生日悖论中的生日悖论

生日悖论

这是最著名的“似非而是的悖论”之一。不同于前两个例子，这种悖论不耍花招，没有逻辑推理上的谬误，也不使用叙述上的障眼法。我必须强调，不论读者是否相信其解答，它在数学与逻辑上都是完全正确的，并且具有一致性。这种面对问题的挫败感在某种程度上提高了破解此悖论的乐趣。

以下是生日悖论的表述：

你认为房间里至少要有多少人，才能让其中任意两人同一天生日的概率超过一半——也就是说，任意两人生日相同的概率比不同来得高？

先让我们运用直观的常识（当然稍后会证明是错的）。一年有365天，可以想象成大讲堂里有365个空座位。 100位学生进入讲堂，每个人随机选了一个座位。有些人可能想跟朋友坐在一起；有些人喜欢最后一排的隐蔽性，让他们可以在课堂中打瞌睡不被发现；较多学生则选择离讲台较近的位置。不过他们坐在哪里并不重要，因为超过三分之二的座位仍然空着。当然，没有学生会去坐已经有人的座位，而我们总觉得讲堂里有这么多座位，两位学生抢同一个位置的机会相当微小。

如果将这种常识性的思维方式应用到生日问题上，我们可能会认为，在可选的生日与座位一样多的情况下，这100位学生当中任何人跟别人同一天生日的机会也一样微小。当然，难免有少数一起过生日的死党，但我们觉得发生的可能性比不发生来得低。

如果换成一群为数366人的学生（先不管闰年），很自然地，不须多作解释就很清楚，我们可以确定至少有两个人生日在同一天。当学生人数逐渐减少，情况却开始变得有趣起来。

以下所述也许会让读者感到不可思议——事实上，房间里只需要57个人，就可以让任意两人同一天生日的概率超过99％。也就是说，只要57个人，就几乎能确定其中有两个人同一天生日！这个答案听起真是令人难以置信。若只针对问题来回答，任意两人生日相同的可能性比不同还高（也就是概率超过一半）所需的人数则远低于57。事实上，只要23个人就足够了！

多数人初次听到这个答案莫不大吃一惊，甚至在确认过解答的正确性之后依旧感到浑身不自在，这在直觉上的确太令人难以接受了。我们接着来详细探讨其中的数学，我会尽可能将它说清楚。

我们首先假定一些预设条件，尽量使问题简化：排除闰年、一年中每一天作为生日的概率都相同、房间里没有双胞胎。

许多人所犯的错误在于，他们认为这个问题是两个数字之间做比较：房间里的人数与一年中的天数。由于共有365天可作为这23人的生日，避开彼此生日的机会似乎远比撞在一起来得高。但是这种看待问题的方式却造成误导。试想，为了能让两个人的生日在同一天，我们需要的是成对的人，而非单独的个体；因此应该考虑的是不同配对方式的总数。首先从最简单的状况出发：如果只有三个人，那么总共有三种不同的配对：Ａ—Ｂ，Ａ—Ｃ，Ｂ—Ｃ。若是四个人，配对的可能性增加到六种：Ａ—Ｂ，Ａ—Ｃ，Ａ—Ｄ，Ｂ—Ｃ，Ｂ—Ｄ，Ｃ—Ｄ。当总人数达到23人时，我们发现总共有253种不同的配对方式[1]。到这里读者是否发现，相较于原本的答案，要相信这253种双人组合其中一组的生日刚好是365 个日期之一，是否变得简单多了呢？

计算这个概率的正确方法是：从一组配对开始，逐渐增加人数，并且观察生日相同的概率如何变化。这个方法的诀窍在于，我们直接计算的并非新加入者与别人一同过生日的概率，而是避开所有其他人生日的概率。如此一来，第二个人避开第一个人生日的概率就是364÷365，因为他可以在一年中头一个人生日以外的任何一天出生。第三人与前两人生日错开的概率是363÷365。然而别忘了前两人仍得避开同一天生日（有364÷365的机会）；在概率论里，如果我们想知道两个独立事件同时发生的概率，就得将第一个事件出现的概率乘上第二个事件的概率。因此，第二人避开第一人生日，以及第三人同时避开前两者生日的概率，就是：（364／365）×（363／365）＝ 0.9918。最后，如果以上结果是三个人生日完全错开的概率，那么其中任意两人生日相同的概率就是1－0.9918 ＝ 0.0082。在只有三个人的情况下，生日出现在同一天的机会非常微小，正如读者所预期。

接着继续进行相同的步骤——逐一增加人数，建立一串连乘的分数算出所有人错开彼此生日的概率，直到总乘积低于0.5 （也就是50％）为止。这时候就会得到任意两人生日相同概率超过50％所需的人数。我们发现，只需要22个分数连乘就可以让总乘积小于0.5，也就是23个人：

←23个分数连续相乘→

于是房间里任意两人生日在同一天的概率便为：

1－0.4927 ＝ 0.5073 ＝ 50.73%

解开这个难题需要一些概率论的知识。相较之下，下一个悖论就某些方面来说较为浅显易懂，而我认为这点更令它显得不可思议。这是我最喜欢的“似非而是的悖论”，因为它的陈述是如此简单，如此容易解释，却又难以透彻理解。