“大衍筮法”辨析及其对卦变的影响

筮占的筮，从竹从巫，“竹”代表草木，“巫”代表占卜。筮是用植物来做的预测，卜则是用动物做的预测。蓍占以蓍草为工具来指导“风险决策”，而卜则以龟甲、兽骨作为工具。《说文》有曰，“筮，易卦用蓍也，”反映了西周时代就很流行的蓍筮文化。

大衍筮法是八卦系统的四象筮法，得到的6、7、8、9四个数：6为可变之阴爻、9为可变之阳爻；7为不可变之阳爻、8为不可变之阴爻。这里的“可变”有待变之意，阴阳转换——6待变为7，9待变为8。

我们在第二十讲就提到过，大衍筮法的过程实质上是一个“随机发生器”，问题在于得到6、7、8、9这四个数，概率分别是多少呢？下文将分析，同样是阴爻，得到6的概率是1/16，得到8的概率则为7/16；同为阳爻，得到9和7，概率却分别是3/16和5/16。^[2]

大衍筮法产生的随机结果，不加细辨的话，很容易误以为得到这四个数的几率是相等的，均为1/4。或者注意到了大衍筮法生成一爻需经过“三变”，三个阶段的组合之后，得到6的概率是1/8，8的概率却为3/8；得到9的概率也是1/8，7的概率却是3/8。虽说这几种见解得到阴爻和阳爻（可变+不可变的）的概率，都还是各半（1/2）。只是其中的微妙变化，可以导致非常悬殊的结果。

大衍筮法（《说文》曰，“筮法，揲蓍也”，又称揲蓍法、蓍占，或直接称作周易占法），是载入周易原文中的唯一筮法。历朝历代的易学家们口授心传的依据，是《易传·系辞》里的一段原文（“大衍之数五十”章及原注）。^[3]龟卜和蓍占在早期是并重的。孔子及其门人作《易传》，极力推崇蓍占，周易的大衍筮法得到重视，被广泛流传和使用，龟卜的方法则渐渐失传了。

厘清大衍筮法获得6、7、8、9四个数的准确（随机）概率，非常之有必要。毕竟，在《易传》里得到奠基的卦辞、象辞、爻辞，以及各家的诠释，所依据的都是大衍筮法的蓍占结果。^[4]不严格按照大衍筮法生成易卦的概率，对易卦的诠释会造成很大的偏误。其他的概率，包括简化方法得到的，如果不做相应的调整，很可能导致谬以千里的结论和判断。

历来对大衍筮法产生的随机结果有种种偏误的理解，并不奇怪，因为大衍筮法的过程，庄严繁琐，不只令现代人感到茫然，古人也一定觉得很挠头。朱熹不愧为不世出的大学者，经过执着精细的研析，他（间接地）揭示出了6、7、8、9四个数，即可变之阴爻、不可变之阳爻、不可变之阴爻、可变之阳爻得到概率是不平衡的，分别为1/16、5/16、7/16和3/16。^[5]

在其名著《周易本义》的卷首“筮仪”篇中，朱熹对大衍筮法的过程有相当详尽的描述和注解。他说，四个数的概率之所以不平衡，是因为大衍筮法过程的端始，“但用四十九蓍耳”——“取其一策，反于柜中”，即大衍之数50，用的是49根蓍草的缘故。^[6]（请见附录一，朱熹的《周易本义·筮仪》）

大衍筮法的随机数发生过程，说白了，是在大衍之数的50茎蓍草里先取出1茎不用（“存体”）之后，把“致用”的49茎蓍草分作两群（“分而为二以象两）；再拿走1茎（“挂一以象三”）；然后按“扐”（“揲之以四以象四时”，即以4茎为一簇）；取走核定的余数（“归奇于扐以象闰”）。经过这“四营”成一“变”，凡三变成一爻。这个过程重复六遍，就得到六爻卦——凡“七十二营、十有八变成一卦。”^[7]

先从第二变说起。第一变，“挂一”之后，剩下48茎。从每一群蓍草里分别取走4茎的整倍数后，再剔除其余数——或1或2或3或4茎，剩下了44茎或40茎。在第二变“挂一”之后，分别成了43茎或39茎。“归奇”即剔除余数（3或7）后，从43茎剩下的是40茎或36茎，概率各半；从39茎则剩下36茎或32茎，概率也是相等的。然后是第三变，“挂一”之后则成了39茎、35茎、或31茎。“归奇”即剔除余数（3或7）后，从39茎剩下36茎或32茎，从35茎剩下32茎或28茎，从31茎则剩下28茎或24茎，概率也是各占其半。以朱熹的话来讲，是“奇耦各得四之二焉”。（3=1+2或2+1；7=3+4或4+3，各在四种可能性里占了两种。）

然而其中的奥妙，是第一变所得到的“奇耦”，是否也“各得四之二焉”呢？非也。其关键就在于“但用四十九蓍耳”。

上文说了，49茎蓍草在第一变“挂一”之后剩下48茎，请注意48是4的整倍数。^[8]“两大刻”的余数（1或2或3或4）之和被剔除后，剩下是44茎或40茎。但须注意，得到44茎的概率是四分之三，而得到40茎的概率只有四分之一。也就是朱熹解释的，“奇者三而耦者一也”。因为其中的一刻，若余数为1、2或3，那么另一刻的余数就是3、2或1，被剔除的余数之和为4=1+3、2+2、或者3+1，故44茎者（48–4）四居其三；要是有一刻的余数是4的话，那么另一刻的余数必为4，故被剔除的余数之和是8=4+4，所以40茎者（48–8），四居其一而已。

三变之后所剩下的24茎、28茎、32茎、36茎蓍草的4的整倍数，就是6、7、8、9（扐数）。所以，得到6、7、8、9的概率分别为1/16、5/16、7/16、3/16，其中得到7的概率是5/16=1/16+1/16+3/16；得到8的概率是7/16=1/16+3/16+3/16。

第一变在概率上的变化，导致了6、7、8、9的随机结果的比例是1:5:7:3，而非4:4:4:4。同样的，2:6:6:2也不准确。这个道理，用概率分析的工具“决策树”（三个阶段）来描述，应当能一目了然。（附录二）

不过要做出一个简单的随机发生器来精确代表“大衍筮法”，却有点复杂。由于世界上不存在正十六面体，我们无从设计出一个简单的“骰子”，来随机地获得1/16、3/16、5/16和7/16的概率。作为替代，作者建议的办法，是用两枚钱币（fair coin）来做两次抛掷（一摇+二摇，即分两次来摇），从而得到一条爻。其随机概率可以列表如下图23.5。重复六遍，结果得到六条爻，便构成一个六爻易卦。

也可以先摇三遍，确定三爻上卦即外宫，再摇三遍以确定三爻下卦即宫内行序，从而构成一个六爻的重卦。这样做既简易也容易理解一些。

由此得到的易卦，我们不但知道其为何卦，而且能很清晰地明白每一条爻的可变性或不可变性。连接《易经》、《易传》对易卦的诠释，占起来才有可能做到精准。

图23.5

大衍筮法得到每个易卦的概率是如何来计算的呢？以最简单的纯阴坤卦和纯阳乾卦为例。坤卦的六条阴爻，每条爻可以是可变的6或不可变的8，所以有64种（26）变化来构成坤卦。六条爻皆为不可变（888888，数字从右至左代表初爻到上爻）的坤卦概率（7/16的六次方），是六爻皆为可变（666666）的坤卦概率（1/16的六次方）的117649倍（76）。同理，同为六阳的乾卦，仅一条可变阳爻的乾卦977777（5/16的五次方*3/16）的概率是有四条可变阳爻的乾卦799997（5/16的二次方*3/16的四次方）的12.1倍。

大衍筮法生成每条爻是独立的，三变成一爻、重复六遍成一卦，因此，每爻生成的概率相互独立，与爻位无关。例如，不可变阴爻8无论是在二爻位、五爻位、或任何爻位，概率都是7/16；可变阳爻9无论在哪个爻位，概率也都等于3/16。所以成卦的概率只决定于阴爻条数和阳爻条数及其可变性或不可变性。简单地说，取决于n个6或8、和（6-n）个9或7的组合。计算卦的概率因而用的也是组合，而非排列方法。

以坤卦来说，它的64种变化只有7种独立的概率，分别是0、1、2、3、4、5或6条可变阴爻的概率（1/16）乘以6、5、4、3、2、1或0条不可变阴爻的概率（7/16），加权后的成卦的概率为0.015625。以乾卦而言，也只有7种独立的概率，分别是0、1、2、3、4、5或6条可变阳爻的概率（3/16）乘以6、5、4、3、2、1或0条不可变阳爻的概率（5/16），加权后的成卦概率也是0.015625。（图23.6）

图23.6

1.5625%是1/64，说明在邵雍的“加一倍法”得到所有的64个易卦的概率依然相等，即等概的。而每卦的构成尽管有64种变化，总共642=4096种变化，但是独立概率的数目却少得多。计算的结果表明，独立概率总共才84个。（请见附录三，完整的概率表）

附录三里的易卦概率表，是从阳爻的角度来对易卦分类，并计算各类卦的概率表。所有的64卦，概率都是1/64，即1.5625%。但是，1.5625%——六十四分之一的概率是如何分布为可变或不可变阳爻，可变或不可变阴爻的具体组合，则是大不相同的。

以三阳类的泰卦为例，它的三条阳爻可以有4种组合（0、1、2、3条可变阳爻结合3、2、1、0条不可变阳爻），它的三条阴爻也有4种组合（0、1、2、3条可变阴爻结合3、2、1、0条不可变阴爻）。所以，构成泰卦的64种变化仅有4×4=16个独立概率。这16个独立概率适用于所有20个三阳类卦，这就是说，构成三阴类卦的1280种变化（64×20）里只有16个独立的概率。譬如，688997的泰卦甲和868799的泰卦乙，概率是相等的：（1*72*32*5）/166=0.000131428，故概率是0.01314%。这是因为，两者都由一条可变阴爻+两条不可变阴爻+两条可变阳爻+一条不可变阳爻来构成的。有同样概率的泰卦共有9种变化。三阳卦类有20个，所以共有1280种变化（64×20）的三阳类卦，概率合起来是0.015625*20=31.25%。（图23.7）

我们也可以从另外一个角度切入，来计算和运用附录三的概率表。既然每个易卦都是两个三爻纯卦的叠加，另一个方法，脉络更单纯、更易于理解，就是计算8个纯卦的概率，然后相乘而成为64卦。请见下面的图表23.8。

八卦可分四类：A零阳卦——地；B三阳卦——天；C一阳卦——雷、水、山；和D二阳卦——泽、火、风。各卦的概率均为12.5%，也就是八分之一。一阳、二阳类各有三个，所以一阳类、二阳类的概率，各为37.5%。四类的概率加总当然是100%。

图23.7

图23.8

八卦加一倍法，筮占获得一个易卦，可以有82=64种变化，其中独立的概率仅20个。用上文里举过的例子，泰卦甲688997和泰卦乙868799，来验证。地天泰卦，甲的上体地卦688，乙的上体地卦868，都是三条阴爻，一条可变两条不可变，概率同为0.011962891；甲的下体天卦997，乙的下体天卦799，三条阳爻里也都是两条可变一条不可变，概率一样是0.010986328。两者的乘积为0.000131428，同上面计算的结果是一样的。也就是说，泰卦甲和泰卦乙的概率都是0.01314%。

邵雍的“加一倍法”有4096种变化，即64个易卦，每卦各有64种变化。我们说了，其中独立的概率就84个。从附录三的概率表，我们很容易加总起来得出；在图23.7里也可以计算得到。八卦（三爻）的变化“加一倍”是64种，独立的概率仅20种。那么两个八卦叠加之后，独立概率又是几何？也是84种。你不妨排出一个20×20的矩阵，400个乘积归并之后剩下的不同的概率值，也正好是84个（unique values）。

从实用的角度，不必太过精确，可以认为邵雍的“加一倍法”有四千种变化。于是64个易卦，得到每卦的概率为1.56%。其中零阳1个、一阳6个、二阳15个、三阳20个、四阳15个、五阴6个、六阳1个这七个类别，概率分别是1.56%、9.36%、23.4%、31.36%、23.4%、9.36%、1.56%。