，将之放入A瓮，第二次从A瓮取出来的还是一个黑球。这个复合事件的概率是1/2 000 002。用1/2 000 002乘以每位见证人都没有说真话的概率1/10与1/10之积，就会得出在这种假设下所看到事件的概率是1/200 000 200。

现在，为了得出由两位证人所宣布的事件的概率，即：每一次抽取都取出一只白球的概率。我们必须用四种假设下相应的概率之和去除第一个假设下的（所见事件的）概率。这样我们就得到这个概率是81/18 000 082，它是一个非常小的分数。

如果两位证人断言，第一次从A瓮或B瓮中取出的是白球，第二次同样地从A′瓮或B′瓮中取出的是白球，非常相似于第一次。由两位证人所宣称事件的概率将是他们证言的概率之积，即81/100，这至少比前述的概率大180 000倍。通过这种分析可以看到，在第一种情况下，第二次重复取到第一次取出的白球，两个证言的这个反常结果弱化了其价值。

我们不会相信这样一个人的证言，他告诉我们把一百个骰子掷到空中，所有的骰子落下后都是同一面朝上，如果我们自己亲眼看见了这个事件，只有当我们仔细检查了周围所有的环境，以及参考了其他人的证词之后，目的是非常确定这既不是幻觉也不是欺骗，我们才能相信自己的眼睛。在这个检验之后，我们就不应该再犹豫不决地接受这个事实，尽管这是极其不可能的。为了解释这个实验，没有人会被迷惑到去重新做一次实验来否定视觉的原理。可以从这里得出结论：对我们而言，自然规律的恒定性的概率远远大于所讨论事件事实上并没有发生的概率——即使这个概率也要大于被认为是毋庸置疑的大部分历史事实的概率。由此，我们可以对使得自然规律暂停运作所需证据的巨大权重进行估算，把一般的评判法则应用于这种情形是多么的不合常规啊！那些没有提供足够数量的证据，只是通过与这些规律相反的事件报告，就支持宣称它们的人实际上是削弱而不是加强了他们希求激发的信念。因为在这种情形下，那些引述很可能出现其作者要么撒谎要么出错的情况。但是，相对于受过良好教育的人，未受过教育的人往往会更多地发生削弱信念的情况，因为未经启蒙之人总是渴望获得稀奇玄妙的结果。

有些事情是如此的反常，以至于没有什么可以与它们的不可能性相匹配。但是，由于占主导优势的观念的影响，这些不可能性被削弱到了看起来比证言的概率还要低的程度，并且，当这个观念开始发生变化时，一个十分荒谬的传闻在其产生的那个世纪一致被人们接受，而这个传闻为下一个世纪只是提供了公共舆论对杰出人物极端影响的一个新证据。路易十四时代的两个伟大的人物——拉辛^[22]和帕斯卡尔^[23]是这方面的突出例子。非常令人惋惜地看到彬彬有礼的拉辛，这位令人钦佩的人类心灵的描绘者和有史以来的最完美的诗人，也宣称皮埃尔小姐^[24]的康复是一个奇迹，皮埃尔是帕斯卡尔的外甥女，波尔·罗亚尔修道院^[25]的走读修女；非常令人遗憾的是读到帕斯卡尔借助一些推理试图证明这种奇迹对宗教来说是必不可少的，目的是为这个修道院的僧侣和修女们的教义辩护，在那个时候，这个教派（指詹森主义教派）的教义正受到耶稣会的迫害。三年半以来，年轻的皮埃尔备受泪管瘘的折磨，她用一个被认为是耶稣基督荆冠上的一根刺触摸她那只痛苦的眼睛，她的眼睛立刻被治愈了。几天后，内科医生和外科医生均证明她已痊愈，他们宣称，自然方式和医学治疗都没有在她的这次康复中起任何作用。这个发生在1656年的事件引起了巨大的轰动。拉辛说：“所有的巴黎人都涌入波尔·罗亚尔修道院，人群日益激增，通过在这座修道院里发生的一些不可思议的奇迹，上帝自己似乎也沉浸在其权柄彰显于虔诚的子民身上的喜乐之中。”^[26]在这个时候，奇迹和魔法还没有显示出不可能性，人们会毫不犹豫地将不能用其他方式解释的奇异自然现象归功于它们。

在路易十四时期最引人瞩目的著作中可以发现这种审视反常结果的方式。甚至哲学家洛克在他的著作《人类理解论》中，在“同意的各种等级”中说：“普通的经验和日常的事情，对人心虽然有很大的影响，使他们在听到任何要他们信仰的事物时表示信任和怀疑，不过在一种情形下，一种事情并不能因其奇特就使我们不同意于人所给予它的公平证据。上帝在任何时候认为这一类超自然的事件符合他的意图，他就有权利改变自然的进程。在那些情形下，那些事件和平常的观察愈相反，愈应得到人的信仰。”^[27]证言概率的真正法则已经被哲学家们误解了，理性获得的进步主要归功于他们，我认为必须详细地介绍关于这个重要议题的一些演算结果。

在这种背景下，就自然地展开了对于帕斯卡尔提出的著名论证的争论^[28]，这个论证由英国的一位数学家克雷格用一种数学的形式重新再现出来^[29]。一些见证人宣称他们拥有它是基于神赐予的权柄，如果一个人遵此行事，他将获得永恒的祝福，而不只是充满欢愉的一生或两世。无论这些证据的概率多么微弱，只要不是无限小，很显然，那些遵从（上帝）规则的人的优势（期望）是无限的，因为它是这个概率与无限利益的乘积。因此，为了自己他就应该毫不犹豫地争取获得这个优势。

这个论证是建立在奉上帝之名的见证人所许诺的无数个幸福生命之上的。必须按照他们的要求去做，精确地说是因为他们夸耀的承诺超出了一切的有限，这是一个与常识相矛盾的结果。更进一步，（概率）演算向我们展示了这个夸张的说法自身在某种程度上削弱了其见证人的证言的概率，使其变得无限地小或者为零。实际上，这个案例相似于以下例子：从一个包含大量数的瓮中只取一个数，一个证人宣布取出来的是一个最大的数，因为这个宣称，该证人将拥有巨大利益。你已经明白了这个利益是如何极大地削弱了见证人的证言（的可信度）。我们仅仅以1/2来估计他抽出最大数的概率，如果证人撒谎，演算会使我们得到他的宣称的概率比这样一个分数要小，这个分数的分子是1，分母是1加上被先验地假定为一个谎言的概率与单独宣称的概率之乘积的一半。为了把这个案例与帕斯卡尔的论证相比较，足可以用瓮中所有数的个数来表示所有可能的幸福生命的数目，这些数的个数是无限的，请注意，如果见证人撒谎，他们将会由于许诺永恒的幸福而获得最大的利益以奖赏他们的谎言。这样，他们证言的概率的表达式就会变得无限地小。将它乘以所许诺的幸福生命的无限个数，无限性将会从表示这个优势（期望）的表达式中消失，该优势源自这个许诺，这样就彻底推翻了帕斯卡尔的论证。

如果这个瓮里只含有数字1和2，我们将发现以同样的方式可以求出数字2被取出的概率是21/22，相应地，证人撒谎的概率是1/22。这是比前述概率至少大94倍的一个概率。通过这个分析可以看到，当证人要佐证的事实本身的可能性在减小时，证人撒谎的概率是如何减小的。事实上，当证人撒谎时，证言达成一致是比较困难的，至少当他们没有一个秘密协议时，我们在这里不作这个假设。

现在，我们要考虑时间对由传统的证人链所转达事实的概率的影响。有一点是清楚的无疑的，即概率应该随着这个链条的延长而减小。如果这个事实自身没有发生的可能，例如，从含有无限个数的瓮里取出一个数，通过证言获得的这个事实的概率随着证人可靠度的连续乘积而降低。如果这个事实有可能发生，例如，从一个含有无限个数的瓮中取出一个单独的数且取出的数是2。由传统的证人链条所得到的这个概率会随着持续延长的乘积而减小，其中的第一个因子是瓮中数的个数减1与同一个数之比，其他的每一个因子是每一个见证人的可靠度，这个值则随着他说假话的概率与瓮中数的个数之比而减小。所以这个事件的概率的极限被认为是先验的或独立于证言的事件的概率，这个概率等于1被瓮中数的个数所除。

时间的作用会持续地减弱历史事实的概率，正如时间能够使最经久不朽的纪念碑发生改变。的确，可以通过夸大或保留支撑它们的证言和碑文来减弱它。印刷在这方面提供了一个伟大的方法，不幸的是古人却对此一无所知。尽管它拥有无限的优势，但是，通常袭扰世界的自然的和道德的巨变（革命）终将随着不可抗拒的时间的影响归于终结，在上千年的时间里，对一些历史事件的怀疑在今天却以最大的确定性而被认识。

克雷格曾试图将基督宗教证据的逐渐弱化划归于计算，他假设：当这个宗教不再是可能的时候，这个世界也应该走到了末日。他发现，从他写作的时间算起，这个世界应该还会持续1 454年。然而，他的分析和他关于对世界持续时间的假设同样是完全错误的。