缘督先生赵友钦

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刘钝

一说赵敬，字子恭(或子公)，一说字敬夫，自号缘督。鄱阳(今江西波阳)人。南宋末年生;元初卒。在天文学、数学、物理学方面有所成就。

赵友钦为宋室汉王之后，宋亡后隐遁自晦，“习天官遁甲钤式诸书，欲以事功自奋。”他曾在江西德兴居留，后移往浙江龙游(今衢县、金华)，在龙游东之鸡鸣山麓定居并从事天文学研究。后来他在龙游的芝山遇见抉风道士石得之，“自是视世事若漠然”。又曾“往东海上独居十年。注《周易》数万言”。他常骑一青骡，携一书童来往于衢婺山水之间。时人很少了解他的思想和行为，惟有一个叫付立的学者对他敬服万分。他的弟子朱晖是龙游人。他的赘婿范氏是北宋名臣范仲淹之后。赵友钦死后，葬于龙游鸡鸣山。

赵友钦的传世著作是《革象新书》，原书共5卷，主要讨论天文学问题，也涉及数学和光学。书中称“岁策加减法自至元辛已行之至今”，可知其写成于1281年之后。赵氏生前曾将此书授予弟子朱晖，后者又续传给同里门人章氏。章氏恐此书年久泯灭，遂请金华学者宋濂作序并自加整理刊行。明代王氏对原书作了删润，将其编为2卷，自后元刊本反鲜为人知。清代乾隆年间四库馆臣从《永乐大典》中录出原本《革象新书》，连同王氏删本一道收入《四库全书》。除此之外，赵友钦尚有兵家、神仙、释老、天文方面的著作多部，其有名目可考的有《金丹正理》、《金丹问难》、《盟天录》、《仙佛同源》、《三教一源》、《推步立成》等。

《革象新书》目次为:“天道左旋”、“日至之景”、“岁序终始”、“闰定四时”、“天周岁终”、“历法改革”、“星分棋布”、“日道岁差”、“黄道损益”(以上为卷一)、“积年日法”、“元会运世”、“气朔没灭”、“日月盈缩”、“月有九行”、“时分百刻”、“昼夜短长”、“气积寒暑”、“天地正中”、“地域远近”(以上为卷二)、“月体半明”、“日月薄食”、“目轮分视”、“五纬距合”(以上为卷三)、“盖天舛理”、“浑仪制度”、“经星定躔”、“横度去极”、“占景知交”、“偏远准则”(以上为卷四)、“小罅光景”、“勾股测天”、“乾象周髀”(以上为卷五)。王氏删定本的卷末还提到“天文图”，但图、文今已不存。清初梅文鼎曾目睹赵氏石刻星图，并将此事记入他为胞弟梅文鼏所撰的《中西经星同异考》之序文中。由上述目录可知，赵友钦的意图在于对中国古代天文学的理论及方法给出一个较系统的介绍。

在“经星定躔”一节，赵友钦提出了一种新的测量两颗恒星赤经之差的方法。他使用一套特制的漏壶，控制水的流量，使浮箭在一定的时间内移动一定的格数。另在一木架上依南北方向放置两条平行的木条，其间留有一道窄缝，此缝隙正中恰好对准当地的子午线。观测者候于架下，当某星出现于缝隙中央时即发呼声，另一人即记下漏壶中浮箭的指数;由两星过隙浮箭刻数之差就可算出它们的赤经差来。这种利用两颗恒星上中天的时刻差来求其赤经差的方法，与近代子午线观测的原理是完全一致的。“横度去极”一节则介绍了一种测量去极度或赤纬的方法，其设计比较复杂，却仅适于在地球赤道上使用。这一方法的主导思想是力图把人在天中下的观测转化成人在天中的观测:即先在东西方向上观测赤道恒星在不同视天顶距时到中天所需的恒星时刻，从而算出真天顶距，再将此读数刻在原来标识天顶距读数的位置上，这样在子午方向上观测时就可以直接读出真天顶距的读数。这也是一种子午观测法。

“乾象周髀”中讨论了圆周率问题。赵友钦首先历数了古代各家所取π值，认为355/113最为精密。接着他由直径为千寸的圆内接正方形算起，利用勾股定理，依次算出圆内接正8、16、32……16384边形的边长，而圆内接正16384边形的周长“三千一百四十一寸五分九厘二毫有奇，即是千寸之围也”。“以一百一十三乘之，果得三百五十五尺”，从而验证了π= 355/ 113的精确性。关于这一算法的原理，赵友钦说:“围自四角之方增为八角曲圆为第一次，若第二次则求为曲十六，若第三次则求为曲三十二，若第四次则求为曲六十四。加一次，则曲必倍。至十二次则为曲一万六千三百八十四。其初之小方，渐加渐展，渐满渐实。角数愈多而其为方者不复为方而为圆矣。故自一、二次求之以至一十二次，可谓极其精密，若节节求之，虽至千万次，其数终不穷。”这是刘徽之后中国数学家关于极限思想的又一个较完整的文字表述。

《革象新书》中最为精彩的一节是关于光学实验的“小罅光景”。赵友钦首先通过观察日光通过壁间小孔所成的像，指出其大小及形状并不依小孔的大小(在一定程度内)及形状而变，只是其浓淡程度(即照度)不同而已;他也指出随着象屏的移近(远)，象逐渐变小(大)变浓(淡);同时他还观察到日食时通过壁间小孔而成的像与食分保持一致。然后，他提出了一个利用楼房和人工光源来模拟自然景观的大型实验，对光的直线传播、小孔成像、照度与光强及距离的关系等问题进行了周密而系统的研究。他的实验步骤如下:在一所空楼内的地面上挖两个直径为4尺多的圆井，左边的井深8尺，右边的并深4尺，另外备一4尺高的桌子置于左边井中。再取两块直径4尺的圆板，其上各自密布蜡烛千余支，点燃后作为光源置于右井井底和左井桌面上。又在井口各置一圆盖，左盖中心开一一寸见方的小孔，右盖中心开一半寸见方的小孔。“于是观其楼板之下有二圆景，周径所较甚不多，却有一浓一淡之殊”，即说明光源、小孔及像屏距离固定时，照度与孔径有关;至于像的形状，赵友钦解释道:“烛在阱心者，方景直射在楼板之中。烛在南边者，方景斜射在楼板之北。烛在北边者，方景斜射在楼板之南。至若东西亦然。其四旁之景斜射而不直者，缘四旁直上之光障碍而不得出，从旁达中之光，惟有斜穿出窍而已。阱内既已斜穿，窍外止得偏射，偏中之景干数交错。周遍叠砌，则总成一景而圆。”这里明确地表达了光线直线传播及小孔成像的见解。

随后他熄灭右井中东半面的蜡烛，此时在右边的楼板上看到一个缺少西半部的半圆形状的影像。他又灭去左井中靠外布列的大部分蜡烛，只留下中心部分稀疏布列的二三十支烛光，此时在左边的楼板上可看到一个非常淡的圆像，但细看则“各自点点不相粘附”。然后他仅留下一支点燃的蜡烛，楼板上则“只有一景而方”。这一组实验模拟了“小景随日月亏食”和“大景随空罅之象”的现象，也隐含着照度与光源强度的关系。

赵友钦又将两片大板悬挂在楼板之下作为象屏，也就是通过改变象距来研究象的变化。他发现，随着象距的减小，象变小而加浓。对此他的解释是:“烛光斜射愈远，则所至愈偏，则距中之数愈多。围旁皆斜射，所以愈偏则周径愈广”;“景之周径虽广，烛之光焰不增，如是则千景展开而重叠者薄，所以愈广则愈淡，亦如水多则味减也”。前一句仍然基于光的直线传播这一事实，后一句则隐含着照度与象距之间的关系。

接着他又撤掉两片悬板并取出左井中的桌子，将点燃的蜡烛置于8尺深的井底，同时也点燃右井4尺深底部的蜡烛。这时候楼板上左边的象较右边的象为小，至于浓淡程度则无明显差异。对此他解释道:“窍与烛相远，则斜射之光敛而稍直。光皆敛直，则景不得不狭;景狭则色当浓，烛远则光必薄，是以难于加浓也。”也就是说随着物距变大(小)，象变小(大)，照度则不好判定。综合以上几个步骤，赵友钦总结道:“景之远近在窍外，烛之远近在窍内。凡景近窍者狭，景远窍者广。烛远窍者景亦狭，烛近窍者景亦广。景广则淡，景狭则浓。烛虽近而光衰者，景亦淡;烛虽远而光盛者，景亦浓。由是察之，烛也、光也、窍也、景也，四者消长胜负皆所当论者也。”这就是他所得到的物距、象距、光源强度和孔径与象的大小浓淡的制约关系。通过实验，赵友钦也对大孔成象作了观察和研究，提出了“大景随空之象”的正确结论。

赵友钦是中国古代一位颇有特色的科学家，他既重视理论研究，又重视实验方法。他“著《革象新书》发明授时历之蕴”，书中既有严格的数学论证，又有生动形象的类比说明。例如他用一个黑漆球悬于檐下，从不同的角度去看它得到不同的视象，以此来说明“月体半明”即月相的成因，其方法简单易行，其文字通俗易懂。他的光学实验构思缜密，设计精巧，在整个中世纪科学史上亦属罕见，其方法论上的意义更应引起研究者的充分重视。