《科学的美国人》的编者要我写点东西，讲一下我刚发表的最近的工作。那是关于场物理学基础的数学研究。
有些读者会弄不明白：我们在学校里的时候不是已经全部学过物理学的基础吗？根据解释的不同，可以回答“是”或者“不是”。我们已熟悉那样一些概念和普遍关系，它们能使我们理解经验的一个极大范围，并且使这些经验可以用数学来处理。从一定的意义来说，这些概念和关系甚至可能是最后定论了的。比如，光的折射定律，以压力、容积、温度、热和功这些概念为基础的古典热力学关系，以及关于永动机不存在的假说，都确实如此。
那么，究竟是什么迫使我们去设计一个又一个理论呢？我们究竟为什么要设计理论呢？后一问题的答案简单地说来是：因为我们爱好“理解”，就是爱好通过逻辑过程把现象归结为某种已知的或者（看来是）明显的东西。当我们碰到不能用现有理论去“解释”的新事实时，首先必需的是新理论。但是这种建立新理论的动机，可以说是平凡的，是从外面强加上去的。另外还有一种重要性并不更小些的比较微妙的动机。这就是力求整个理论前提的统一和简化（也就是解释为一种逻辑原理的马赫的经济原理）。
存在着求理解的热情，正像存在着对音乐的热情一样。那种热情，在儿童中间是相当常见的，但多数人以后就失去了。要是没有这种热情，就不会有数学，也不会有自然科学。求理解的热情一再地导致了这样一种幻想，以为人可以不要任何经验基础，而只要通过纯粹的思维——简言之，即通过形而上学——就能在理性上了解客观世界。我相信每一个真正的理论家都是一种温和的形而上学者，尽管他可以把自己想象成一个多么纯粹的“实证论者”。形而上学者相信：凡是逻辑上简单的，就是实在的。温和的形而上学者相信：逻辑上简单的东西不一定都在经验到的实在中体现出来，但是，根据一个建立在一些具有最大简单性的前提之上的概念体系，能够“理解”所有感觉经验的总和。怀疑论者会说，这是一种“不可思议的信条”。事情虽然如此，但是这个“不可思议的信条”已由科学的发展给以惊人的支持。
原子论的兴起是一个很好的例子。留基伯（Leucippus）怎么会想出这种大胆的观念呢？当水凝结成冰——看起来完全不同于水——时，为什么冰融解了又变成一种同原来的水似乎不能辨别的东西呢？留基伯觉得奇怪，并且寻求“解释”。他不得不作出这样一条结论：在这些转变中，事物的“本质”完全没有变化。也许事物是由不变的粒子所组成的，变化只是一种它们在空间排列上的变化。对于一切反复现出大致相同性质的物质客体，难道不会也是这样的吗？
这个观念在西方思想长期休眠中并未完全绝灭。在留基伯以后两千年，伯努利（Bernoulli）对气体为什么会有压力作用在容器壁上觉得奇怪。从牛顿力学来看，这是不是应当由气体各个部分的相互排斥来“解释”呢？这个假说看来是荒唐的，因为在别的一切方面都不变时，气体压力却同温度有关。要假定牛顿的相互作用力取决于温度，这就同牛顿力学的精神相违背。既然伯努利是晓得原子论的概念的，他就必然会下这样的结论：原子（或者分子）同容器的壁相碰撞，这样就产生了压力。总之，人们必须假定原子是在运动着的；要不然，人们怎么能够说明气体的温度变化呢？
简单的力学考查表明，这种压力只同粒子的动能以及它们在空间中的密度有关。这就应当使那个时代的物理学家得出这样的结论：热是由原子的无规则运动所组成。要是他们当时给这种考虑以应有的认真对待，那么就应当会大大推进热理论的发展——尤其是热同机械能等效性的发现。
这个例子可用来说明两件事。理论观念（在这例子里是原子论）的产生，不是离开经验而独立的；它也不能通过纯粹逻辑的程序从经验中推导出来。它是由创造性的行为产生出来的。一个理论观念一旦获得了，人们就不妨抓紧它，一直到了它导致一个站不住脚的结论为止。
至于我最近的理论工作，我不认为有理由可以向对科学有兴趣的广大读者作详细的介绍。只有对于那些已为经验适当证实了的理论才可以那样做。到目前为止，表明有利于这里所讨论的这个理论的，首要的是它的前提的简单性，以及它同已知事实（即纯引力场定律）的密切联系。可是，广大读者也许会有兴趣去熟悉一下能导致这种极端思辨性努力的一连串思想。此外，还将说明，碰到了哪几种困难，而它们又是在哪种意义上被克服的。
在牛顿的物理学中，物体的理论描述所根据的基本理论概念，是质点或者粒子。这样，物质先验地被看作是不连续的。这就使它必然认为质点相互之间的作用是“超距作用”。既然后一概念显得同日常经验格格不入，牛顿同时代的人——牛顿自己其实也是如此——都觉得它难以接受，那是再自然不过的。可是由于牛顿体系的几乎是不可思议的成就，后几代的物理学家就习惯于超距作用这个观念。此后一段长时期中，任何怀疑都被埋葬了。
但在十九世纪后半期，人们知道了电动力学定律，结果晓得这些定律不能令人满意地合并到牛顿体系里去。人们不禁会去深思：倘使法拉第受过正规的大学教育，他会发现电磁感应定律吗？他没有背上传统思想的包袱，觉得把“场”作为实在的一个独立元素引进来，可以帮助他整理经验事实。充分了解场概念的意义的是麦克斯韦；他作出了这样的基本发现：在电场和磁场的微分方程中，电动力学定律找到了它们的自然的表述形式。这些方程意味着某些波的存在，它们的性质相当于那时候所知道的光的性质。
这样把光学合并到电磁理论中去，是寻求物理学基础统一的最伟大胜利之一；早在为赫兹的实验工作所确证之前很久，麦克斯韦就以纯理论的论证达到了这个统一。这种新的看法使得人们有可能省掉超距作用的假说，至少在电磁现象里是如此；居间的场现在好像是物体之间电磁相互作用的唯一载体，而场的行为则完全取决于那些用微分方程来表示的邻接过程（contiguous Process）。
现在产生了这样一个问题：既然场即使在真空里也存在，那么应当把场想象为“载体”的一种状态呢，还是应当赋予它一种不能归结为别的任何东西的独立存在呢？换句话说，有没有一种负载场的“以太”呢？比如，以太负载光波时，就认为它是在波动的状态中。
这问题有一个自然的答案：因为人们不能省掉场概念，那就不如不另外引进带有假说性质的载体。然而，最早认识到场概念是不可避免的那些先驱者，还是不可能不犹豫地接受这种简单的观点，因为他们所浸染的机械论的传统思想还是太强了。但是在随后的几十年中，这种观点不知不觉地被采纳了。
把场作为基本概念引进来，给整个理论带来了一种不一致性。麦克斯韦理论尽管能恰当地描述带电粒子在它们彼此相互作用时的行为，却不能解释电密度的行为，就是说，它提不出关于粒子本身的理论。因此，就必然要根据旧理论把这些粒子当作质点来处理。要把连续的场的观念同在空间里不连续的质点的观念结合在一起，显得不一致。贯彻一致的场论，要求理论中的一切元素，不仅在时间上，而且在空间上，以及在空间的一切点上都是连续的。因此，在场论中，物质粒子就没有作为基本概念的资格。这样，即使不去说还没有把引力场包括进去这件事，麦克斯韦的电动力学也不能认为是一个完备的理论。
如果空间坐标和时间受到一种特殊的线性变换——洛伦兹变换——那么，关于空虚空间的麦克斯韦方程就保持不变（对于洛伦兹变换的“协变性”）。当然，对于由两个或者更多个这种变换所组成的变换，协变性仍然成立；这叫做洛伦兹变换的“群”性质。
麦克斯韦方程蕴涵着“洛伦兹群”，但洛伦兹群并不蕴涵麦克斯韦方程。洛伦兹群的确可以同麦克斯韦方程无关地定义为这样一种线性变换群，它使一种特殊的速度——光的速度——的数值保持不变。这些变换适用于从一个“惯性系”向另一个同它作相对匀速运动的惯性系的转移。这种变换群的最突出的新奇性质在于它抛弃了空间上彼此隔开的事件的同时概念的绝对特征。由于这个缘故，可指望一切物理方程对于洛伦兹变换都是协变的（狭义相对论）。这样，由麦克斯韦方程引导出一条有启发性的原理，它的有效性远远超出这些方程本身适用的和有效的范围。
狭义相对论同牛顿力学在这样一点上是共同的：两种理论的定律都假定只适合于某些坐标系，即那些名为“惯性系”的坐标系。惯性系是处于这样一种运动状态中的坐标系：在其中“不受力”的质点，对于这个坐标系没有加速度。可是如果没有独立的办法来辨认出力的不存在，这个定义也是落空的。但是，如果把引力看作是一种“场”，那就不存在这种辨认方法。
设A是一个对“惯性系”I作均匀加速的坐标系。凡是对于I不是加速的质点，对于A都是加速的，所有这些质点的加速度的量值和方向都相同。它们的行为好像是对于A存在着引力场，因为加速度同物体的特殊本性无关，这正是引力场的一个特征性的性质。没有理由可排除把这行为解释作“真正”引力场效应的可能性（等效原理）。这种解释意味着A是一个“惯性系”，尽管它对于另一惯性系是加速的（对这个论证来说，重要的是：认为引进独立的引力场是合理的，尽管并未规定出产生这个场的物体。因此，对于牛顿，这样的论证必定显得没有说服力）。这样，惯性系概念、惯性定律，以及运动定律，也就都丧失了它们的具体意义——不仅在古典力学里，在狭义相对论里也如此。而且，把这一连串思想贯彻到底，就得出：对于A来说，时间不能用相同的钟来量；其实，甚至坐标差的直接物理意义，一般地也失去了。鉴于所有这些困难，人们究竟是不是应当尽力坚持惯性系概念，而放弃对引力现象的基本特征（在牛顿的体系里表现为惯性质量同引力质量的等效性）作解释的企图呢？凡是相信自然界是可理解的人，一定回答：不。
等效原理的要点是：为了要说明惯性质量同引力质量的相等，在这理论中必须允许四个坐标的非线性变换。就是说，洛伦兹变换群，因而，“许可”坐标系的集，都必须加以扩充。
那么，怎么样的坐标变换群能用来代替洛伦兹变换群呢？数学提示了一个以高斯和黎曼的基本研究为根据的答案：合适的代替物是坐标的一切连续（解析的）变换群。在这样一些变换下，只有一件事保持不变，那就是邻近的点具有近似相同的坐标；坐标系仅仅表示空间中点的拓扑次序（包括它的四维特征）。表示自然规律的方程，对于坐标的一切连续变换，都必定是协变的。这就是广义相对性原理。
刚才讲的这套做法，克服了力学基础中的一个缺陷。这个缺陷，牛顿已经注意到了，莱布尼茨批评过，两百年后马赫也批评过，那就是：惯性抵抗加速度，但是加速度又相对于什么呢？在古典力学的框架里，唯一的答案是：惯性抵抗那个相对于空间的加速度。这是空间的一种物理性质——空间对物体发生作用，但是物体却不对空间发生作用。这也许就是牛顿所说的“空间是绝对的”（spatium est absolutum）这一断言的较深一层的意义。但是这观念引起了某些人，特别是莱布尼茨的不安，他不认为空间是独立存在的，而认为它只是“事物”的一种性质（物理对象的邻接性）。要是他的这些不无道理的怀疑在那个时候取得了胜利，那对物理学很难说是一种恩惠，因为要把他的观念贯彻到底所必需的经验基础和理论基础，在十七世纪都还是无法得到的。
根据广义相对论，抽掉任何物理内容的空间概念是不存在的。空间的物理实在表现为场，场的分量是四个独立变量——空间和时间的坐标——的连续函数。表示物理实在的空间特征的，正是这种特殊的依存关系。
既然广义相对论意味着用连续的场来表示物理实在，粒子或者质点概念就不能起基本作用，运动概念也不能起这种作用。粒子只能表现为空间中场强度或者能量密度特别大的有限区域。
相对论性的理论必须回答两个问题：（1）场的数学特征是什么？（2）适用于这种场的方程是怎样的？
关于第一个问题：从数学观点来看，场在本质上是由它的各个分量在坐标变换时所经历的变换方式来表征的。关于第二个问题：这些方程必须在满足广义相对论假设的同时，使场确定到足够程度。至于这种要求能否满足，那是要取决于场类型的选择。
企图根据这种高度抽象的纲领来理解经验数据之间的相互关系，初看起来几乎是无望的。事实上，这套做法等于提出这样的问题：哪一种最简单的客体（场）能够要求哪一种最简单的性质，而同时又保持住广义相对性原理呢？从形式逻辑的立场来看，且完全不管“简单”这个概念还有歧义，问题的双重性就已经像一场灾难。而且从物理学的立场来看，要假定一个“逻辑上简单的”理论也就应当是“真的”，那是没有什么保证的。
然而任何理论都是思辨性的。当一个理论的基本概念（比如力、压力、质量这些概念）比较“接近于经验”时，它的思辨特征就不可能那么容易识别出来。可是如果有这样一种理论，为了要从前提推出那些能同观察相对照的结论，需要应用繁难复杂的逻辑过程，那么任何人都会看得出这种理论的思辨性。在这种场合下，那些对认识论分析没有经验的人，以及那些在他们所熟悉的领域里觉察不到理论思维的不可靠性的人，几乎不可避免地都会感到厌恶。
另一方面也该承认，如果理论的基本概念和基本假说是“接近于经验”的，这理论就具有重大的优点，对这样一种理论给以较大的信任，那肯定也是理所当然的。特别是因为要由经验来反驳这种理论，所费的时间和精力都要比较少得多，完全走错路的危险也就比较少。但随着我们知识深度的增加，在我们探求物理理论基础的逻辑简单性和统一性时，我们势必愈来愈要放弃这种优点。必须承认，为了要得到逻辑的简单性而放弃“对经验的接近”，在这方面，广义相对论已经走得比以前的各种物理理论都要远得多了。对于引力论来说，情况已经是这样，至于企图概括总场性质的引力论的新的推广，就更是如此了。在这个推广的理论中，要从理论的前提导出那些能同经验数据相对照的结论来，中间的程序是太难了，以致到目前为止还没有得到这样的结果。在目前，支持这个理论的，是它的逻辑简单性和“刚性”。这里刚性意味着不管这理论是对的还是错的，它都是无可修改的。
妨碍相对论发展的最大内在困难是问题的双重性，就像我们已提出过的两个问题所指明的那样。这种双重性正说明了为什么这理论的发展是发生在时间隔得那么久的两个阶段上。第一阶段是引力论，它以前述等效原理为基础，并且根据如下的考虑：依照狭义相对论，光有一不变的传播速度。如果光线在真空里从一点出发，这个点由三维坐标系里的坐标x1，x2和x3来标示，那时时间是x4，它以一个球面波扩展开，在时间x4＋dx4时到达一个邻近点
。引进光速c，我们写出表示式：
这也可写成这样的形式：
这个表示式表示四维空间-时间里两个邻近点之间的一种客观关系；只要坐标变换是限于狭义相对论的，它就对于一切惯性系都有效。可是如果根据广义相对性原理，允许坐标的任意连续变换，这关系就失去了这种形式。这关系因而具有更加普遍的形式：
这些gik是坐标的某种函数，当施行连续坐标变换时，这些函数以一定方式变换着。依据等效原理，这些gik函数描述一种特殊的引力场：一种能由“无场”空间的变换而得到的场。gik满足一种特殊的变换定律。从数学上来说，它们是一个“张量”的分量，这个张量具有一种在一切变换中都保存着的对称性；这种对称性可表述如下：
这就引起了如下想法：即使场不能仅仅用坐标变换从狭义相对论的空虚空间得到，我们是不是还可以给这种对称的张量以客观的意义呢？尽管我们不能指望这种对称张量会描述最一般的场，但它还是完全可以描述“纯引力场”这样的特殊情况。因此，至少对于一个特殊情况，广义相对论所必须假设的，显然就是这样一种场：对称张量场。
于是只留下第二个问题：对于对称张量场，能够假设出哪一种广义协变的场定律呢？
在我们这个时代要回答这个问题并不困难，因为必要的数学概念早已在手头，它的形式就是曲面的度规理论，是一个世纪以前由高斯创造，并且由黎曼扩充到有任意维数的流形上去。这种纯粹形式研究的结果有许多惊人的地方。对于gik，能被假设为场定律的微分方程不能低于二阶的，就是说，它们至少必须包含gik关于坐标的二阶导数。假定场定律中不出现高于二阶的导数，广义相对性原理在数学上就决定了这个场定律。这个方程组能写成如下形式：
Rik的变换方式同gik一样，就是说它们也形成一个对称张量。
只要物体是用场的奇点来表示的，这些微分方程就完全代替了牛顿的天体运动理论。换句话说，它们包含力定律，也包含运动定律，却排除了“惯性系”。
物体表现为奇点这一事实，表明物体本身不能由对称的gik场，或者“引力场”来解释。甚至只存在正的引力物体这件事，也不能够从这个理论推演出来。显然，一个完备的相对论性的场论所根据的必定是一种性质更加复杂的场，那就是对称张量场的一种推广。
在考查这种推广以前，有两点同引力论有关的意见对于以后的解释是事关紧要的。
第一点意见是：广义相对性原理对理论的可能性加以极其严格的限制。要是没有这种限制性的原理，实际上任何人都不可能找到引力方程，甚至用狭义相对性原理也做不到，尽管人们知道场应当用对称张量来描述。除非采用广义相对性原理，无论积累多少事实也不能导致这些方程。这就是为什么我以为，要不是一开始就使基本概念合乎广义相对性，一切想得到一种关于物理基础的比较深入知识的企图，都注定是无望的。这种情况使我们在寻求物理学的基本概念和基本关系时，难以使用我们的哪怕是非常广泛的经验知识，它迫使我们大大使用自由思辨，使用的程度远超过多数物理学家目前所采取的。我看不出有任何理由要假定广义相对性原理的推测性意义只限于引力，而又假定物理学的其余部分能根据狭义相对论分隔开来处理，同时还要希望此后整个物理学会彻底地适合于广义相对论性的图式。我不认为这种态度在客观上能站得住，尽管从历史上来看是可理解的。我们今天所知道的引力效应比较小，这不能成为在基本性的理论研究中可以无视广义相对性原理的决定性的理由。换句话说，我不相信提出这样的问题是正当的：要是没有引力，物理学会像什么样子？
我们必须注意的第二点是：引力方程是关于对称张量gik的十个分量的十个微分方程。在非广义相对论性的理论中，如果方程的数目等于未知函数的数目，那么一个体系通常是不会被过度确定的。这些解的流形是这样的：在通解中，有一定个数的三变量函数可以任意选取。对于广义相对论性的理论，这不能指望是当然的事。对于坐标系的自由选取，蕴涵着在这些解的十个函数（或者场的分量）当中，有四个能通过坐标系的适当选取，使它们具有所规定的数值。换句话说，广义相对性原理蕴涵着：要由微分方程来确定的函数个数不是10，而是10－4＝6。对于这六个函数，只能假设有六个独立的微分方程。在引力场的十个微分方程当中，应当只有六个是彼此独立的，而其余四个必定借助于四个关系（恒等式）同那六个相联系的。在十个引力方程的左边Rik中间确实存在着四个恒等式——“毕安期（Bianchi）恒等式”——这就保证了这十个方程的“相容性”。
在像这样的情况——场变量的个数等于微分方程的个数——下，如果这些方程都能从变分原理得到，那么相容性总是可以保证的。引力方程的情况正是这样。
可是，这十个微分方程不能完全由六个微分方程来代替。这一方程组实在是“过度确定”的，但由于这些恒等式的存在，这种过度确定并不失去它的相容性，就是说，这些解的流形并没有受到苛刻的限制。引力方程包含物体的运动方程这件事，同这种（许可的）过度确定有密切联系。
作了这样的准备以后，现在就容易了解目前这项研究的本质，而不必进入它的数学的细节。问题是要建立关于总场的相对论性理论。解决的最重要线索是：对于纯引力场这样的特殊情况，解已经存在了。我们所要探求的理论，因此必定是引力场理论的推广。第一个问题是：对称张量场的自然推广是什么？
这个问题自身不能得到回答，而只能同下面另一个问题结合起来解决，那就是：怎样推广这种场才能提供出最自然的理论体系？现在讨论的这个理论所引为根据的答案是：对称张量场必须由一个非对称张量场来代替。这就意味着，对于场分量，必须抛弃gik＝gki这个条件。在那种情况下，场就有十六个独立分量，而不是十个独立分量了。
留下来的还有建立关于非对称张量场的相对论性微分方程的任务。在企图解决这个问题时，人们碰到了一个在对称场的情况中所没有的困难。广义相对性原理并不足以完全确定场方程，这主要是因为单单场的对称部分的变换定律并不涉及反对称部分的分量；反过来也一样。也许这就是为什么场的这种推广在以前简直从未尝试过的缘故。只有在这个理论的形式体系中起作用的是总场，而不是由对称部分和反对称部分分别起作用时，才能表明场的这两个部分的结合是一种自然的程序。
结果是，这个要求确实能以自然的方式得到满足。但是甚至这个要求和广义相对性原理合起来也还不足以唯一地确定场方程。让我们记住这一个方程组必须满足另一个条件：这些方程必须是相容的。前面已经讲过，如果这些方程能从变分原理推导出来，那么这个条件就满足了。
这个目的无疑已经达到了，尽管不是通过像对称场情况下那么一条自然的道路。发觉这个目的竟能由两条不同道路来达到，那是有点令人不放心的。这些变分原理提供出两个方程组——让我们把它们记作E1和E2——它们彼此是不同的（尽管只有微小的差别），每个都显示出各自特有的不完备性。因此，甚至相容性条件也不足以唯一地确定这个方程组。
事实上，正是E1和E2这两个方程组的形式缺陷指示了一条可能的出路。有第三个方程组E3存在，它没有E1和E2这两个方程组的形式缺陷，它代表两者在下面这意义上的结合，即E3的每一个解也都是E1和E2的解。这提示着E3可能就是我们所要寻求的那个方程组。那么，为什么不假设E3就是这个方程组呢？要是没有进一步分析，这种做法是靠不住的，因为E1的相容性和E2的相容性并不蕴涵较强的方程组E3的相容性，在E3那里，方程的个数比场分量的个数多了四个。
独立的考查表明：撇开相容性的问题不管，这个较强的方程组E3总是引力方程的唯一真正的自然推广。
但是从E1和E2这两个方程组都是相容的这样一种相容性的意义来看，E3却不是一个相容的方程组，因为E1和E2的相容性是由足够个数的恒等式来保证的，这意味着，凡是在一定的时间值上满足这些方程的场，都有一个连续的广延，表示四维空间中的一个解。可是方程组E3却不能以同样方式扩延开。用古典力学的语言，我们可以说：在方程组E3的情况中，“初始条件”不能自由选定。真正重要的是要回答这样的问题：关于E3这一个方程组，解的流形是不是具有像对于一个物理理论所必须要求的那样的广延性呢？这个纯数学问题到目前尚未解决。
怀疑论者会说：“很可能，这个方程组从逻辑的立场来看是合理的。但是这并不证明它符合于自然界。”你是对的，亲爱的怀疑论者。唯有经验能够判定真理。然而，如果我们成功地用公式表述了一个富有意义的、严谨的问题，我们就已取得了一些成绩。不管已知的经验事实多么丰富，要证实或者要驳倒都不会是容易的。要从这些方程去推导出那些能够同经验对照的结论，将需要艰苦的努力，也许还需要新的数学方法。
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(1) 本文最初发表在《科学的美国人》（Scientific American）月刊，182卷第4期，1950年4月号。这里译自《思想和见解》，341-—356页。——编译者
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