第二节 甘肃省县域社会发展水平评价方法
本课题组改用层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称AHP）对2009年县域社会发展水平进行评价。AHP是美国运筹学家T.L.Saaty教授于20世纪70年代初期提出的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法，是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。
在进行社会、经济等领域问题的系统分析中，我们常常面临的是一个相互关联、相互制约的众多因素构成且缺少定量数据的系统。层次分析法为这类问题的决策和排序提供了一种新的、简洁而实用的建模方法，因此AHP适用于具有复杂性和多变性的县域社会发展水平评价。
运用层次分析法建模，大体上可按下面4个步骤进行：（1）建立递阶层次结构模型；（2）构造出各层次中的所有判断矩阵；（3）层次单排序及一致性检验；（4）层次总排序及一致性检验。
下面简要说明这四个步骤的实现过程。
一、递阶层次结构的建立与其特点
应用AHP分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分。这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。这些层次可以分为三类：
1.最高层。这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。
2.中间层。这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。
3.最底层。这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。
递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般的，层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。
本研究的层次结构模型如图1-1：
图1-1 甘肃省县域社会发展评价层次结构模型
二、构造判断矩阵
层次结构反映了因素之间的关系，但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。
在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。
则称之为正互反矩阵（易见aii＝1，i＝1，…，n）。
关于如何确定aij的值，Saaty等建议引用数字1～9及其倒数作为标度。表1-1列出了1～9标度的含义：
表1-1 标度含义一览表
三、层次单排序及一致性检验
判断矩阵A对应于最大特征值λmax的特征向量W，经归一化后即为同一层次相应因素对于上一层次某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。
上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其他因素的干扰，较客观地反映出一对因子影响力的差别。但综合全部比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致性。如果比较结果是前后完全一致的，则矩阵A的元素还应当满足：
aijaik＝aik，坌i，j，k＝1，2，…，n%%%（1）
定义2满足关系式（1）的正互反矩阵称为一致矩阵。
需要检验构造出来的（正互反矩阵）判断矩阵A是否严重地非一致，以便确定是否接受A。
定理1正互反矩阵A的最大特征根λmax必为正实数，其对应特征向量的所有分量均为正实数。A的其余特征值的模均严格小于λmax。
定理2若A为一致矩阵，则：
1.A必为正互反矩阵。
2.A的转置矩阵AT也是一致矩阵。
3.A的任意两行成比例，比例因子大于零，从而rank（A）＝1（同样，A的任意两列也成比例）。
4.A的最大特征值λmax＝n，其中n为矩阵A的阶。A的其余特征根均为零。
定理3 n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征根λmax＝n，且当正互反矩阵A非一致时，必有λmax＞n。
根据定理3，我们可以由λmax是否等于n来检验判断矩阵A是否为一致矩阵。由于特征根连续地依赖于aij，故λmax比n大得越多，A的非一致性程度也就越严重，λmax对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出X＝｛x1，…，xn｝在对因素Z的影响中所占的比重。因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。
对判断矩阵的一致性检验的步骤如下：
1.计算一致性指标CI。
2.查找相应的平均随机一致性指标RI。对n＝1，…，9，Saaty给出了RI的值，如表1-2所示：
表1-2 RI对应n的值
RI的值是这样得到的，用随机方法构造500个样本矩阵：随机地从1~9及其倒数中抽取数字构造正互反矩阵，求得最大特征根的平均值λ′max，并定义
3.计算一致性比例CR。
当CR＜0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，否则应对判断矩阵作适当修正。
四、层次总排序及一致性检验
上面我们得到的是一组元素对其上一层中某元素的权重向量。我们最终要得到各元素，特别是最低层中各方案对于目标的排序权重，从而进行方案选择。总排序权重要自上而下地将单准则下的权重进行合成。
对层次总排序也需作一致性检验，检验仍像层次总排序那样由高层到低层逐层进行。这是因为虽然各层次均已经过层次单排序的一致性检验，各成对比较判断矩阵都已具有较为满意的一致性。但当综合考察时，各层次的非一致性仍有可能积累起来，引起最终分析结果较严重的非一致性（表1-3）。
表1-3 各层次排序及权重关系表
设B层中与Aj相关的因素的成对比较判断矩阵在单排序中经一致性检验，求得单排序一致性指标为，CI（j）（j＝1，…，m），相应的平均随机一致性指标为RI（j）、CI（i）、RI（j）（已在层次单排序时求得），则B层总排序随机一致性比例为：
当CR＜0.10时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果。
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