1.涡线和涡管
有旋运动也称为旋涡运动。在研究旋涡运动时常引入涡线和涡管的概念。
处处与涡矢量Ω相切的空间曲线称为涡线。由于涡矢量与流体质点的旋转角速度矢量之间具有关系Ω= 2ω，所以涡线也可以看成是流体质点的瞬时转动轴。类似于流线方程（3.9）的推导，不难导出涡线微分方程
在非定常流动中，涡线具有瞬时性，其形状可能随时间而改变。除了在涡量为零或者为无穷大的空间点，涡线不能相交。
由涡线构成的管状曲面称为涡管。空气中龙卷风及水中旋涡的外边界面都可以近似地当做涡管。流管的“管壁”由流线构成，而涡管的“管壁”则是由涡线构成。如果流线与涡线不重合，流体会穿过涡管流进或者流出。
涡管横截面积上的旋涡强度也称为涡管强度。例7-5中龙卷风涡核横截面的旋涡强度就是涡管强度，它直接反映了龙卷风旋转运动的强弱程度。
在任意瞬间，同一涡管上各截面的旋涡强度相等。这称为涡管强度守恒定理，也称为海姆霍茨（Helmholtz）定理。下面对定理给出简单的证明。
由涡管强度守恒定理可看出，在同一涡管上，截面积越小，流体微团的旋转角速度就越大，因此，涡管的截面积不能收缩到零，否则旋转角速度就会达到无穷大。速度达到无穷大在物理上是不合理的。这说明，涡管不能终止于流场中，只能形成环形管，或始于、终于边界。在自然界中可以看到的这类例子有：抽烟者吐出的烟圈是封闭的涡环；龙卷风一端始于水面，另一端升入云层；河水中的旋涡一端始于水底河床，另一端终于水面。
2.开尔文（Kelvin）定理
为了讨论旋涡运动生成的原因，首先介绍正压流体的概念。
如果流体密度只是当地压强的单值函数，则该流体称为正压流体。此时，流体密度可以表示为该式也称为正压条件。
对于均质不可压缩流体，ρ=C，它显然满足正压条件。密度是常数的均质不可压缩流体是最常见的正压流体。均质气体做等熵流动时压强与密度之间的关系是p/ργ=C，它也满足正压条件。等熵流动的均质气体也是正压流体。
大气层中的空气不是正压流体，因为在大气层中空气的密度不仅随压强变化，还与温度、湿度有关。海水中温度和盐分的分布是不均匀的，如果考虑到温度和盐含量对海水密度的影响，海水也不是正压流体。
当流体密度ρ是压强P的单值函数时，可以定义一空间函数
其中，PF称为压强函数。由于
因此，正压条件式（7.14）还可以表示为等价的形式
或者写成矢量形式
根据斯托克斯定理，任意流体面积上的旋涡强度与围绕该面积的封闭曲线的速度环量具有等量关系，因此，可以通过研究速度环量来了解旋涡强度的变化规律。如果沿封闭流体线的速度环量对时间的变化率不为零，则在它所围的面积上，旋涡强度随时间变化。
考察一条封闭的流体线L，其速度环量
流体线是流体质点组成的线，当流体质点发生运动，流体线L的位置、形状和长度都会产生变化。速度环量Γ对时间的变化率式（7.16）指出，当理想、正压流体在有势质量力的作用下发生运动时，沿任意封闭流体线的速度环量在运动过程中不随时间变化。这个结论称为开尔文定理。
由斯托克斯定理知道，沿任意封闭流体线的速度环量等于流体线所围面积上的旋涡强度。既然速度环量不随时间变化，所围面积上的旋涡强度也不随时间变化。由开尔文定理和斯托克斯定理可以做出推论：
当理想、正压流体在有势质量力的作用下发生运动时，如果在某一时刻流体的运动无旋，则在此前和此后的所有时刻流体的运动也必定无旋。
如果在某一时刻流动无旋，则此时任意流体面上的旋涡强度都等于零。在推论条件下，旋涡强度不随时间变化，因此在此前和此后的所有时刻任意流体面上的旋涡强度必定都等于零，所以流体的运动是无旋的。由推论还进一步知道，如果流动是由静止状态启动的，在推论条件下它将始终无旋。
3.旋涡运动的生成
由开尔文定理和斯托克斯定理还可以得出另一推论：流体具有粘性，流体是非正压的以及非有势质量力的作用是生成旋涡运动的原因。
流体的粘性作用会产生旋涡。当流体沿物体壁面流过时，如果流体没有粘性，它与物面之间存在着相对滑移，没有摩擦切应力，也不会产生旋涡运动。实际流体具有粘性，流体与物面之间存在摩擦切应力，切应力使紧靠物面的一层流体不能运动，从而满足流体与物体壁面之间的无滑移条件。在壁面附近流体速度平行于壁面，其值由近到远逐渐增加。这种流动称为剪切流，它是有旋流动。例7-1中给出的流动就是一种剪切流。剪切流中的旋涡运动是由粘性切应力所产生的。粘性切应力的作用就是通常所说的“搓”。有人非常形象地说，涡是“搓”出来的。
图7-11 建筑物背后的旋涡
当流体流过尖缘物体时通常会在尖缘的后面形成速度间断面。粘性流体中的速度间断面也可以生成旋涡，因为间断面两边的流体相互摩擦，也可以“搓”出旋涡来。例如，风吹过建筑物时，会在建筑物的背面形成旋涡，如图7-11所示，这种旋涡就是在速度间断面上产生的。
流体的非正压性会产生旋涡。夏季陆地地表面温度比海面的海水温度高，冬季地表面温度比海水温度低，这样的温差会改变大气的密度分布，使大气成为非正压流体。由于大气的非正压性，在陆地和海洋的上空生成环流。这就是气象学中所说的季风。夏季的季风在低空由海洋吹向陆地，与高空的反方向气流一起形成环流；冬季季风的环流方向正好相反。类似的例子还有：赤道上空的温度比极地上空的温度高，这使北半球的高空气流由南向北运动，在极地下降，然后又在低空由北向南运动，并且在赤道附近上升，从而形成大尺度的环流，也就是气象学中所说的信风；白天陆地温度高，夜间海水温度高，其温差会在沿海地区形成昼、夜方向不同的海陆风；等等。季风、信风、海陆风等都是流体非正压所产生的旋涡运动。
海水中盐含量不均匀使海水密度变化，由此也会产生海洋环流。例如，地中海海水的盐分比黑海海水的盐分大，由此会使地中海下层的海水流经达达尼尔海峡和波斯普鲁斯海峡进入黑海，而黑海上层的海水则经由同样的路线流入地中海。这是海水非正压所产生的大尺度旋涡运动。
与地球自转有关的科里奥利（Coriolis）力是非有势质量力。打开澡盆的塞子，水在下漏的同时会发生旋转；大气中热气流上升会形成台风、龙卷风。这些都是非有势质量力产生旋涡运动的例子。
在大量的实际工程问题中，流体可以当成是不可压缩的，或者流动过程可以当成是等熵的，因此满足流体正压的条件；除了大气层和海洋中的大尺度流动外，在大多数工程实际问题中也只需要考虑重力而不必考虑科里奥利力，因此质量力又是有势的；再如果流体的粘性影响又能够被忽略，那么开尔文定理成立的三个条件就都得到了满足。绝大多数流动都可以认为是由静止状态启动的，即初始是无旋的，如果上述的三个条件又都能够得到满足，流动将始终无旋。无旋流动理论是经典流体力学中发展最充分、内容最丰富的部分之一，开尔文定理为无旋流动理论的应用提供了依据。
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