值得深入思考的其他方面

任何事物的发生、发展都无法绕开其外因和内因的综合作用，TIMSS和PISA数学测评也不例外。这两个数学测评作为系统的构造，在认知、观察、解释的一系列过程上，都呈现出明显类似的特征，从而体现出较强的稳定性。恰恰是测评初始的设想和需求的不同，造成了测评结果及呈现的差异性。结合上述比较过程，在大规模数学测评系统构建过程中，值得深入思考如下几个问题。

（一）人力资本与课程的关系问题

测评与课程有着密不可分的关系。在TIMSS数学测评和PISA数学测评的比较分析中，特别在PISA测评的众多文献中，认为将课程作为学生学习结果的影响因素存在局限性。PISA数学测评不局限于对现有课程内容的考查，更体现出基于社会生活实际情境所需的解决问题的能力。在以上分析中我们看到，PISA数学测评建立了以能力为中心或线索的水平描述方式，努力尝试对数学教育提出思考，甚至采用模式化的途径。PISA数学测评框架没有仅仅去反映学校数学的传统内容链，如代数、几何或统计，它强调的是“大理念”，以此来引导概念理解，它还强调数学能力胜过知识和技能，这完全不同于TIMSS数学测评以知识为中心或线索的表述水平描述方式。为何会有这样的差异？其背后的原因又是什么？

在2000年PISA测评框架的论述中提到，PISA测评体现了“重点在于各国对于发展人力资本的关注”。^[27]对人力资本积累的估计，以往都是从古典经济学的角度考虑投入及正规教育的回报率。在PISA测评中，根据1997年OECD组织成立的DeSeCo项目中有关“人力资本指标项目”的工作，拓展了人力资本的外延，其关注点体现在个人身上，并与个人、社会和经济行为相关的知识、技能、能力及其他属性。其中个人的属性应超越学术知识，包含跨课程的技能和相应特征。同时，人力资本不仅仅体现在工作上，还应体现在真实的生活中。最后，人力资本不仅能通过正规的教育和训练系统获得，还可以在工作、职业培训等相应环境中获得。如果人力资本出于成人生活所需属性的要求，体现出终身学习的需要，那么上述仅仅依靠正规学校教育所积累的人力资本是不够的。

应该说，OECD对人力资本的理解拓宽了其外延，同时更加凸显出人作为资本在现代经济生活中的地位和作用。DeSeCo项目就是在这基础上进一步考虑哪些知识、技能、能力及其他属性构成了人力资本。了解了PISA数学测评以能力为中心或线索的核心能力模型，就能理解PISA数学测评在内容领域及过程维度设计中一再强调课程局限性的原因。它需要体现出终身学习意义下实际生活情境所需的问题解决能力，也需要体现出人在不同情境中学习的主体地位和主动性。

PISA测评尤其是数学测评，是基于未来生活所需的知识和技能，建立相应的内容和能力要求，并不重视现有课程内容的覆盖和权重，这些都来源于人力资本的认识构建。着眼于知识经济的年代，正规教育所提供的学生未来生活所需的知识、技能、能力及其他属性是一个无法回避，也不应回避的变量。狭隘地说，课程不是人力资本所能回避的变量。

综上所述，人力资本通过PISA数学测评对课程提出了促进人“终身学习”的要求。人力资本，这个可中立于课程的经济概念及理论，在提高人的知识、技能、能力及其他属性以应对未来社会、解决实际问题上，甚至在数学课程上，都有着新的意义。这要求数学教育不仅要体现数学所拥有的传统理性价值，如思辨性，还要重视数学思维对问题解决能力的价值。在知识经济年代，人力资本不仅要求人“知道什么”，更要知道“怎样做”。

以PISA数学测评为例，人力资本理论“打破”了原有基于学科知识体系的测评，从社会所需要的人的角度出发，对教育结果和教育系统进行思考，并实施有效的检验和评估。在关注学术性知识的同时，注重跨学科能力的培养，更加关注学生而不是学科，关注学习过程而不是考试，关注全体学生而不是少数人群。

（二）数学问题解决和数学应用的认识

1989年，美国专业教师组织颁布了《学校数学课程和评价标准》。该文件期望所有的学生达到五个要求：（1）学习有价值的数学；（2）对做数学的能力有信心；（3）成为数学问题解决者；（4）学会数学交流；（5）学会数学推理。^[28] NCTM的标准对数学教育的理解有一个根本性的改变，即数学思考的一般能力习得正式替代了基于内容的学习，而后者在以往是作为教育目的的。数学教育现在瞄准培养数学思考和解决真实问题的数学应用，这些要求显然超越了陈述性知识及过程性技能。后续的研究无论是通过相关理论工作，还是通过实证研究，都详细阐述和扩展了这些能力。^[29] PISA数学测评强调了情境化，基本想法就是测试情境中的数学思考，试题被设计为测量学生在实际生活情境中的表现，这能激发学生使用数学知识和能力解决问题，并构建一系列数学能力，包括交流、数学化、表达、推理和论证、设计策略，使用符合化形式化和技术性的语言和操作，以及使用数学工具。PISA数学测评正是体现超越数学内容知识和技能的测评方式。

PISA数学测评充分体现出对数学应用要求的特征，而TIMSS数学测评则侧重呈现课程内部数学知识体系的特征。根据上述特征，一些研究人员将两个测评比作纯粹数学和应用数学。^[30]实际上，在现代数学中本没有应用数学和纯粹数学之分，至少没有一个明确的界限。人们往往凭经验理解，认为解决实际问题的数学称为应用数学，仅仅解决数学内部问题的数学称为纯粹数学。

两种数学之间有着很强的互通性。在TIMSS数学测评的认知领域，应用维度上就体现出选择、表示、建模、实施、解决常规问题的行为特征。如在数学内部，二次函数可用在代数范围内讨论一元二次方程解的问题，甚至几何对称等问题。这里借用2003年PISA数学测评中的数学化过程示意图，来表示应用数学和纯粹数学的关系，如图5-13所示。

图5-13　应用数学和纯粹数学的关系

上述数学化过程，包括：^[31]现实情境中问题的提出；^[32]尝试找出相关的数学问题，并且依据重要的数学概念重新组织问题；③通过假设或概括，将现实问题转化为数学问题；④解决数学问题；⑤反思，使得数学问题的解决结果符合现实情境。

1.数学概念及事实等知识是数学应用的基础

在数学教育界，如曹一鸣教授等学者所言，时有以知识本位为核心和以数学体验和数学应用为核心的说法和讨论。^[33]无论是TIMSS数学测评侧重对于数学内部应用的表现，还是PISA数学测评从数学化角度描述对运用数学解决实际问题的完整过程，从图5-13中都可以认识到，数学的应用过程是以纯粹数学为基础，或者说是以传统数学课程体系中描述的数学知识及思维方法为基础和必要阶段。对初中阶段的孩子来说，在数学应用层面，对数学的基本事实、概念的掌握是非常重要的。无论是PISA数学测评对于数学化过程的描述，还是TIMSS数学测评对于认知层面“知道”维度的设置，都体现出了该要求。

从这一角度反思PISA数学测评，它对数学的理解来源于荷兰“现实数学教育”（Realistic Mathematics Education，简称RME）^[34]该研究认为，数学必须与现实世界连接，同时数学可以视作人类的活动。用真实的情境描述问题，引导学生在一系列活动中概括和提出数学问题，并经由一系列传统的数学问题，使学生掌握数学知识。显然，这种想法虽然凸显了数学应用的重要性，但是忽略了在学习过程中，概念及事实等重要知识的习得对学生认知构建的重要性。

2.问题的解决体现出过程与结果的并重

PISA数学测评试题的情境化，是测评目的的需要，但也体现出在数学化过程中数学知识或概念与情境内容之间紧密联系的要求，即图5-13中的①，②，③。这就要求我们在试题设计层面，不是纯粹为了设计情境而情境化。从数学学习的角度，不是给数学问题穿上一件情境外套就能简单解决问题的。在上述数学化过程中，数学不仅仅是一个简单的工具，更体现了数学活动中高层次的心理认知过程。一定程度上，与其说数学是问题解决的过程，不如说它是数学思维的过程，问题只是数学思维过程使用什么载体。

这就促使我们在注重学生认知结果的同时，也要充分认识到学生认知过程的重要性和意义所在。一定程度上，需要体现出学习结果和过程并重的要求。

【注释】

[1]OECD.PISA 2012 Assessment and Analytical Framework: Mathematics， Reading， Science， Problem Solving and Financial Literacy［M］.OECD Publication， 2013：35.

[2]参考：
Grφnmo，L.，Olsen，R.TIMSS versus PISA:The case of pure and applied mathematics［EB/OL］.http://www.timss.no/publications/IRC2006G_ronmo ＆ Olsen.pdf.2015-04-05：11.
Margret Wu.Comparing the Similarities and Differences of PISA 2003 and TIMSS［M］.OECD Publish，2010：45.

[3]Grφnmo， L.，Olsen， R.T.IMSS versus PISA: The case of pure and applied mathematics［ EB/OL］.http://www.timss.no/publications/IRC2006_Gronmo& Olsen.pdf.2015-04-05.

[4]Margret Wu.Comparing the Similarities and Differences of PISA 2003 and TIMSS［M］.OECD Publish， 2010：45.

[5]参见：
Fredriksen， J.，Mislevy， R.J.， ＆ Bejar， I（.eds） Test theory for a new generation of tests［ M］.Hillsdale， NJ: Lawrence Erlbaum，1991.
Embretsons， S.E.Multicomponent response models.in W.J.van der Linden ＆ R.K.Hamblenton（ eds） ， Handbook of modem item response theory［M］.New York: Springer，1997.

[6]崔国涛，石艳.国际教育成绩评估项目的背景测试及其对我国“中考”改革的启示［J］.外国教育研究，2012（2）：92.

[7]InaV.S.Mullis， Michael O.Martin， Teresa A.Smith， ＆ Robert.Assessment Framework and Specifications 2003［ M］.Boston Colloge，2003：34.

[8]Ina V.S.Mullis， Michael O.Martin， ＆Pierre Foy.IEA's TIMSS 2003 International Report on Achievement in the Mathematics Cognitive Domains: Findings from a Developmental Project［M］.TIMSS ＆ PIRLS International Study Center，Lynch School of Education， Boston College， 2005：7.

[9]Margret Wu.Comparing the Similarities and Differences of PISA 2003 and TIMSS［M］.OECD Publish， 2010：46.

[10]数据来源于Margret Wu.Comparing the Similarities and Differences of PISA 2003 and TIMSS， OECD Publish，2010：46.

[11]OECD.PISA 2009 Assessment Framework: Key Competencies in Reading， Mathematics and Science［ M］.OECD Publications Service， 2009.

[12]王鼎.PISA数学测评核心能力运用启示［J］.中小学外国教育，2014（3） ：21—26.

[13]OECD.The Definition and Selection of Key Competencie［EB/OL］.http://www.deseco.admin.ch/bfs/deseco/en/index/02.parsys.43469.downloadList.2296.DownloadFile.tmp/2005.dskcexecutivesummary.en.pdf.2015-04-05.

[14]Niss，M.C.ompetencies and subject description［M］.Uddanneise，1999：21-29.

[15]OECD.Measuring Student Knowledge and Skills: A New Framework for Assessment［ M］.OECD Publications Service， 1999： 43.

[16]OECD.Measuring Student Knowledge and Skills: A New Framework for Assessment..OECD Publications Service，1999：43.

[17]OECD.The PISA 2003 Assessment Framework—Mathematics， Reading， Science and Problem Solving Knowledge and Skil［lM］.OECD Publishing， 2003：30.

[18]OECD.Programme for International Student Assessment-Sample Tasks from PISA 2000 Assessment Reading ，Mathematics and Scientific Literacy［M］.OECD Publishing， 2000：93—94.

[19]OECD.Programme for International Student Assessment-Sample Tasks from PISA 2000 Assessment Reading ，Mathematics and Scientific literacy［M］.OECD Publishing， 2000： 93—94.

[20]http://timss.bc.edu/PDF/T03_RELEASED_M8.pdf.2015-08-12.

[21]Mark Wilson.Introduction: Methodological Research in Large-Scale International Assessments.Reseach on PISA:Research Outcomes of the PISA Research Coference 2009［M］.Springer， 2013：52.

[24]OECD.Measuring Student Knowledge and Skill: A New Framework for Assessment［ M］.OECD Publi shing，1999：11.

[25]OECD.Measuring Student Knowledge and Skill: A New Framework for Assessmen［M］t.OECD Publishing，1999：56.

[26]Committee on Assessment in Support of Instruction and Learning， Comittee on Science Education K-12， National Research Coucil （ 2003 ）.Assessment in Support of Instruction and Learning: Bridging the Gap between Large-Scale and Classroom Assessment-Workshop Report. http://www.nap.edu/10802.html.5.2015-05-07：5—6.

[27]OECD（1999）.Measuring Student Knowledge and Skills: A New Framework for Assessment［ M］.OECD Publishing，1999：11.

[28]National Council of Teachers for Mathematics （NCTM） .Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics［M］.Reston， Virginia: NCTM， 1989：5.

[29]参见：
Niss， M..Mathematical Competencies and the Learning of Mathematics: The Danish KOM Project［EB/OL］.http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/CTH/mve375/1213/docs/KOMkompetenser.pdf.2015-04-07：115—124.
Blomhoj， M.and T.H.Jensen， What' s all the Fuss about Competencies？ Experiences with Using a Competence Perspective on Mathematics Education to Develop the Teaching of Mathematical Modelling.in W.Blum， P.L.Galbraith， H.-W.Henn and M.Niss（ eds）， Modelling and Applications in Mathematics Education， 14 ICMI Study［ C］.New York:Springer， 2007：45—56.

[30]Gronmo， L.， Olsen， R..TIMSS versus PISA: The case of pure and applied mathematics.http://www.timss.no/publications/IRC2006G_ronmo ＆ .Olsen.pdf.2015-12一04.

[31]曹一鸣，黄秦安，殷丽霞编著.中国数学教育哲学研究30年.北京：科学出版社，2011.

[32]De Lange， J.（1996）.Using and Applying Mathematics in education .In A.J.Bishop， K.Clements， C.Keitel， J.Kilpatrick ＆ C.Laborde（ Eds.）.International handbook of mathematics education.Dordrecht［ C］.The Netherlands: Kluwer Acemic Publishers， 1996：49—98.

[33]曹一鸣，黄秦安，殷丽霞编著.中国数学教育哲学研究30年.北京：科学出版社，2011.

[34]De Lange， J.（1996）.Using and Applying Mathematics in education .In A.J.Bishop， K.Clements， C.Keitel， J.Kilpatrick ＆ C.Laborde（ Eds.）.International handbook of mathematics education.Dordrecht［ C］.The Netherlands: Kluwer Acemic Publishers， 1996：49—98.