开普勒天体引力思想的引入和行星运动定律

开普勒（Johannes Kepler，1571－1630）早期接受的教育主要是神学方面的，后来认识了数学和天文学教授梅斯特林（Michael Maestlin，1550－1631），开始对数学和天文学感兴趣，并开始信仰哥白尼的学说。他日趋自由的思想使得他没有资格在教会中任职，后来谋得一个天文学讲师的资格。在业余时间他开始了行星问题的研究，于1596年出版了他的著作《宇宙的奥秘》。他把这本书寄送给了第谷，两位天文学家从此开始通信。

图6.8　开普勒肖像

激励开普勒进行研究的一个基本信念是：上帝按照某种先存的和谐创造世界，这种和谐的某些表现可以在行星轨道的数目与大小以及行星沿这些轨道的运动中追踪到。开普勒最初试图发现构成宇宙结构基础的简单关系而取得的一些成果载于《宇宙的奥秘》一书中。《宇宙的奥秘》遵循了柏拉图主义的信条：宇宙是按照几何学原理来构造的。

开普勒作了一系列正多面体，每个多面体有一个内切球，同时又是下一个正多面体的外接球。他发现，正八面体的内切和外接球面的半径分别同水星距离太阳的最远距离和金星距离太阳的最近距离成比例；正二十面体的内切和外接球的半径分别代表金星的最远距离和地球的最近距离。正十二面体、正四面体和立方体可类似地插入到地球、火星、木星和土星的轨道之间。

正多面体只有五种，而行星只有六颗，这很容易让人觉得它们两者之间联系的必然性。在开普勒看来，这俨然是上帝创造宇宙的“秘方”。实际上根据开普勒这种构造计算出来的行星距离与观测所得并不完全一致，但开普勒在当时简单地把这种偏差归咎于观测的误差。

第谷收到开普勒的书之后，对开普勒在书中展示出来的数学才能大为赞赏，也不以书中表现出来的哥白尼主义倾向为意，并写信热情邀请开普勒去汶岛与他一起工作，但是开普勒没有接受这个邀请。当第谷在布拉格再次写信邀请开普勒前去的时候，这次开普勒去了，并在第谷的意外早逝之后接任了第谷原先担任的鲁道夫二世宫廷数学家的职位。

图6.9　开普勒的行星球模型（上左）和内层放大（上右）

开普勒最终能在行星运动理论上取得突破性的成就，获益于他能获得的三大遗产：哥白尼的日心体系、第谷的精确观测资料——火星的位置资料和吉尔伯特（William Gilbert，1544－1603）在《论磁》（On the Magnet，1600）中表达的地球是一个磁体的思想。

开普勒利用本轮和偏心圆模型对火星运动进行了计算，发现计算结果与观测值之间有8分的误差。开普勒对第谷的观测精度深信不疑，因此他抛弃了上述从托勒密到哥白尼一直使用的本轮和偏心圆模型。

为了寻找替代理论，开普勒暂时放开火星，开始研究地球的运动。刚开始研究地球运动，开普勒就发现，依然需要偏心圆。只是地球的偏心率比火星的更小。这样，为了搞清楚偏心问题，开普勒转而注意起行星的运动速度不均匀这一现象。

开普勒证实了行星在远日点和近日点的速度大致与行星到太阳的距离成反比。于是他把这个结论加以推广，认为行星的速度与离开太阳的距离成反比——事实上这个结论是错误的。

开普勒不把哥白尼体系当成纯粹的数学虚构，而是把它作为实在的东西接受，并进而考察行星绕日运动的物理原因。起先，开普勒怀着神秘的想法，认为行星具有灵魂或意志，它们有意识地使行星运动。等到发现行星的速度与到太阳的距离成反比这一结果，开普勒抛弃了灵魂的想法，提出了力（vis）作用于行星的见解。

吉尔伯特把地球看做一个大磁体。开普勒受他启发，认为行星受到磁力的推动而运动。他认为，这种力不是超距力，这种叫做species的非物质性的力是从太阳发出的，由于它的旋转而推动行星。这种力的大小与到太阳的距离成反比。

在这里，开普勒体现了一种对亚里士多德物理学的反叛和继承。在亚里士多德那里，天体运动是自然运动，没有必要作出更详细的说明。把天体运动看做是由力引起的，意味着抛弃以“固有位置”为根基的运动论。但是，这里开普勒只是把地上的亚里士多德力学推广到了天上。行星的速度和所受力都与到太阳的距离成反比，完全符合运动速度与所受力成正比的亚里士多德运动学规律。

图6.10　开普勒推求任意时刻火星位置的示意图

获得以上重要但错误的结论之后，开普勒重新回到了火星的运动学。他首先提出了确定任意时刻火星的位置问题。这需要给出火星运动经过的路程如圆弧QM和火星从Q到M所需的时间之间的关系（见图6.10）。这对当时的数学来说是不可能的。

于是开普勒采取了如下近似法。圆弧上一点M处的速度与MS成反比。因此，通过M处一定长度的弧所需要的时间可用MS的长度来表示。这样一来，通过弧QM所需要的时间是动径MS的和。

按照阿基米德的理论，动径之和就是扇形的面积。但是阿基米德的这个结论只有在S位于圆心C处时才正确。而开普勒却大胆地认为它在偏心圆的情况下也成立。于是给出了动径扫过的面积与时间的关系：成正比！从推理过程来看这是一个很粗糙的结论。但由此得到了面积速度恒定的定律——开普勒第二定律。

开普勒就这样找到了计算给定时刻行星位置的方法。据此，从给定的三个位置就能计算出该行星的远日点位置、偏心率。开普勒挑选了火星的几组三个位置进行计算，发现结果互相不一致。于是开普勒抛弃了从柏拉图以来把天体看作沿圆形轨道运动的信条，并得出结论说：火星轨道不可能是圆形。

为了找到正确的轨道形状，开普勒起先考虑卵形轨道，但计算结果难以与面积定律符合。后来他尝试椭圆，经过冗长的计算和“简直发疯似的思索”，最后他确认，唯有椭圆才是火星的轨道。并且，开普勒再次大胆地把从火星得来的规律推广到所有行星。

差不多一个世纪以前，哥白尼已经开始寻找满足几何简单性要求的行星系统。开普勒解决了哥白尼的问题，他所达到的简单性在天文学史上超出了前人的梦想。仅仅一种圆锥曲线就足以描述所有行星的轨道。偏心圆和本轮的全部复杂性淹没在椭圆的简单性中了。

当然接受椭圆的简单性是有代价的，那就是抛弃圆及其拥有的完美无缺、不易性和有序性的古老内涵。开普勒心中也许从来没有忘记圆所具有的诱惑力。在他看来，面积定律的价值在于它提出了新的一致性来取代圆周运动的一致性。

我们既可以说开普勒完善了哥白尼学说，也可以说他破坏了哥白尼学说。在1609年出版的《新天文学：基于原因或天体的物理学，关于火星运动的有注释的论述》中，开普勒发表了行星运动的第一定律和第二定律，把作为几何学一个分支的天文学转变成了物理学的一个分支。在1619年出版的《宇宙和谐论》中他进一步发表了行星运动的第三定律。这三条行星运动定律现在一般表述为：①行星沿椭圆轨道绕太阳运动，太阳位于椭圆的一个焦点上；②从太阳到行星的矢径在相等时间里扫过相等的面积；③各行星公转周期的平方与轨道半长径的立方成正比。它们被称作开普勒定律，为牛顿发现万有引力定律奠定了基础。

但是所有的精彩只是理论上的，开普勒天文学尚未面对传统的实际考验：能够据此编算更高精度的星表吗？第谷对天文学的兴趣正是由于对基于哥白尼模型的《普鲁士星表》感到不满意引起的。1601年当第谷将开普勒介绍给鲁道夫二世的时候，皇帝给他分派的任务，就是和第谷一起制作一份新的行星历表。这份行星历表将叫做《鲁道夫星表》。

《鲁道夫星表》完成于1627年，它的精确性在4年后惊人地显示出来。1631年11月7日，在开普勒去世一年后，法国天文学家皮埃尔·伽桑迪（Pierre Gassendi，1592－1655）首次观测到水星凌日。开普勒星表对该次水星凌日的推算误差仅仅只有太阳半径的三分之一，但是被该表取代的哥白尼星表的误差是开普勒星表误差的三十倍。如果开普勒星表确实是非常精确的，那么基于这个星表的行星定律将是值得认真考虑的。