芬斯勒几何

“摇滚巨星”是美国加州大学伯克利分校一位名叫苏菲的职员用来形容陈省身的。苏菲在天津机场偶遇一群人在接机，根据热烈的场面推测，来的要么是摇滚巨星，要么是电影明星。可当那人坐着轮椅现身之后，她赫然发现，竟是伯克利的荣退教授陈省身。也有报道说：他在香港科技大学演讲时，当讲座结束后，学生们争先恐后冲向陈省身，将他包围，要他的签名。就像那里坐着的不是数学家，而是一位摇滚巨星。

就是这位 “摇滚巨星”被国际上公认为“现代微分几何之父”。华裔诺贝尔奖得主杨振宁先生曾在他的一首诗中写道：“造化爱几何，四力纤维能，千古寸心事，欧高黎嘉陈。”这里最后一段的欧是指欧几里得，他是经典几何的创始人；高指的是高斯；黎就是指黎曼；嘉指的是嘉当，他是法国数学家，是现代微分几何重要概念和工具的创立人，例如嘉当外形式法；而最后的陈就是指现代微分几何之父陈省身先生。陈省身先生晚年竭力倡导芬斯勒微分几何，认为是本世纪微分几何发展的主导方向。芬斯勒是德国数学家，他是嘉当的学生。我们知道，微分几何不同结构的本质差异，完全通过度规张量的不同表述唯一地决定。因此度规张量的重要性就显而易见了。嘉当给芬斯勒的毕业论文，就是让他研究从数学理论角度出发分析作为几何上有意义的度规张量的最低条件是什么？芬斯勒圆满地完成了他的毕业论文。后人在他所论证的条件下发展起来的微分几何称为芬斯勒微分几何。

陈省身先生指出：“芬斯勒几何就是没有二次形限制的黎曼几何。”可能是受到欧几里得几何的限制，人们往往一想到几何度量就想到勾股弦定理，空间的几何长度总是等于空间个分量长度的平方和。这对于几何长度的定义虽然是重要的，但不是唯一的。

1854年，黎曼在其教师资格论文中对广义空间引入了弧长元素取平方形式的度量结构。

在采用更一般的形式定义的弧长时，进一步取消二次形的限制的黎曼几何，就是一种特别形式的芬斯勒几何。

从微分流形上的芬斯勒结构可直接诱导了流形上的以下三个不变量：希尔伯特形式、基本张量和嘉当张量。希尔伯特形式是流形上的一次微分形式，而基本张量类似于黎曼几何中的度规张量。但不同的是，黎曼几何的度规张量，仅是定义在微分流形上的，即它们仅是坐标x的函数，而与切矢量y无关。但芬斯勒几何中的基本张量则是定义在切从上的。因此一般情况下，基本张量对切矢量的微分不为零，且为嘉当张量。因此这里的嘉当张量就成了一个芬斯勒几何偏离黎曼几何程度的量度。特别，当度规张量gij（x，y）被假定为与yi无关时的情况下，芬斯勒几何将简化为黎曼几何。嘉当张量相对于所有它的角标是对称的。它是描述一个芬斯勒时空对黎曼时空的偏离程度的几何量。当一个芬斯勒结构给出的嘉当张量为零，那么这个空间就是黎曼空间。无需说，所有芬斯勒关系推广它们的黎曼类似物是作为嘉当张量Cijk和其导数出现的结果。

芬斯勒空间的测地线可以用充分相近于黎曼几何中所用的方式加以定义。虽然在正定的芬斯勒空间中，测地线提供函数的极小值，但在非正定芬斯勒空间的情况下，我们只能说它是定态的。