后方交会定点

后方交会定点_测量学

7　控制测量

7．1　控制测量概述

如第1章所述，测量工作的原则是：由整体到局部（在布局上），先控制后碎部（在次序上），从高级到低级（在精度上）。整体即控制测量，其目的是在整个测区范围内以较精密的仪器和方法测定少量大致均匀分布的控制点的精确位置，包括平面位置（x、y）和高程（H）。其中控制点平面位置的确定过程称为平面控制测量，高程的确定过程称为高程控制测量。局部即碎部测量，是在控制测量的基础上，测定大量地物点的位置以测绘地形图，或测定大量界址点的位置以测绘地籍图，或在建筑工程的施工放样中进行大量设计点位的现场标定。由于碎部测量是在控制测量的基础上进行的，所以最后获得的成果仍然是整体性的。

7．1．1　平面控制测量

平面控制测量是从整体到局部分等级进行布设，如国家平面控制网、城市平面控制网、工程控制网和图根控制网等。根据需要可以将平面控制网布设成GPS网、三角网、三边网、边角网和导线网等不同的形式。

1）国家平面控制网

国家平面控制网提供全国性的、统一的空间定位基准，是全国各种比例尺测图和工程建设的基本控制，也为空间科学技术和军事提供精确的点位坐标、距离、方位等空间信息资料，并为研究地球的大小、形状及地震预报提供依据。

建立国家平面控制网的传统方法是三角测量和精密导线测量。按精度分为一、二、三、四等，其中一、二等三角测量属于国家基本控制测量，三、四等三角测量属于加密控制。我国曾在全国范围内大致沿经线和纬线方向布设一等天文大地锁网，如图7－1（a）所示，格网间距约200　km；在格网中部用二等连续网（图7－1（b））填充，构成全国范围内的全面控制网。

图7－1　国家平面控制网

随着测绘技术的快速发展和现代化观测仪器设备的广泛应用，三角测量这一传统定位技术的大部分功能正在逐步被GPS定位技术取代。《GPS测量规范》将GPS控制网分为A～E级，如表7－1所示，其中A、B两级属于国家GPS控制网。目前我国已建成A级GPS控制网点27个，平均边长500　km，B级网点730个。

表7－1　各级GPS控制网相邻点间距离及其基线长度精度要求

2）城市平面控制网

城市平面控制网是国家平面控制网的发展和延伸，为城市大比例尺测图、城市规划、地籍管理、市政工程建设和城市管理提供基本控制点。城市平面控制网应在国家平面控制网的基础上分级布设，其中GPS网、三角网和角边网的精度等级依次为二、三、四等和一、二级，导线网的精度等级依次为三、四等和一、二、三级。各等级平面控制网，视城市规模均可作为首级网，在首级网下可逐级加密，也可越级布网。城市三角网、边角网和光电测距导线网的主要技术要求分别列入表7－2至表7－4中，城市GPS网中的三、四等稍低于表7－1中的C、D级，但与城市三角网的相应等级相当。

表7－2　三角测量的主要技术要求

注：①本表格中的中误差、闭合差、限差及较差均为正负值；②当测区测图的最大比例尺为1∶1　000时，一、二级小三角的边长可适当放长，但最大长度不应大于表中规定的2倍。

表7－3　三边测量的主要技术要求

表7－4　导线测量的主要技术要求

注：①表中n为测站数；②当测区测图的最大比例尺为1∶1　000时，一、二、三级导线的平均边长及总长可适当放长，但最大长度不应大于表中规定的2倍。

3）图根平面控制网

直接为测绘大比例尺地形图建立的控制网称为图根控制网，相应的控制点称为图根点。图根平面控制点的布设，可采用图根三角、图根导线、电磁波测距仪用极坐标或交会点等方法。当在等级点下加密时，图根控制不宜超过2次附合。当测区较小时，图根三角、图根导线可作为首级控制。在难以布设闭合导线的狭长地区，可布设成支导线。测区内解析图根点的个数，一般地区不宜小于表7－5的规定。

表7－5　一般地区解析图根点的个数

注：①表中所列点数指施测该幅图时，可利用的全部解析控制点；②当采用数字化测图法时，控制点数量可适当减少。

4）工程控制网

为工程建设而布设的测量控制网称为工程控制网，按照不同布设目的可分为测图控制网、施工控制网和变形监测网三大类。工程控制网的布设方法及技术要求，将在建筑工程测量部分进行详细介绍。

7．1．2　高程控制测量

高程控制网主要采用水准测量、三角高程测量和GPS高程测量的方法建立。用水准测量方法建立的高程控制网称为水准网，而三角高程测量主要适用于地形起伏较大、水准测量无法进行的地区，为地形测图提供高程控制。高程控制网的布设原则也是由高级到低级，从整体到局部。

1）国家高程控制网

建立国家高程控制网的主要方法是精密水准测量。国家水准测量分为一、二、三、四等，一等水准测量精度最高，由它建立起来的一等水准网是国家高程控制网的骨干；二等水准网在一等水准环内布设，是国家高程控制网的基础；三、四等水准网是国家高程控制点的进一步加密，主要为地形图测绘和各种工程建设提供高程起算数据。三、四等水准测量应附合于二等以上水准点之间，并尽可能交叉，构成闭合环。

2）城市和图根高程控制网

城市高程控制网主要是水准网，等级分为二、三、四等。城市首级高程控制网不应低于三等水准。光电测距三角高程测量可代替四等水准测量。在四等水准以下，再布设直接为测绘大比例尺地形图所用的图根水准网。经纬仪三角高程测量主要用于山区的图根控制及位于高层建筑物上平面控制点的高程测定。

城市高程控制网的首级网应布设成闭合环线，加密可布设成附合路线、结点网和闭合环，一般不允许布设水准支线。

在四等以下，采用水准测量和三角高程测量方法布设。各等级水准测量及三角高程测量的主要技术要求见表7－6～表7　8。

表7－6　城市与图根水准测量的主要技术要求　　（mm）

注：①K为路线或测段的长度，km；L为附合路线或环线的长度，km；R为检测测段长度，km；n为测站数。②山区是指高程超过1　000　m或路线中最大高差超过400　m的地区。

表7－7　电磁波测距三角高程测量的主要技术要求

注：D为电磁波测距边长度，km。

表7－8　图根三角测量的主要技术要求

本章主要介绍建立小地区平面控制网时常用的导线测量、小三角测量、交会定点以及小地区高程控制网中常用的三、四等水准测量和三角高程测量等方法。

7．2　导线测量和导线计算

将地面上相邻控制点连接而形成的折线称为导线。这些控制点称为导线点，相邻导线点之间的直线边称为导线边，相邻导线边之间的水平角称为转折角。通过观测导线边的边长和转折角即可计算出各导线点的平面坐标。

导线测量布设灵活，要求通视方向少，边长直接测定，适宜布设在建筑物密集、视野不甚开阔的城市、厂矿等建筑区和隐蔽区，也适合于交通线路、隧道和渠道等狭长地带的控制测量。随着全站仪的广泛使用，使导线边长加大，精度和自动化程度提高，从而使导线测量成为中小城市和厂矿等地区建立平面控制网的主要方法。图根导线测量的主要技术指标如表7－9所示。

表7－9　图根导线测量的主要技术指标

注：①M为测图比例尺的分母，n为测站数；②隐蔽或施测困难地区导线相对闭合差可放宽，但不应大于1／1　000。

7．2．1　导线的布设

根据测区的实际情况，导线可布设成闭合导线、附合导线和支导线三种形式，如图7－2所示。

1）闭合导线

起闭于同一高级控制点的导线称为闭合导线。如图7－2，以高等级控制点A为起始点，BA为起始方向，布设导线点1、2、3、4，再回到A点，形成一闭合多边形。该闭合多边形本身有严密的几何条件，具有检核作用。

图7－2　导线的布设形式

2）附合导线

由一高级控制点出发，经过一系列导线点，最后附合到另一高级控制点的导线称为附合导线。附合导线中，起始边和终边的方位角均已知。图7－2中，在高级点A、B、C、D之间布设导线点5、6、7、8，以AB边的坐标方位角αAB为起始边方位角，以CD边的坐标方位角αCD为终边方位角，且αAB和αCD均为已知。附合导线是在高级控制点下进行控制点加密的最常用的形式。

在附合导线两端，如果各有一个已知高级点，而缺少已知方位角时，称为无定向附合导线，简称无定向导线。在不得已的情况下，可以采用这种导线形式。

3）支导线

由一已知边的一个端点出发，既不闭合也不附合的导线称为支导线。图7－2中，从CD边（其坐标方位角αCD已知）的端点C出发，延伸出去的导线C～9～10称为支导线。由于支导线只有必要的起始数据，缺少对观测数据的检核，因此，只限于在图根导线和地下工程导线中使用。对于图根支导线，规定其导线点的个数应不超过三个。

对于一端不能通行的胡同、小巷，无后门的企事业机关大院以及较隐蔽界址点的位置测定等情形，只能布设支导线。对支导线的观测必须严格按照规范要求进行。

7．2．2　导线测量的外业工作

导线测量的外业工作包括踏勘选点、角度测量、边长测量和连接测量。

1）踏勘选点及建立标志

在踏勘选点前应到有关部门收集测区原有的地形图、高级控制点所在位置、坐标与高程等资料；在图上规划好导线的布设线路，然后按规划线路到实地去踏勘选点。现场踏勘选点时，应综合考虑以下几个方面：

（1）导线点应选在视野开阔、便于测绘周围地物地貌的地方。

（2）相邻点间应能通视，以便于角度和距离测量。如果采用钢卷尺量距，则沿线地势应较平坦，没有丈量的障碍物。

（3）点位应选在土质坚实，并便于保存之处。

（4）各导线边长应大致相等，符合表7－9之规定，最长不超过平均边长的2倍，并避免过长过短边突然相接。

（5）导线点在测区内应分布均匀，便于控制整个测区。

导线点位选定以后，要建立测量标志，使导线点在地面上固定下来，并沿导线前进方向顺序编号，绘制导线略图。对一、二、三级导线点，一般埋设混凝土桩，如图7－3所示。对图根导线点，通常用木桩打入土中，桩顶钉一小钉作为标志；在碎石或沥青路面上，可用顶上凿有十字纹的大铁钉代替木桩；在混凝土场地或路面上，可以用钢凿凿一十字纹，再涂红漆使标志明显。为便于寻找，应量出导线点到附近三个明显地物点的距离，并用红漆在明显地物上写明导线点的编号、距离，用箭头指明点位方向，绘一草图，注明尺寸，称为点之记，如图7－4所示。

2）导线转折角测量

导线转折角用经纬仪按测回法进行观测。转折角有左角和右角之分，在导线前进方向左侧的角称为左角，在右侧的角称为右角。测角的照准标志一般为铁三角对中架，在对中架孔里插入长0．8～1　m、直径约1　cm的小花杆作瞄准标志，也可以三脚架悬挂垂球作为瞄准标志。

图7－3　混凝土导线点标石

由已知点开始，逐点沿导线前进方向观测，对附合导线或支导线，一律观测导线前进方向同一侧的角（即要么全部观测左角，要么全部观测右角）；闭合导线一般观测内角，若按顺时针编号，多边形内角就是右角。各点都应对中整平，尽量瞄准相邻两导线点标杆底部。遇短边时更应仔细对中，以减小测角误差。每测站均应当场检测观测结果，若超限应立即重测。

3）导线边长测量

图7－4　导线点的点之记

导线边长可以用检定过的钢尺往返丈量，丈量的相对误差不应大于1／3　000。当钢尺的尺长改正数大于尺长的1／10　000时，应加尺长改正；当量距时地面温度与检定时温度之差大于±10℃时，应进行温度改正；当地面坡度大于1%时，应进行倾斜改正。若用光电测距仪进行导线边长观测，还需观测竖直角，如果竖直角大于30′，应进行倾斜改正。也可用全站仪在测定导线转折角的同时观测导线边长。

4）连接测量

导线连接测量也叫导线起始边定向，目的是使导线点坐标纳入国家坐标系统或测绘区域的统一坐标系统中。对于图7－2中的闭合导线，必须观测连接角β′，才可以由已知边BA的坐标方位角αBA推算导线边A1的坐标方位角；对于图中的附合导线，必须观测连接角βB和βC，才能获得起始数据；而对于图7－5所示的闭合导线，则需要测出连接角βB、β″，以及连接边B1的边长DB1。

图7－5　闭合导线的起始边定向

7．2．3　导线测量的内业计算

导线测量内业计算主要是计算导线点的坐标。在计算之前，应全面检查外业记录有无遗漏或记错、是否符合测量限差要求；然后绘制导线略图，在图上相应位置注明高级点及导线点点号、已知点坐标、已知边坐标方位角及导线边长和角度观测值。计算在规定的表格中进行，角度值取至秒，长度和坐标值取至厘米。

1）闭合导线计算

图7－6为某闭合导线略图，图中已知A点的坐标（xA，yA），A1边的坐标方位角αA1，观测值为βA、β1、β2、β3、β4及DA1、D12、D23、D34、D4　A。按以下方法步骤在表7－10中计算导线点1、2、3、4的坐标。

（1）角度闭合差的计算和调整

按照平面几何理论，n边形内角和理论值应为

由于观测角不可避免地含有误差，致使实测的内角之和不等于理论值，而产生角度闭合差，也叫方位角闭合差，以fβ表示：

各级导线角度闭合差的容许值fβ允，应符合表7－4和表7－9之规定，本例取

若fβ超过fβ允，则说明所测角度不符合要求，应重新检测角度。若fβ不超过fβ允，可将闭合差反号平均分配到各观测角中。改正值写在表格中角度观测值的上方，改正后角度之和应等于∑β理，作为计算的检核。

图7－6　闭合导线略图

图7－7　坐标方位角的推算

（2）坐标方位角的推算

为了计算各导线点的坐标，需要先算出两相邻导线点之间的坐标增量，这就要用到边长和坐标方位角，边长属观测值，而坐标方位角必须根据起始边的坐标方位角及观测的导线转折角推算而得。

本例中，导线以αA1为起始边坐标方位角，各转折角为右角，如图7－7所示。按公式

逐边推算坐标方位角，最后应用βA按下式导出起始边坐标方位角αA1作为计算正确性的检核，即αA1＝α4　A＋βA－180°。若推算值与原有的已知坐标方位角值不相等，应重新检查计算。

在推算过程中还必须注意：如果算出的α前＞360°，则应减去360°；如果α前＜0，则应加360°。

（3）坐标增量的计算及其闭合差的调整

①坐标增量的计算

式中Δx、Δy称为坐标增量，也就是直线两端点的坐标值之差。上式表明，欲求待定点2的坐标，必须先求出坐标增量。根据图7－8的几何关系，可写出坐标增量的计算公式：

本例按公式（7－6）所算得的坐标增量，填入表7－10的5、6两栏中。

图7－8　闭合导线坐标增量闭合差示意图

②坐标增量闭合差的计算和调整

从图7－8（a）可以看出，闭合导线纵、横坐标增量代数和的理论值应等于零，即

实际上由于边长观测值的误差和角度闭合差调整后的残余误差，往往使由边长、方位角推算得的坐标增量也有误差，这种纵、横坐标增量代数和的推算值与理论值的不符值，称为纵、横坐标增量闭合差，分别以fx、fy表示，即

对闭合导线而言，fx＝∑Δx测　fy＝∑Δy测

从图7－8（b）中明显看出，由于坐标增量闭合差的存在，使导线在平面图形上不能闭合，即起始点的实际点位与推算点位不重合，它们之间的距离称为导线全长闭合差，以f表示：

导线越长，边数越多，导线测角量距过程中误差的累积越多，因此，f的大小与导线全长∑D有关。在衡量导线测量的精度时，将f与∑D相比，并用分子为1的分式表示，称为导线全长相对闭合差，以T表示，即

T的分母越大，精度越高。不同等级的导线全长相对闭合差的容许值T容已列入表7－4和表7－9中，本例取T容＝1／2　000。

当导线全长相对闭合差在允许范围以内时，可将坐标增量闭合差fx、fy按与边长成正比的原则反号分配给各边的坐标增量。增量改正值δΔxi、δΔyi按下式计算：

增量闭合差、全长闭合差及全长相对闭合差在表7－10的第5、6栏及表的下方进行计算。各边增量改正值按公式（7－10）计算好以后，写在增量计算值上方，然后在第7、8栏中写上改正后的增量。闭合导线改正后的纵、横坐标增量的代数和均应等于零，以资检核。

（4）导线点坐标计算

根据起点A的已知坐标及改正后的坐标增量Δx′、Δy′，用下式依次推算1、2、3、4各点的坐标

算得的坐标值填入表7－10中的第9、10栏。最后推算回到A点，应与原来的已知数值 相同，作为推算正确性的检核。

图7－9　附合导线略图

2）附合导线计算

附合导线的内业计算基本上和闭合导线相同，只是由于导线的形状、起始点和起始边方位角位置分布的不同，使得计算角度闭合差和坐标增量闭合差的公式略有不同。图7－9为某附合导线略图，图中A、B、C、D为已知点，1、2、3为待定位置的导线点，已知数据及观测值标注在图上，计算在表7－11中进行。这里仅介绍与闭合导线不同部分的计算方法。

（1）角度闭合差的计算

附合导线不构成闭合多边形，但是仍然存在角度闭合差，可以根据导线起始边AB和最终边CD的坐标方位角αAB、αCD以及导线转折角进行计算。本例中，根据起始边坐标方位角及转折角右角，按公式（7－4）推算各边坐标方位角，直至最终边的坐标方位角：

αB1＝αAB＋180°－βB α12＝αB1＋180°－β1 α23＝α12＋180°－β2 α3C＝α23＋180°－β3 αCD＝α3C＋180°－βC

将以上各式相加，得

αCD＝αAB＋5×180°－∑β

上式也可以写成

∑β＝αAB－αCD＋5×180°

若导线的角度观测中不存在误差，则上式成立。因此，上式中∑β为附合导线右角之和的理论值。

如果导线的转折角为左角，则附合导线左角之和的理论值为

由于在转折角观测中不可避免地存在误差，因此，产生方位角闭合差为

附合导线的方位角闭合差也可以按从起始边推算到终边方位α′终与已知的方位角α终之差来计算，即

（2）坐标增量闭合差的计算

附合导线两端点的坐标已知，所以也会产生坐标增量闭合差。如图7－10所示，附合导线各点坐标按下式推算：

x1＝xB＋ΔxB1 x2＝x1＋Δx12 x3＝x2＋Δx23 xC＝x3＋Δx3C

将上式等号两侧分别相加，得

xC＝xB＋∑Δx

图7－10　附合导线坐标增量总和的理论值示意图

或∑Δx＝xC－xB

同理可得

∑Δy＝yC－yB

以上两式表明，若导线的边长和角度观测中没有误差，则导线各边纵、横坐标增量的总和理论上应等于终点与起点的坐标差，即

∑Δx理＝xC－xB　∑Δy理＝yC－yB

推广到一般形式，可得附合导线坐标增量总和的理论值表达式

附合导线坐标增量闭合差按下式计算：

附合导线全长闭合差、全长相对闭合差的计算、调整方法以及导线点坐标计算同闭合导线。

3）全站仪导线测量

目前，全站仪已广泛应用于导线测量中。仍以图7－9附合导线为例，首先将全站仪安置在B点处，在待定点1处安置棱镜。利用全站仪三维坐标测量功能，输入B点坐标xB、yB、HB及仪器高和棱镜高后，后视已知点A并输入A点坐标，然后瞄准导线点1处棱镜进行观测，即可显示点1的坐标和高程。

为了减弱仪器对中误差和目标偏心误差对测角和测距的影响，全站仪导线测量中常采用三联脚架法。该方法通常使用三个相同型号的基座和脚架，该基座既可安置全站仪又可安置带有觇牌的反射棱镜。如图7－11所示，将全站仪安置在测站B的基座中，带有觇牌的反射棱镜分别安置在已知点A和导线点1的基座中进行导线测量。本测站观测完成后，点B和点1处的脚架和基座保持不动，取下全站仪和带有觇牌的反射棱镜，在点1安置全站仪，B点安置带有觇牌的反射棱镜，并将点A处的脚架整体迁至下一点。重复上述过程，直至观测完成整条导线。该种方法由于减少了对中误差和瞄准误差，从而提高了坐标传递精度。

图7－11　三联脚架法工作原理

7．2．4　导线测量错误查找方法

导线计算时，如果发现闭合差超限，应首先复查外业观测记录、内业计算所抄录的数据和计算过程，如果均没有错误，说明外业角度观测或距离测量存在问题，必须返工重测。若重测前能判断出错位置，则可提高返工效率。

1）一个转折角测错的查找方法

如图7－12所示的附合导线，若第3点上的转折角β3产生错误Δβ，使角度闭合差超限。当沿A→1→2→3 →4→C方向计算各点坐标时，由于1、2、3点不受β3角的错误影响，因而求得的坐标正确，而4点和C点的坐标错误；当沿C→4→3→2→1→A方向计算时，C点和4点的坐标正确，而2、1、A点的坐标错误。因此，可分别从导线两端出发，按支导线方法进行计算，得到各点的两套坐标，若某点的两套坐标值非常接近，则该点的转折角最有可能测错。

图7－12　一个转折角测错示意图

对于闭合导线，可采用类似方法，从起点开始，分别沿顺时针和逆时针方向按支导线方法计算出各点的两套坐标，进行比较查找出错位置。

2）一条边长测错的查找方法

当角度闭合差fβ合格而导线全长相对闭合差T超限时，说明距离测量存在错误。图7－13中，若导线边12→产生测距粗差ΔD，而其他边角没有错误，则从点2开始的各点均产生一个平行于边12→的位移值ΔD。如果将其他边角的偶然误差忽略，则导线全长闭合差f等于ΔD，其方向与边12→平行，即

图7－13　一条边长测错示意图

据此可推断，与f方向平行的导线边，最有可能出错。

7．3　交会定点测量

当原有的控制点密度不能满足测图和施工需要时，可以在数个已知控制点上设站，分别向着待定点观测方向或距离，也可以在待定点上设站向着数个已知控制点观测方向或距离，而后计算待定点的坐标，这就是交会定点测量。常用的交会定点测量的方法有前方交会定点、测边交会定点、侧方交会定点和后方交会定点。利用全站仪或极坐标法进行控制点加密。利用交会定点法进行控制点加密时，要求必须有检核条件，交会角应在30°～150°之间，施测技术要求应与图根导线一致，分组计算所得坐标较差，不应大于图上0．2　mm。

7．3．1　前方交会定点

从相邻的两高级控制点A、B向待定点P观测水平角α、β，以计算待定点P的坐标，称为前方交会，如图7－14所示。

图7－14　前方交会

前方交会法计算待定点坐标的方法如下：

（1）确定已知点间边长和坐标方位角

根据两个已知点的坐标，利用坐标反算公式计算两点间边长c和坐标方位角αAB：

（2）计算待定边边长及其坐标方位角

接正弦定理计算已知点至待定点的边长

从图7－14可以明显看出：

（3）待定点坐标计算

首先根据待定边的边长和坐标方位角，按照坐标正算公式，分别计算已知点A、B至待定点P的坐标增量

然后分别从已知点A、B计算待定点P的坐标：

两次计算得的坐标可以互相检核。

（4）余切公式和正切公式

对上述公式进行化算，可以推导出直接计算待定点P坐标的余切公式和正切公式。考虑到公式（7－23）、公式（7－24），可将公式（7－25）变为如下形式：

按正弦定理，并考虑到γ＝180°－（α＋β），有

将上式代入式（7－28），并经整理后得到以下可以直接计算待定点坐标的余切公式：

将cotα＝1／tanα和cotβ＝1／tanβ代入上式，便可得到前方交会直接计算待定点坐标的正切公式：

应当注意，公式中的A、B、P三点，在图形内按逆时针顺序排列，且在A点观测角编号为α，B点观测角对应编号β。前方交会计算实例见表7－12。

表7－12　前方交会计算表

续　表7－12

7．3．2　测边交会定点

从两个已知点A、B向待定点P测量边长AP（或b）、BP（或a），以计算待定点P的坐标，称为测边交会或称距离交会，如图7－15所示。

图7－15　测边交会

测边交会计算待定点坐标时，既可以转化为前方交会进行计算，也可以直接计算待定点的坐标，下面分别计算。

1）转化为前方交会法

根据△ABP的三条边a、b、c用余弦定律计算三角形的两个内角α和β，即

然后按照A、B点的坐标及算得的α、β用前方交会公式计算待定点P的坐标。

2）直接计算法

如图7－15所示，从P点作AB边的垂线，垂足为D，得辅助线段AD、PD，分别以e、f表示。在直角三角形ADP和BDP中，显然有

f2＝b2－e2＝a2－（c－e）2

由上式可以得到辅助线段e、f的表达式如下：

P点坐标应等于已知点A（或B）的坐标与AP（或BP）间坐标增量的代数和，而AP间坐标增量与AD、DP间坐标增量的关系为

ΔxAP＝ΔxAD＋ΔxDP，ΔyAP＝ΔyAD＋ΔyDP

式中：

ΔxAD＝ecosαAB

ΔyAD＝esinαAB

ΔxDP＝fcos（αAB－90°）＝fsinαAB

ΔyDP＝fsin（αAB－90°）＝－fcosαAB

因此，

可以推得计算待定点P坐标的公式如下：

用下列公式加以检核：

测边交会直接计算待定点坐标的计算实例见表7－13。

表7－13　测边交会计算表

7．3．3　侧方交会定点

如图7－16所示，如果不便在一个已知点（如点B）安置仪器，而是观测了一个已知点和待定点上的两个角度α和γ，这种交会定点的方式称为侧方交会。

计算时，根据α和γ求出B点处的角度β，就可以按照前方交会的方法计算待定点P的坐标。计算过程从略。

7．3．4　后方交会定点

从某一待定点P向三个已知点A、B、C观测水平方向值RA、RB、RC，以计算P点的坐标，称为后方交会。已知点A、B、C按顺时针排列，待定点P可以在已知点所组成的△ABC之内，也可以在其外，如图7－17所示。但是，当A、B、C、P处于四点共圆的位置时，用后方交会法就无法确定P点的位置，这个圆也称为危险圆。

图7－16　侧方交会

图7－17　后方交会

△ABC中，与顶点A、B、C所对应的内角分别设为A、B、C角，在P点对A、B、C三点观测的水平方向值RA、RB、RC也构成三个水平角α、β、γ，如图7－18所示，并规定：

图7－18　后方交会中的角度

这里不加证明地给出后方交会计算待定点坐标的公式如下：

上式中，xA、yA、xB、yB、xC、yC分别表示三个已知点的坐标。表7－14为后方交会的计算实例。

表7－14　后方交会计算表

7．3．5　边角交会定点

如图7－19所示，从待定点P向两个已知点A、B测量边长AP（或b）和BP（或a），并观测水平角γ，以计算P点坐标的交会方法称为边角后方交会，简称边角交会。

在△ABP中，边长c可根据A、B两点的坐标反算，因此可根据余弦定理计算水平角α和β，则

图7－19　边角交会

据此计算该三角形的另一水平角，即

该计算值与观测值γ之差为角度闭合差，即

角度闭合差fβ如果在容许范围以内，以fβ的三分之一反号改正水平角α和β，然后按照公式（7－30）和表7－12所述方法计算待定点的坐标。该方法有一个多余观测，可以检核边角观测值。

7．3．6　极坐标法

图7－19中，可在已知点A上观测水平角α和水平距离DAP，在B点上观测水平角β和水平距离DBP，则

分别由A点和B点计算待定点P的坐标，则

若P点的两组坐标之差在容许范围内，可取其平均值作为最后结果。电子全站仪常采用极坐标法交会定点，观测完毕，其程序模块可直接计算得到目标点坐标。

7．4　高程控制测量

在进行国家高程控制网加密、布设小地区首级高程控制网以及工程建设地区内工程测量和变形控制网时一般都是首先布设三等或四等水准网，进行地形测量时用图根水准测量或三角高程测量进行加密。第2章所介绍的普通水准测量即可满足图根水准测量要求，本节介绍三、四等水准测量和三角高程测量。

7．4．1　三、四等水准测量

1）三、四等水准测量的技术要求

三、四等水准测量应从附近的国家高一级水准点引测高程。一般沿道路布设，水准点应选在地基稳固、易于保存和便于观测的地点，水准点间距一般为2～4　km，在城市建筑区为1～2　km，应埋设普通水准标石或临时水准点标志，也可用埋石的平面控制点作为水准点。为了便于寻找，水准点应绘制点之记。三、四等水准测量的主要技术要求见表7－15。

表7－15　三、四等水准观测的主要技术要求

注：三、四等水准采用变动仪器高度观测单面水准尺时，所测两次高差之差，应与黑面、红面所测高差之差的要求相同。

2）三、四等水准测量的方法

（1）观测方法

三、四等水准测量的观测应在通视良好，望远镜成像清晰、稳定的情况下进行。下面介绍双面水准尺法在一个测站上的观测程序。

①在测站上安置仪器，使圆水准器气泡居中，后视水准尺黑面，用上、下视距丝读数，记入记录表7－16中（1）、（2），转动微倾螺旋，使符合水准气泡居中，读取中丝读数，记入表中（3）；

②前视水准尺黑面，读取上、下丝读数，记入表中（4）、（5），转动微倾螺旋至符合气泡居中，读取中丝读数，记入表中（6）；

③前视水准尺红面，转动微倾螺旋，使符合气泡居中，读取中丝读数，记入表中（7）；

④后视水准尺红面，转动微倾螺旋，使符合气泡居中，读取中丝读数，记入表中（8）。

这种“后—前—前—后”的观测顺序，主要为抵消水准仪与水准尺下沉产生的误差。四等水准测量每站的观测顺序也可以为“后—后—前—前”。另外需要注意的是，表中各次中丝读数（3）、（6）、（7）、（8）是用来计算高差的，因此，在每次读取中丝读数前，都要注意使符合气泡严密重合。

（2）测站计算与检核

①视距计算

根据前、后视的上、下视距丝读数计算前、后视的视距：

后视距离（9）＝100×｛上丝读数（1）－下丝读数（2）｝前视距离（10）＝100×｛上丝读数（4）－下丝读数（5）｝

计算前后视距差（11）：

前后视距差（11）＝后视距离（9）－前视距离（10）

对于三等水准测量，（11）≤3　m；对于四等水准测量，（11）≤5　m。计算前后视距累积差（12）：

前后视距累积差（12）＝上站（12）＋本站（11）

对于三等水准测量，（12）≤6　m；对于四等水准测量，（12）≤10　m。

②水准尺读数检核

同一水准尺黑、红面读数差的检核：

前尺黑红面读数差（13）＝前黑（6）＋K－前红（7）后尺黑红面读数差（14）＝后黑（3）＋K－后红（8）

K为双面尺红面分划与黑面分划的零点差（常数4　687　mm或4　787　mm）。对于三等水准测量，读数差小于或等于2　mm；对于四等水准测量，读数差小于或等于3　mm。

（3）高差计算与检核

表7－16　三、四等水准测量观测手簿

按前、后视水准尺红、黑面中丝读数分别计算该站高差

黑面高差（15）＝后黑（3）－前黑（6）

红面高差（16）＝后红（8）－前红（7）

红黑面高差之差（17）＝（15）－（16）＝（14）－（13）

对于三等水准测量，（17）≤3　mm；对于四等水准测量，（17）≤5　mm。

黑、红面高差之差在容许范围以内时，取其平均值，作为该站的观测高差

（4）每页水准测量记录计算检核

每页水准测量记录必须作总的计算检核：

高差检核：　　∑（3）－∑（6）＝∑（15）

　　　　　　　∑（8）－∑（7）＝∑（16）

　　　　　　　∑（15）＋∑（16）＝2∑（18）（测站为偶数）

　　　　　　　∑（15）＋∑（16）±100mm＝2∑（18）（测站为奇数）

视距差检核：∑（9）－∑（10）＝本页末站（12）－前页末站（12）

本页总视距：∑（9）＋∑（10）

3）三、四等水准测量的成果整理

三、四等水准测量的闭合线路或附合线路的成果整理首先应按表7－6的规定，检验测段（两水准点之间的线路）往返测高差不符值及附合线路或闭合线路的高差闭合差。如果在容许范围内，则测段高差取往、返测的平均值，线路的高差闭合差则按与测段成比例的原则反号分配。按改正后的高差计算各水准点的高程。

7．4．2　三角高程测量

当测区地形起伏较大，用水准测量速度慢、困难大时，可以用三角高程测量的方法测定两点间的高差和待定点的高程。在进行三角高程测量之前，必须用水准测量的方法引测一定数量的水准点，作为高程起算的依据。

1）三角高程测量的原理

如图7－20所示，已知A点的高程HA，欲测定B点高程HB。在A点安置经纬仪，用卷尺量取仪器高i（地面点桩顶至经纬仪横轴的高度），在B点安置觇牌，量取目标高v（地面点至觇牌中心或横轴的高度），测定竖直角α。若已测得AB的水平距离D，则

若当场用光电测距仪测得两点间斜距S，则

然后按下式计算B点高程：

对于长距离的三角高程测量，应考虑地球曲率（球差）和大气折光（气差）对观测高差的影响，即

　　　R——平均地球曲率半径，取值为6　371　km；

　　　k——大气垂直折光系数，随时间、日照、气温、气压、视线高度和地面情况等因素而变，一般取平均值，令k＝0．14。

表7－17中列出了水平距离D＝100～2　000　m的球气（两）差改正值f，根据不同的D值在表中查找对应的f值。

图7－20　三角高程测量

由于折光系数k的不确定性，使两差改正值也具有误差。但是，如能在短时间内，在两点间进行对向观测，即测定hAB和hBA并取平均值，则由于k在短时间内不会改变，而hBA必须反号与hAB取平均，两差改正f得到抵消。因此，对要求较高的三角高程测量，应进行对向观测。

表7－17　三角高程测量球气差改正（k＝0．14）

2）三角高程的观测与计算

（1）观测（观测前已量得D或在经纬仪上架设光电测距仪，测定斜距S）

①安置仪器于测站，量仪器高i和觇标高v，读数至毫米。

②经纬仪望远镜中横丝瞄准觇牌中心，读取竖盘读数，盘左盘右观测为一测回，计算竖直角α，观测测回数及主要技术要求见表7－7。

（2）计算

②对向观测求得的往返测高差不符值fΔh的允许值为

③各点间的三角高程测量一般构成闭合或附合线路，计算高差闭合差fh，作为观测正确性的检核，其允许值为

以上两式中，fΔh允和fh允均以厘米为单位；D为各边平距，以千米为单位。

图7－21为三角高程测量的计算实例。在A、B、C、D四点间进行三角高程测量，构成闭合线路，在各点间均进行竖直角及斜距的往返观测，已知A点的高程为842．337。已知数据及观测值均注明在图上。在表7－18中进行高差计算，表7－19中进行高差调整和高程计算。限于篇幅，表7－18中只列出了BC和CD边的计算。

图7－21　三角高程测量计算略图

表7－18　三角高程测量高差计算

表7－19　三角高程测量高差调整和高程计算

本章小结

本章主要介绍了小地区平面控制网和高程控制网的布设方法、外业观测以及内业计算。小地区平面控制网的布设形式主要包括GPS网和导线网，加密图根控制点时也常采用交会定点和支导线等方法。

导线测量是城市平面控制网最常见的布设形式。导线测量的外业观测方法和内业计算必须重点掌握，这部分内容也是学习的难点，只要掌握一种导线形式（如闭合导线）的内业计算方法，通过比较两者计算环节的不同之处，可以较容易地掌握。本部分内容与角度测量、距离测量以及直线定向等章节内容逻辑联系紧密，学习过程中也要复习前面几章的有关内容。

小地区高程控制测量主要采用三、四等水准测量方法，地形起伏比较大的丘陵地区或山区也采用三角高程测量方法。三、四等水准测量的观测程序和数据处理方法较普通水准测量更复杂，各种数据检核工作比较细致，必须对照实际例子认真学习掌握，而三角高程测量的观测与计算也应该理解掌握。

习题与思考题

1．在全国范围内，控制网如何布设？小地区控制网如何布设？

2．导线的布设形式有哪几种？图示说明如何对它们进行定位和定向。

3．三角高程测量为什么要进行对向观测？对向观测可以消除什么误差？

5．根据图7－23中数据，列表计算附合导线各点坐标。

图7－22

图7－23

6．用前方交会方法测定P点的位置，如图7－24所示。已知点A、B的坐标及观测的角度标于图上，计算P点的坐标。

图7－24

图7－25

7．测边交会测定P点的位置，如图7－25所示。已知点A、B的坐标及观测边长标于图上，计算P点的坐标。

8．已知A点高程为46．54　m，现用三角高程测量方法进行往返观测，观测数据列入表7－20中，AB距离为182．53　m。试确定B点的高程。

表7－20