日行千里靴

通过一种独特的方式，这种童话中的靴子成为了现实，将一个气球式气囊和一个氢气供给装置放在一个适中的旅行箱内，运动员能够随时从箱内拿出气囊，用氢气灌满后，它就变成一个直径为5米的气球，运动员把自己悬挂在气球上，就能够跳得又高又远。但他无须担心气球会飞上高空，原因在于，气球上升力稍微小于人体的重量。

这样的气球能为运动团队带来巨大好处。

运动员借助于这种气球能够跳多高，是个有趣的话题，我们现在来计算一下。

我们假设，运动员的体重大于气球升力1千克。也就是说，悬在气球下的运动员的体重仅为1千克，是正常人体重的1/60。请问，他跳出的高度能否达到正常跳跃高度的60倍呢？

我们可以来算一下。

悬在气球上的人会受到1千克的地球引力，即大约10牛顿的力。气球本身重约20千克，相当于有10牛顿的力作用于20+60=80千克的物体之上，在10牛顿力的作用下80千克的物体的加速度a为：

a=f/m=10/80米/秒²≈0.12米/秒²

通常情况下，人在原地跳高，不会高于1米，根据公式v²=2gh可以求出其跳起瞬间的初始速度v：

v²=2×9.8

由此得出：v≈4.4米/秒

起跳时的速度，人悬在气球上时会比不系气球时要小，人体质量比人和气球质量总和就等于两种情况下速度的比值（比值由公式ft=mv可以推出。两种情况下，力f与力作用的时间周期t相等，所以mv这个动量也相等。所以，速度与质量成反比）。这样，悬在气球上跳高的初始速度为：

4.4×60/80=3.3米/秒。

现在，很容易计算出跳起的高度，参考公式：

3.3²=2×0.12h，

得出h≈45米。

因此，运动员如果在通常情况下最多能跳1米高，悬在气球上跳就能够达到45米。

同时，运动员身系气球跳起一定高度需要多少时间，也是很有趣的话题。我们来计算一下，跳起45米，加速度为0.12米/秒2，需要多少时间。（借助公式h=at²/2）：

因此，跳上去、落下来共需要54秒的时间，不到一分钟。

产生如此神奇的效果，当然是加速度小的原因。假设没有气球，我们只能在比地球重力加速度小很多（相当于地球重力加速度1/60）的其他星球上跳起到如此的高度，并保持同样的平稳感。

在前后所有的计算过程中，我们将空气阻力完全忽略不计，但在理论力学中，计算在空气阻力作用下起跳最大高度与所需时间的公式有很多，当然，在空气中跳起来的高度极限与所需时间都要小于真空状态。

图29　人体向远处跳出时，身体与水平线成一定的角度

我们还可以计算一下跳远能跳的最远距离，跳远时，运动员跳出的方向与地面形成角度α，在运动员跳出的瞬间假设身体的初始速度为v（图29），这个速度会分为两个分速度，即垂直向上的速度v₁和水平速度v₂，这两个分速度等于：

v₁=vsinα

v₂=vcosα

人体向上的运动在t秒钟之后就结束了，这时从中得到：

v₁=at

导出：

t=v₁/a

于是，人体上升和下落的时间为：2t=2v sinα /a

分速度v2在人体上升和下落的所有时间里都使人的身体向水平方向以匀速运动，在这个时间周期内，人体运动的距离为：

s=2v₂t=2vcosα•vsinα/a=2v²（sinαcosα）/a=v²sin22α/a

这就是跳远的距离。

跳远的距离在sin2α=1时为最大值，原因是正弦值最大为1。那么，2α=90度，α=45度。换句话说，如果没有任何空气阻力，运动员沿着地面向斜上方45度的方向跳时能达到最远。这个距离是可以通过公式计算的，

s=v²sin 2α/a

在没有空气阻力的情况下，运动员如果沿着与地面夹角为45度的方向跳出，他会跳得最远，这个最远的距离也可以求出，只要把v=3.3米/秒，sin2 α=1，a=0.12米/秒²分别代入公式s=v²sin 2α/a。能够得出：

s=3.3²/0.12≈90米

此人沿着45度角就能跳90米远，这相当于人能跳过很高的建筑（在与垂直线成45度角抛掷时，落地点的最大距离通常等于以相同的初速度向上垂直抛起时所能达到的高度的两倍。在我们举的例子里，垂直抛起的高度为45米，这个数字是有意义的，需要记住）。

我们可以做一个相关的小实验，在儿童玩的气球上悬挂一个纸人，纸人的重量要比气球的升力稍微大点，这样，我们只要稍微碰一下纸人，它就能够跳起来很高，然后再掉下来。尽管这时气球跳起来的速度不快，但还是受到了比平时更大的空气阻力作用。