阳光下的数学

阳光下的数学_世界科技历程

第七章　阳光下的数学

数学论战

大科学家牛顿，不仅创立了经典力学体系，而且对微积分学的创立作出了不朽的贡献。

由于微积分在创立初期还不完善，立即遭到了攻击，由此引发了数学史上著名的第二次数学危机。

第一次危机发生在古希腊时期，是一场由无理数的发现而引起的数学危机。第三次危机发生在20世纪初，是一场由集合论的悖论的发现而引起的数学危机。

第二次数学危机是1734年由英国唯心主义哲学家贝克莱的发难而引起的。

牛顿等科学家的科学成就给上帝带来了灾难，因此正统神学家不断地寻找机会向自然科学家发出咆哮。英国神学家贝克莱为维护上帝的尊严，终于在牛顿的《自然哲学的数学原理》中找到了突破口。

贝克莱抓住了牛顿在无穷小量的表述上的混乱以及在此基础上运用流数法的矛盾，对流数进行猛烈抨击。他说：“这些流数是什么？”“是渐近于零的增量的速度。那么这些相同的渐近于零的增量又是什么呢？它们既不是有限量，也不是无穷小量，可也不是虚无。难道可以把它们称为死去的量的幽灵吗？”

由于贝克莱在对微积分的攻击中，揭开了微积分的内在矛盾，微积分陷入理论危机中，由此而引发了第二次数学危机。

牛顿和莱布尼茨虽然发现了微积分的基本原理和主要方法，但对于微积分的基本概念无穷小量，缺乏严格的数学定义。时而说无穷小量是零，时而说又不是零；时而说无穷小量消逝为零，时而说又趋向于零，因此缺乏严密的数学理论基础。

贝克莱的攻击，立即激起一些数学家的反击。英国数学家朱允就在1734年发表公开的批驳信，并对牛顿的流数作了解释。

英国另一个著名的数学家马克劳林也参加了反击贝克莱的论战。

1698年2月，马克劳林生于苏格兰，虽然半岁丧父，9岁丧母，却是一个神童，11岁考入格拉斯哥大学，先学神学，一年后转攻数学。19岁便担任阿伯丁大学的数学教授，21岁被选为英国皇家学会会员。

同一年，马克劳林发表了第一本重要著作《构造几何》，描述了作圆锥曲线的一些新的方法，精辟地讨论了圆锥曲线及高次平面曲线的种种性质。

马克劳林对牛顿敬仰备至，是他的忠实信徒，为继承，捍卫和发展牛顿的学说而奋斗，为了答复贝克莱对牛顿微积分原理的攻击，在1742年出版了《流数论》。

此书以泰勒级数作为基本工具，是对牛顿的流数法作出符合逻辑的、系统解释的第一本书。马克劳林还企图为流数法提供一个几何框架，建立严密的微积分理论。

马克劳林在书中提出了著名的马克劳林级数，并应用它导出局部极大值和极小值存在的充分条件。还首先给出如何区别一般极大极小的理论，并指出这种区别在曲线多重点理论中的重要性。

他还证明了等速旋转均匀流体的平衡形状是旋转椭圆体，现在称之为马克劳林椭圆体。

马克劳林的《流数论》相当审慎周到，一直是比较严密的微积分标准教材，直到1821年法国著名数学家柯西的著作问世。

由于历史条件的限制，马克劳林没有能够从根本上结束微积分在数学理论基础方面发生的危机。

这一危机直到19世纪初由柯西克服。

然而第二次数学危机却激起数学家们不断地去探索和研究，回击贝克莱之流的攻击，建立科学的微积分数学理论基础，从而推动了数学的发展。

18世纪的数学大师——欧拉，就是杰出的代表。

“巧定羊圈”的故事

数学大才欧拉因“巧定羊圈”而被数学巨匠约翰·伯努利发现，并在他的影响和培养下，逐渐成长为18世纪数学界的中心人物。

那是在1719年，欧拉才12岁。父亲老欧拉准备盖一个羊圈，用100尺的材料把羊圈住。这一天，老欧拉在丈量土地，小欧拉在一旁帮忙。父子各拉住测绳的一端，当父亲把4根角桩打入地下时，小欧拉立即报出了计算结果：

“长40尺，宽10尺，羊圈面积400平方尺，正好需要篱笆材料100尺。”

“我已经算过了。”

“如果长35尺，宽15尺，羊圈面积就能扩大125平方尺，不是更好吗？”

老欧拉没有想到。

“如果长40尺，宽15尺，羊圈面积就扩大到600平方尺，可是需要篱笆材料110尺，而我们只有100尺材料啊。”

怎样用100尺的材料围成最大面积的羊圈呢？小欧拉在认真地想着，老欧拉非常高兴儿子有这样的想象力。

小欧拉终于算出来了，欣喜地告诉父亲：“把羊圈的长和宽都定为25尺，就能围成625平方尺的羊圈。”

小欧拉“巧定羊圈”的故事不胫而走，传到约翰·伯努利的耳朵里。这虽然是数学上一个简单的极值问题，不过年仅12岁的孩子，竟能想出这种方法，确实令人惊奇。约翰凭直觉预感这个聪明的孩子将成为一颗耀眼的数学明星。

非常爱才的约翰亲自登门拜访欧拉和他的父亲，当这位德高望重的教授见到欧拉时，这种感觉更加强烈，便要求老欧拉同意他带小欧拉去巴塞尔大学学习数学。

可是老欧拉不同意：“教授，我希望儿子成为一位神学家，而不是什么数学家。”

为什么老欧拉希望儿子成为神学家呢？这话还得从头说起。

列昂哈德·欧拉于1707年4月15日诞生在瑞士巴塞尔城附近的里恩村，父亲是一位爱好数学的基督教牧师，正因为如此，欧拉7岁时就在同龄孩子羡慕的目光下，被父亲送进巴塞尔神学校学习神学。

老欧拉心想，凭着自己在邻里的声望，儿子非常聪明，小欧拉长大后一定能成为教门后起之秀，说不定还能进入罗马教廷呢！每当想起儿子前程似锦，光宗耀祖，老欧拉心情格外舒畅，神采飞扬。

小欧拉在神学校专心听课，老师教的圣经，他能够熟背。圣经中，上帝创造天地万物，上帝无所不在无所不能的思想，欧拉坚信不疑。当他在课堂上学到了一些知识后，便对自然界充满信心，同时又困惑不解。比如，天上的星星有多少颗？父亲无法回答。

小欧拉便去问老师：“天上的星星总共有多少颗？”

老师非常惊讶，便故作镇静地说：“天空中的星星都是上帝亲手镶嵌上去的，具体数目不必要知道。”

“既然上帝亲手制作了星星，为什么记不住它们的数目呢？”

老师茫然。

从此，小欧拉对上帝在信仰上开始动摇了，开始不专心听课，考试答非所问，头脑里总是在想：上帝真是无所不在吗？上帝在哪里呢？神学校哪能容纳“叛逆”的学生，不久，欧拉被神学校开除。他丝毫不感到伤心，反而可以无拘无束地思考自己的问题。为了数清天上的星星，欧拉开始学习数学，而且学得津津有味。

正是由于学习数学，欧拉才有智慧去“巧定羊圈”。约翰·伯努利慧眼识英才，恳求老欧拉不要埋没了孩子的数学天赋，同意儿子学数学。老欧拉感到儿子神学的辉煌前程已成泡影，只好同意。

1720年，在约翰·伯努利教授的保举下，年仅13岁的欧拉踏进巴塞尔大学的校门，成为这所大学的学生。欧拉高兴万分，上课时不再像在神学校那样三心二意了，而是集中精力，勤奋学习，独立思考。

欧拉的确不负教授厚望，成绩突飞猛进，老师在课堂上讲授的内容已经不能满足他的需要了。约翰听说后非常满意，特地挤出宝贵的时间为他开小灶，单独辅导。

欧拉从约翰那里了解到当时欧洲最新的数学成果，知识和才智日益增长，并很快地进入数学的前沿领域，走上了数学研究的道路。

由于成绩特别优秀，15岁时他就在巴塞尔大学毕业了。18岁时，欧拉开始发表数学论文。第二年，也就是1726年，他发表了讨论船桅最佳位置的选择的论文，而荣获法国科学院的奖金。

1727年，在彼得堡任职的丹尼尔·伯努利的推荐下，欧拉受俄罗斯女皇叶卡特琳娜的聘请，来到彼得堡科学院任院士。开始，他任丹尼尔的助手，1733年丹尼尔回瑞士后，欧拉接任丹尼尔的数学教授席位，成为彼得堡科学院数学部的领导人，直到1741年。

彼得堡的天气非常寒冷，特别是冬季来临时，寒风阵阵，飞雪飘飘，就是在屋内也几多凉意，使欧拉很不适应。彼得堡的工作条件也相当艰苦，欧拉的房里只有一张宽大的写字桌和大量的书籍。

对科学执著追求的欧拉不计较这些，废寝忘食的进行研究。饿了，就啃几片面包；困了，就揉揉眼睛，经常在昏暗的灯光下工作到天亮，又继续第二天的工作。

长期的工作，过度的劳累，紧张的研究，使欧拉的视力急剧下降，1735年，年仅28岁的欧拉右眼失明。医生劝说要注意休息，减少用眼睛，不然连左眼也保不住。

要放弃自己热爱的事业是非常痛苦的，然而继续坚持研究又将双目失明，成为睁眼瞎，真是难以两全。欧拉在这种局面下，毅然地谢绝了医生的好心劝说，又投入到研究中。

辛勤的汗水换来了学术上丰硕的成果。欧拉还为俄国政府解决了很多科学难题。他承担了菲诺运河的改造方案，宫廷排水设施的设计审定。还为俄国政府编写教材，制定度量衡标准，绘制地图等等。

1741年，欧拉应普鲁士腓特烈大帝的邀请，1766年，受叶卡特琳娜女皇的邀请，重返彼得堡，直到临终。

欧拉的成果

欧拉的一生，获得的成果众多，涉猎的范围广泛，包括：几何、代数、数论、分析、微分方程、变分法、力学、声学、光学、热学、天文学、弹道学、航海学、建筑学等等。他是复变函数论的先驱者，变分法的奠基人，理论流体力学的创始人。

在微积分方面，继牛顿和莱布尼茨提出微积分后，出现了许多数学成果，但联系不紧，有待整理。欧拉通过《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等著作，把前人的成果加以总结定型，并注入自己的见解，构成了18世纪微积分的主要内容。

欧拉澄清了函数的概念，基于量的代数关系，给出了函数概念的新定义。

他提出一个表示三角函数与指数函数间关系的著名的欧拉公式。指出了如何利用点变函数去计算实积分值。他是复变函数论的先驱者，复变函数论在数学及流体力学中有广泛的应用。

他研究了二元函数的极值，给出了全微分的可积条件，引出了很多函数的无穷幂级数和无穷乘积的展式。

他首先把导数归作为微分学的基本概念，提出了二阶偏导数的演算，并给出了关于微分后的结果与微分次序无关的理论。他给出了用累计积分计算二重积分的方法，并讨论了二重积分的变量替换问题。

在微分方程上，欧拉深入考虑了一般常系数线性微分方程的求解方法，开创了这类方程的现代解法，极大地丰富了诞生不久的微分方程理论。他研究了微分方程的幂级数解法，解决了那些不能用通常积分求解的微分方程。

在变分法的研究中，他给出变分问题的一般解法，奠定了变分法的基础。

欧拉在微积分方面，用形式化的函数理论，把微积分从几何学的束缚中彻底解放出来，使其建立在算术和代数的基础上，从而为完整实数系统作为微积分学的基本论证打开了通道，把微积分“带大成人”。

在初等数学领域，欧拉的《无穷小分析引论》是数学史上第一本沟通微积分与初等代数的杰作；《对代数的完整介绍》系统总结了代数学理论，标志初等代数发展史的基本结束。

欧拉在1735年解决了“哥尼斯堡的七桥问题。”

波罗的海岸边的哥尼斯堡，是一座古老的城市，它风景秀丽，气候宜人，建筑优美，风俗淳朴。一条河流，穿过市区，形成两个小岛。哥尼斯堡人利用这个天赐的自然条件，把两个小岛打扮成美丽的花园，为城市又添一景。

为了方便人们游玩，他们造了7座桥，把小岛和河岸连接起来。

从此，一对对情侣手挽手、肩并肩去那美丽的小岛，促膝谈心，窃窃私语，柔情万千；一队队老者去那芳香的花园，欣赏风景，锻炼身体，延年益寿。

不知是谁提起，哪个人能一次走过7座桥，每座桥只走一次，还能回到出发点。可是没有人成功。

从此，哥尼斯堡七桥问题传开了，吸引了无数的游客。他们一方面来欣赏游玩，一方面想碰碰自己的运气，亲自走一走，希望找到答案。他们在7座桥上走过来，又走过去，日复一日，年复一年，都失望而归。

七桥问题成为欧洲闻名的难题。

当欧拉得知七桥问题时，也产生了极大的兴趣。他想，既然那么多人都走不通，是不是不可能存在那样的走法呢？于是他用“穷举法”检查所有的路线，说明他的设想是正确的。

欧拉又进一步地用“位置几何学”进行了证明。

这一天，哥尼斯堡花园依然游人如潮，他们欢声笑语，使小岛呈现勃勃生机。很多人还是在桥上走来走去，似乎非要找到正确的答案不可。桥上，有一位从彼得堡来的独眼青年，向热衷于七桥问题的人们郑重宣布：“一个人要一次过7座桥，而每座只走一次，这是不可能的。”

哥尼斯堡七桥难题，终于解决了。

在应用数学方面，欧拉以微积分为主要数学方法，对力学、光学、声学、热学以及多种工程技术进行广泛的研究，取得了重要的成就。

在力学中，他继承和发展了丹尼尔的流体力学成就，进一步奠定了流体力学的理论基础，并以流体力学和船舶力学相结合的论文《论船舶的左右及前后摇晃》于1759年获巴黎科学院奖金。

他还把数学应用于天文研究，创立了关于月球运动的第二种理论。

欧拉认为一个科学家“如果是做出了给科学宝库增加财富的发现，而不能坦率阐述那些引导他做出发现的思想，那么他就没有给科学做出足够的工作。”

欧拉是数学上最多产的科学家，他一生中共发表论著500多种，加上他生前没有发表和出版的手稿，多达800种以上。欧拉逝世后，数学史家把他的著作编成全集出版，竟达72卷。

欧拉的著作，包含了很多开创性的成果，并且在表述上思路清晰，条理性强，富有启发性。他的行文优美流畅，淋漓尽致地表露了自己的思想和发现。有人赞誉欧拉是“数学界的莎士比亚”。

坚强的意志

有人可能认为，欧拉成果卓越，著述如林，肯定是条件优越，并且牺牲了生活的所有其他乐趣而换来的。

其实不然。欧拉并没有像牛顿、莱布尼茨那样终身未婚，把所有的时间都用在科学研究上。相反，他结了婚，并且有13个孩子，尽量帮助妻子减轻负担，关心家庭，关心儿女，也和孩子们做游戏，也给孩子们讲故事，他的许多不朽著作都是在膝上坐着孩子、身上背着孩子的情况下写出来的。

欧拉的研究条件并不优越，反而在生活在道路上连遭不幸。

欧拉非常不适应彼得堡寒冷的天气，但他具有坚韧的毅力。室外的雪花飘飘扬扬地飞着，室内的欧拉通宵达旦地工作着。过度的劳累，使欧拉染上眼疾，1735年，28岁的欧拉右眼失明。

面对如此可怕的打击，欧拉没有被打倒，而是不顾眼疾，继续用一只眼睛进行研究，使得左眼视力很快衰退。但欧拉没有消沉，他深知自己的左眼将会完全失明，便抓紧最后的时光，加速研究和著书进程。

1766年，厄运终于又向他袭来，左眼也完全丧失了视力。

人们可能认为，雪上加霜的欧拉这下该要停止工作了。古希腊数学家埃拉多色尼就是由于害眼病失明，无法忍受不能读书不能研究的痛苦，绝食而死。

欧拉呢？

欧拉是坚强的，他认为残疾只能给庸人提供懒惰的借口，不会成为坚强者不可逾越的障碍。欧拉活了下来，用最大的毅力战胜黑暗，用口授和请助手笔录的方法，坚持研究。

不幸的事接踵而来，1771年彼得堡的大火殃及欧拉的住宅，虽然欧拉被人救出，幸免一死，但是他的书籍和手稿全部化为灰烬。

双目失明的老人还能经得住这样沉重的打击吗？别人不能，但欧拉能！双目失明的痛苦已经经过了，既然看不见东西，书籍也就无所谓了，但手稿是科学的财富，一定要把它整理出来。

1776年，爱妻柯黛琳娜病故，欧拉伤心地流下了痛苦的热泪。

在这些不幸面前，欧拉擦干眼泪，顽强拼搏。在双目失明的17年中，他凭借惊人的记忆力和罕见的心算能力，竟然口述了400篇左右的论文和10余部著作。其中艰辛，谁人知晓？所付心血，如何计量？

1956年，美国数学家冯·诺伊曼称欧拉为“数学家之英雄”。

作为一个数学家，欧拉的贡献是卓著的，美国数学史家克来因说：“没有一个人像他那样多产，像他那样巧妙地把握数学；也没有一个人能收集和利用代数、几何、分析的手段去产生那么多令人钦佩的成果。他是顶呱呱的方法发明家，又是一个熟练的巨匠”。

作为一个普通的人，欧拉的形象更高大。欧拉的品德是高尚的，他在和欧洲众多学者的通信中，经常毫无保留地把自己的发现告诉别人，为他人的成功创造条件。

欧拉曾考虑过“等周问题”的解法，在即将发表的时候，收到了年仅19岁的法国青年拉格朗日的来信，信中对“等周问题”提出了比较新颖的解法，但没有达到欧拉的深度。

欧拉把自己的文稿压下，使拉格朗日的这篇文章得以发表，并在数学界崭露头角。后来欧拉又向腓特烈大帝推荐30岁的拉格朗日接替他在柏林科学院物理数学所所长的职务，使拉格朗日才华大展。

欧拉，这位杰出科学家的精神、性格和进取心，赢得了成千上万的历代数学工作者的敬仰。

法国数学家拉普拉斯说过：“读读欧拉，他是我们大家的老师。”

1783年9月18日，欧拉“停止了生命，也停止了计算。”

哥德巴赫猜想

欧拉是在伯努利家族的直接影响下出现的一位著名的数学家。

哥德巴赫是在伯努利家族直接影响下出现的另一位数学家，他因提出“哥德巴赫猜想”而著名。

哥德巴赫于1690年在德国出生，他并不是从小就对数学感兴趣而走上数学研究之路的，曾在英国牛津大学法学系留学。在欧洲各国的旅行过程中，他结识了伯努利家族，被这个家族的辉煌业绩所吸引，开始对数学产生兴趣，才走上业余研究数学的道路。

1725年，哥德巴赫作为普鲁士的驻外使节出使俄国。欧拉来到俄国彼得堡科学院后，哥德巴赫即前往拜访，双方共同探讨一些数学问题。

1741年，欧拉离开彼得堡，前往柏林科学院，哥德巴赫留居在莫斯科。

两人为了探讨问题，始终保持书信联系。

欧拉曾与300多名欧洲学者通信，用自己闪光的思想，照耀他人深入探索的道路。哥德巴赫每次来信，欧拉都在百忙中抽出宝贵的时间，对这位俄罗斯的朋友予以回复、商讨。哥德巴赫的不少数学成果，都是在与欧拉通信的商讨过程中取得的。

1742年6月7日，哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中，提出这样一个猜想：每一个偶数都是两个素数的和，简记为：（1＋1）；每一个奇数或者是一个素数，或者是三个素数之和。

素数是自然数中除了1和它本身外，并无其他因子的数。这个命题的叙述虽然简单，举例也易验证，例如，4＝2＋2；6＝3＋3；12＝7＋5；100＝97＋3等等，但给出一般的证明却十分困难。

同年6月30日，欧拉就这一问题给哥德巴赫的回信指出，解决这个问题的关键在于，充分证明每一个偶数都是两个素数之和，其他问题可以从这一问题中推导出来。

由于这个问题是哥德巴赫最先以猜想的形式提出来的，后来的数学家把它称为“哥德巴赫猜想”，或者称为哥德巴赫——欧拉问题。

哥德巴赫猜想提出后，许多数学家对它进行求解，并创立了一些新的数学方法，取得了一系列新成就，促进了数学的发展。

然而，素数的个数是无限的，对于任何给定的自然数，断定它是否为素数，至今还没有有限的方法。

值得称道的是，在1973年，我国数学家陈景润证明了，每个充分大的偶数都可表示为一个素数及一个不超过两个素数乘积之和，简记为（1＋2）。

例如62＝7＋5×11等。从而走到了解决这个问题的世界前列。

1764年，哥德巴赫逝世。

哥德巴赫猜想的彻底解决，有待数学家的努力。

拉格朗日

前面说到，在1766年，担任柏林科学院物理数学所所长的欧拉要重返彼得堡。临行前，普鲁士国王腓特烈大帝请尊贵的欧拉推荐一位继任者。

欧拉毫不犹豫地说：“继任者非拉格朗日莫属！”

拉格朗日是法国数学家、力学家和天文学家。1736年1月25日，他出生于意大利西北部的都灵，祖父是法国驻守都灵的骑兵上校，祖母是都灵人。

他的父亲是陆军的会计头目，后又经商，希望儿子学法律，成为商业上的接班人。但拉格朗日对法律并不感兴趣，只是喜欢文学，经常阅读文学方面的书籍，偶尔也看一些科技方面的著作。

在17岁那年，有一次，他读到了天文学家哈雷写的一篇文章，文中介绍了大科学家牛顿在微积分方面的成就。拉格朗日深受启发，对其中的观点和有关科学知识产生了兴趣，从此迷上了数学和天文学。不久，拉格朗日进入都灵皇家炮兵学院学习。由于他意志坚强，刻苦努力，数学成绩突飞猛进，进步之快，使人震惊，并成为了数学通，还没有毕业就担任了该院的部分数学教学工作。

1754年，年仅18岁的拉格朗日撰写出第一篇论文，内容是用牛顿的二项式定理处理两函数乘积的高阶微商。

1755年8月12日，拉格朗日就等周问题写信给柏林科学院数学部主任欧拉，给出了用纯分析方法求变分极值的提要。

欧拉也研究了这个问题，不过用的是几何方法。拉格朗日的新方法，引起了欧拉的极大兴趣。为了鼓励年轻人奋发进取，9月6日，欧拉回了一封热情的信，肯定了他的工作价值，祝贺他取得的巨大成就，对变分法的创立做出了贡献。

拉格朗日也认为这是一篇有意义的论文。这篇论文使他在都灵出了名。

9月28日，拉格朗日被任命为都灵皇家炮兵学院的数学教授。这时他仅19岁，居然跃到了数学家的行列中。

拉格朗日是一个进取心非常强的人，他不满足教授的职务，而是广泛地阅读数学名著，不断地探索。他的研究范围广泛，涉及的数学分支非常多，如数论、代数方程论、微积分、微分方程、变分学、制图学、力学、天体运行等。

1756年，拉格朗日在给欧拉的信中，开始把变分法用于力学，还把欧拉关于有心力的一个定理推广到一般动力学问题。由于欧拉的推荐，拉格朗日被任命为柏林科学院的通讯院士，接着又被选为该院的外国院士。

1757年，拉格朗日和其他年轻科学家创立都灵科学协会，即都灵皇家科学院的前身，并创办学术杂志《都灵文集》。他为刊物写了大量高质量的论文，使这家刊物在学术界享有很高的声誉。

他本人也于1764年和1766年因为在天文学研究中取得的成果，而两次获得巴黎科学院奖。拉格朗日的名字传遍欧洲，引起世人瞩目。

1766年5月，欧拉离开柏林前往彼得堡。由于欧拉和法国数学家达兰贝尔的推荐，于是腓特烈大帝亲自写信给拉格朗日说：“欧洲最伟大的君王希望欧洲最伟大的数学家到他的宫廷里来。”

拉格朗日于8月离开都灵，前往柏林，就任柏林科学院物理数学所所长，时年30岁。

1767年9月，拉格朗日和他的表妹结婚，终生没有孩子。

拉格朗日在柏林科学院工作了21年，他把全部精力都倾注在科学研究上，完成了大量重大研究成果，为一生研究中的鼎盛时期。他的研究方法及其成果，受到同时代科学家的高度赞扬。

拉普拉斯写信给他说：“你的分析漂亮且普遍适用。你对坐标的幸运的选择，你处理微分方程的方法，特别是那些关于二分点的运动和月球赤道倾角的论述，所有这一切以及你那卓越的成果使我极为羡慕钦佩。”

1783年，拉格朗日任都灵科学院名誉院长。1786年8月，腓特烈大帝去世，德国对科学家的重视不像以前了。于是，拉格朗日接受法王路易十六的邀请，1787年7月到巴黎科学院工作。

在巴黎，他先担任公制委员会委员，接着担任度量衡委员会主席。晚年致力于数学教育，担任巴黎高等师范学校以及理工科大学的教授，不断有新的成果问世。他还编写数学教材，培养了一大批优秀人才。

拿破仑在雾月政变后，任命拉格朗日为元老院议员，封他为伯爵，1813年4月3日，授予他帝国大十字勋章。

拉格朗日的一生，在数学、力学和天文学方面做出了重大的历史性贡献。

拉格朗日奠定了变分法的基础。变分法问题是确定一个未知函数，使未知函数的定积分达到极大或极小。如“周长一定的平面图形中，以圆的面积最大”就是变分法中的一个古老的问题。

拉格朗日用纯分析的方法研究了变分法中范围很广的一类问题。1760年，他发表的“关于确定不定积分式的极大极小的一种新方法”，是用分析方法建立变分法的代表作。

在这篇论文发表前，他写信给欧拉，称此文中的方法为“变分方法”。

欧拉肯定了，并在自己的论文中正式将这种方法命名为“变分法”。从此开始，变分法这个分支才真正建立起来。

拉格朗日发展了微积分理论。他对常微分方程的奇解和特解做出了历史性贡献，是一阶偏微分方程理论的建立者。晚年完成了两大巨著《解析函数论》和《函数计算讲义》。打算用纯粹的代数方法为微积分学奠定理论基础，为后来微积分学的严密论证树立了榜样。

拉格朗日研究了代数方程的解法。他的数学思想非常活跃，在研究高次方程的代数解法时，特别注意方法和思考。

他分析解三次方程和四次方程的各种方法，看看为什么这些方法能把方程解出来，看看这些方法对于解更高次的方程能提供什么线索。由于拉格朗日研究问题的深刻性，他的方法对求解一般的二次、三次、四次方程都卓有成效。他试图解五次方程，但没有成功。

从这里，拉格朗日首先引出了群的思想，可以说，他是群论的先驱。后来，年轻数学家伽罗华的研究成果和拉格朗日的思想方法有密切的联系。说明拉格朗日有丰富的想象力和非凡的洞察力。

拉格朗日是分析力学的创立者。他在1788年出版的《分析力学》一书，就是分析力学这门学科建立的代表作。这部著作倾注了他大量的智慧和经历，历时37个春秋。

牛顿的力学理论仍用几何方法讨论，18世纪中期，欧拉和达兰贝尔开始用分析方法，拉格朗日在力学分析方面最出色。他把一生的全部力学论文以及同时代人的力学贡献，都归纳到这部著作里。

拉格朗日在这方面的最大贡献是把变分原理和最小作用原理具体化，而且用纯分析方法进行推理，成为拉格朗日方法。他首先引用广义坐标概念，一个力学系统可用有限个坐标表示，故广义坐标又称为拉格朗日坐标。

拉格朗日在这部著作里，利用变分原理，建立了优美和谐的力学体系，把宇宙描绘成为一个由数字和方程组成的有节奏的旋律，把动力学发展到登峰造极的地步，并把固体力学和流体力学这两个分支统一了起来，奠定了现代力学的基础。

英国物理学家和数学家哈密顿，把这部著作誉为“科学诗篇”。

《分析力学》是牛顿以后最伟大的经典著作。

拉格朗日是天体力学的奠基者。他建立起各类天体的运动方程，其中特别是根据他在微分方程解法的任意常数变异并与斯科特的队伍暗中较上了劲。

阿蒙森一行一个个身强力壮，对极地的风雪和严寒气候适应能力很强，他们曾经三次到北极地区去探险。

他们向南极极点进发的时候，正遇上了南极地区难得的好天气，52条爱斯基摩狗拉着四架雪橇，一路小跑，只用了57天的时间，于1911年12月14日率先到达南极极点，成为世界上最早征服南极极点的人。

面对这种情况，斯科特一行就像泄了气的皮球似的，怎么也提不起精神来，他们不愿相信自己所有的努力和心血，只使得他们得了个亚军。

他们无力从失败的心态中自拔出来，一个个斗志松懈，无精打采，有气无力地开始返回基地。他们的心情实在是坏透了。

这时，南极的天气也变得更加肆无忌惮，连日的暴风雪使他们不得不躲进帐篷里，食物也快没有了，另外四个伙伴已因疾病和严寒而倒下了。

忽然，又一阵狂风吹过来，把他们居住的帐篷连根拔了起来。斯科特赶紧用自己早已冻得僵硬的手，歪歪扭扭地写完最后一篇探险日记，然后就再也站不起来了。

斯科特和他的战友们紧紧地拥抱在一起，倒在了南极这块圣洁的冰雪世界，然后又迅速地和南极冻结在一起。

斯科特和他的伙伴们，不愧为人类征服南极的第一批拓荒者，他们的大无畏的献身精神，充分显示了人类征服自然的伟大力量。

1957年，美国在南极极点建立了科学考察站，这个考察站被命名为“阿蒙森——斯科特站”，目的就是为了永远纪念人驱逐出境并没收其全部财产，但尊贵的拉格朗日先生除外。”

1813年4月10日，拉格朗日病逝于巴黎。

由于他一生的科学研究分为三个时期：都灵时期、柏林时期、巴黎时期，所以拉格朗日逝世以后，意大利百科全书说他是意大利数学家，法国百科全书说他是法国数学家，德国的数学史说他一生的主要科学成果是在柏林完成的。

无论三国怎样争论，在科学史上，拉格朗日是“总结了18世纪的科学成果，开辟了19世纪数学研究道路”的科学天才。

拿破仑赞美“拉格朗日是一座高耸在数学世界的金字塔”。