扩散方程及传输方程

1.菲克第一扩散定律

单位体积流体所含扩散质的质量称为扩散质的浓度。用C表示浓度其中，D是分子扩散系数，在国际单位制中，它的单位是m2/s。式中负号表明扩散质的扩散方向与浓度梯度的方向相反，即物质总是从浓度高的地方向浓度低的地方传输。式（10.2）也称为菲克第一扩散定律。扩散系数D不仅与扩散质和流体有关，还与流场中的压强和温度有关。一般来说，气体中的扩散系数要比液体中的扩散系数大几个数量级。表10-1中列出了常温下几种物质在空气和水中的扩散系数。

表10-1 常温下几种物质在空气和水中的扩散系数

图10-1 微小平行六面体控制体

这就是分子扩散方程，它描述了分子扩散的基本规律。分子扩散方程又称为菲克第二扩散定律。

3.随流传输方程

由于分子运动的平均自由程很小，分子扩散只能产生短距离的质量传输，因此，分子扩散非常缓慢，要产生长距离的质量传输一般需要相当长的时间。例如，在20 ℃的温度下氧气通过分子扩散从湖面传输到100 cm的水深处大约需要9年的时间。如果分子扩散是氧气在水中的惟一传输过程，那么水中生物就可能由于缺氧而无法生存。实际上，流体自身运动支配着一个更为快速的质量传输过程，这就是随流传输。

在运动的流体中，流动和分子运动都会引起扩散质的质量传输。假设流体的流动速度分量为u、v、w，由流动和分子运动共同产生的质量传输通量

把式（10.6）代入式（10.3），得

整理后成为

这就是随流传输方程，其中也包含了等号右边的分子扩散项。式中等号左边第2～4项称为随流项。如果流体没有运动，随流项中各速度分量都等于零，式（10.7）就退化为分子扩散方程（10.4）。

设流体运动的速度矢量为v= （u ，v，w），运用算子还可以把式（10.7）表示为

4.湍流扩散方程

随流传输方程（10.7）既适用于层流流动也适用于湍流流动，在用于湍流时，式中的各参数都是湍流的瞬时参数。由于湍流运动的复杂性，要求出其瞬时的速度和浓度分布是非常困难的，因此一般采用时均参数求解。采用时均参数求解湍流运动的方法已在第4章中有所叙述。

把湍流的瞬时速度矢量v和瞬时浓度C分别表示成时均值和与涨落值v′和C′之和，即

表10-2 不同水深处的示踪浓度分布的检测表

解 分别考虑由分子扩散和湍流扩散所引起的质量传输通量。根据菲克第一定律式（10.2），在5m水深处沿竖直方向的分子扩散质量通量

坐标系z轴正方向竖直指向水底。可以由测量数据近似计算浓度梯度，5m水深处分子扩散通量

通量为正，这表明示踪剂向湖底方向传输。

由式（10.11c）计算湍流扩散通量，在5m水深处沿竖直方向的湍流扩散通量

湍流扩散同样也使示踪剂向湖底方向扩散，这是因为无论分子扩散还是湍流扩散都受同样的浓度梯度影响。在此例中，湍流扩散通量大约是分子扩散通量的2×104倍，显然分子扩散可以忽略不计。